Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Bài 7: Cho một góc nhọn xOy và một đường thẳng d cắt Ox tại I, cắt Oy tại J; A và B là hai điểm thuộc đoạn thẳng IJ. Tìm một điểm M trên Ox và một điểm N trên Oy sao cho tổng MA + MN + NB nhỏ nhất.
Bài 8: Chứng minh rằng giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng MA, MB nằm trên một đường thẳng cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên d.
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đường cao AH, D và E theo thứ tự là hình đói xứng của H qua các đương thẳng AB, AC. Chứng minh rằng:
	a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
	b) Tứ giác BCED là hình thang vuông.
	c) DHE = 900.
	d) DE = 2AH.
(Để học tốt hình học 8)
V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm
Bài toán 1: (Bài toán cơ bản)
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AF = CE.
Nhận xét 1: Chúng ta dễ dàng nhận thấy tứ giác EBFD là hình bình hành. Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: DE = BF.
Nhận xét 2: Và nếu gọi M, N lần lượt là giao điểm của 
CE, AF với BD ta cũng nhận được tứ giác AMCN là hình 
bình hành. Do vậy nếu gọi O là giao điểm của AC và BD, 
chúng ta sẽ có O là trung điểm cuae EF và MN.
Từ đó ta có các bài toán sau:
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AE = CF.
Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt
Trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần
Lượt tại N, M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN và BD 
cắt nhau tại trung điểm chung.
Nhận xét 3: Ta cũng nhận ra rằng đã có MB = DN, do vậy nếu muốn có MB = MN = DN thì E, F trở thành trung điểm của các cạnh AB, DC. Khi đó ta có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, DC. AF và CE cắt BD lần lượt tại N, M. Chứng minh rằng: MB = MN = DN.(Bài 78 - SBT)
Nhận xét 4: Trở lại bài toán 1.3, nếu gọi I là giao điểm của AM và BC, K là giao điểm của CN và AD, ta nhận được tứ giác AICK là hình bình hành. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 1.6: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần lượt tại N, M. AM cắt BC tại I, CN cắt AD tại K. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF, IK đồng qui.
(Bài 84 - SBT)
Bài toán 2(Bài toán cơ bản): Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ B, C, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + DD' = CC'
(Bài 85 - SBT)
Nhận xét 1: Chúng ta cũng nhận ra rằng O' là trung điểm của AC' và B'D'. Suy ra AD' = B'C'. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ B, C, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng AD' = B'C'.
Nhận xét 2: Ta cũng nhận ra rằng CC' AC. Giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau:
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ B, C, D đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + CC' + DD' 2AC.
Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng xy quay quanh A và chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ B, C, D đến đường thẳng xy. Xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng BB' + CC' + DD' đạt giá trị lớn nhất. 
Nhận xét 3: Thử vẽ trường hợp đường thẳng xy qua A và cắt đoạn thẳng OB ta nhận ra rằng DD' - BB' = CC' = 2OO'. Do vậy giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau:
Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường
 thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành.
 Gọi BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ B, C, D
 đến đường thẳng xy. Chứng minh rằng .
Nhận xét 4: Di chuyển đường thẳng xy để đường thẳng xy 
Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA', BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy, chắc hẳn chúng ta cũng nhận ra rằng ta có AA' + CC' = BB' + DD'. Từ đó ta có bài toán sau:
Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA', BB', CC', DD' là các đường vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA', BB', CC', DD'.
1. Chuyên đề : Đa thức
Bài 1: Tớnh giỏ trị của biểu thức
A = tại x = 16.
B = tại x = 14.
C = tại x = 9
D = tại x = 7. 
Bài 2: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
M = 
N = 
Bài 3: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
A = v ới x = 2; .
M.N với. Biết rằng :M = ; N = .
Bài 4: Tớnh giỏ trị của biểu thức, biết x = y + 5:
 a. 
 b. 
Bài 5: Tớnh giỏ trị của biểu thức:
 biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: tính giá trị của biểu thức:
 a. ; bi ờ ết raống 2x = a + b + c
 b. ; biết rằng a + b + c = 2p
 bài 7:
Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao?
Baứi 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:
 ; ; 
 Baứi 9: Cho biểu thức: M = . Tính M theo a, b, c, biết rằng . 
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho13 tòi B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
Chứng minh rằng: nếu các số nguyên x, y thoả mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
 Baứi 12: Chứng minh rằng: 
 a. chia hết cho 405.
 b. chia hết cho 133. 
 Baứi 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,, , 
 Chứng minh rằng tổng của hai số liên tiếp trong dãy số bao giờ cũng là một số nguyên. 
2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
 = ;
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)n – Tam giác Pascal
Đỉnh
1
Dòng 1 (n = 1)
1
1
Dòng 2 (n = 2)
1
2
1
Dòng 3 (n = 3)
1
3
3
1
Dòng 4 (n = 4)
1
4
6
4
1
Dòng 5 (n = 5)
1
5
10
10
5
1
 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y)n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Người ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì :
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
và với n = 5 thì :
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II. Các ví dụ
 Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lời giải
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lời giải
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ị x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
 Chú ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
	 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
 Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
 Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0.
 Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lời giải
 Vì x + y + z = 0 nên x + y = –z ị (x + y)3 = –z3
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ị 3xyz = x3 + y3 + z3
 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
 	= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
 Mà x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = –z). Tương tự :
	 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
 Vì vậy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (đpcm)
Bài tập:
Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. 
Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.
Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.
Chứng minh rằng nếu:
 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 
thì x = y = z.
 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì . 
b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 
và x, y, z khác 0 thì .
Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
Chứng minh các hằng đằng thức sau :
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chứng minh rằng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. 
 Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945.
 Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :
a3  ... a) Giải phương trình: 
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và .
Tính 
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n là các số thoả mãn: .
Chứng minh (m-n) và (4m + 4n + 1) đều là số chính phương.
b) Cho x, y, z là các số khác 0 thoả mãn và .
Tính giá trị của biểu thức: theo m.
Câu 4: (3 điểm)
Cho DABC , trọng tâm G, trên BC lấy điểm P, đường thẳng qua P theo thứ tự song song CG và BG cắt AB, AC tại E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự tại I, J.
a) Chứng minh: EI = IJ = JF
b) Chứng minh PG đi qua trung điểm của EF.
c) Một đường thẳng P ở ngoài tam giác. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác ABC xuống đường thẳng d gấp 3 lần khoảng cách từ trọng tâm đến đường thẳng d.
Câu 5: (1 điểm) 
Tìm tất cả các số có hai chữ số sao cho: là số nguyên tố.
Đề số 31
Câu 1: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn M.
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị bằng -7.
Câu 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 
 chia hết cho 323
b) Cho x, y, z khác 0 và . Chứng minh rằng:
Nếu thì 
Câu 3: (2 điểm) 
Trong một cuộc đua mô tô có ba xe cùng khởi hành một lúc. Một xe trong một giờ chạy chậm hơn xe thứ nhất là 15 km và nhanh hơn xe thứ ba 3 km, đến đích chậm hơn xe thứ nhất 12 phút và sớm hơn xe thứ ba 3 phút. Không có sự dừng lại trên đường đi. 
Tìm vận tốc mỗi xe, quãng đường đua và xem mỗi xe chạy mất bao nhiêu thời gian.
Câu 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Các đoạn thẳng AO, BE, Cn và DK cắt nhau tại L, M, R, P. 
Tính tỉ số diện tích S(MNPR) : S(ABCD).
Câu 5: (1 điểm)
Tính tổng 
Đề số 32
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử.
b) Tính : 
Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức: 
 với x = 6
b) Tìm n nguyên để n - 1 chia hết cho 
Câu 3: ( 2 điểm)
a) Cho đa thức 
Tìm dư của phép chia f(x) cho 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh AB. AE = AC. AF.
c) So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu 5: (1 điểm) 
 Cho 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 33
Câu 1: (2 điểm)
1. Phân tích thành nhân tử:
a) 
b) 
2. Cho a, b là các số thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 2: ( 2 điểm)
) Cho p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 là số nguyên tố.
b) Tìm các số dương x, y, z thoả mãn: và 
Câu 3: (2 điểm) 
Trên quãng đường AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngược lại. Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc như nhau. Một khách du lịch đi bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe buýt đi từ B vể phía mình. 
Hỏi cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vượt qua người đó.
Câu 4: (3 điểm)
a) Cho hình bình hành ABCD. Lấy E thuộc BD, Gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K. Chứng minh rằng ba điểm I, K, E thẳng hàng.
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đường thẳng d. Tìm điểm M (d và M nằm khác phía với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đường thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm) 
Giải phương trình: 
Đề số 34
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho 
Tính giá trị của biểu thức: 
b) Tìm số tự nhiên x để là số chính phương.
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Giải bất phương trình: 
Câu 3: ( 2 điểm)
Việt (hỏi): Bạn ở số nhà bao nhiêu ?
Nam (trả lời): Mình ở số nhà là một số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu cũng như hai chữ số cuối lập thành một số chính phương và số này gấp bốn lần số kia ?
Việt: Sau một lúc suy nghĩ đã tìm ra số nhà của Nam.
 	Hỏi số nhà của Nam là bao nhiêu ?
Câu 4: ( 3 điểm)
1) Cho hai điểm A và B nằm cùng phía đối với đường thẳng a. Hãy tìm trên đường thẳng a một điểm P sao cho tổng độ dài AP + PB là bé nhất.
2) Cho góc nhọn xOy và 1 điểm A ở miền trong góc đó. Hãy tìm trên hai cạnh Ox, Oy các điểm tương ứng B và C sao cho chu vi tam giác ABC bé nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm các số x, y, z, t thỏa mãn: 
Đề số 35
Câu 1: ( 2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 
b) 
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = 
Chứng minh rằng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
b) Tìm các số x, y nguyên dương thoả mãn: 
Câu 3: ( 2 điểm) 
a) Chứng minh rằng chia hết cho 120 với mọi n nguyên.
b) Cho tam giác có độ dài hai đường cao là 3 cm và 7 cm. Hãy tìm độ dài đường cao thứ ba, biết rằng độ dài đường cao đó là một số nguyên.
Câu 4: (3 điểm)
a) Chứng minh tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của ngũ giác đó.
b) Cho tam giác ABC . Trong các hình chữ nhật có hai đỉnh nằm trên cạnh BC và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
	Tìm tất cả các số thực dương x, y thoả mãn: 
Đề số 36
Câu 1: ( 2 điểm)
a) Chứng minh rằng: chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
b) Phân tích thành nhân tử: 
Câu 2: (2 điểm) 
a) Tìm x, y, z thoả mãn: 
b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
 là một số hữu tỉ.
Câu 3: ( 2 điểm) 
a) Cho x, y > 0 thoả mãn x + y =1. Chứng minh rằng: 
b) Chứng minh rằng: 
Câu 4: (2 điểm)
Cho đa thức P(x) với a, b, c , d là hằng số. 
Biết P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . 
Tính P(12) + P(-8).
Câu 5: ( 2 điểm)
Tìm các số x, y nguyên thoả mãn: 
Đề số 37
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm số nguyên a để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4 điểm) 
Đa thức P(x) khi chia cho x -3 dư 7, khi chia cho x + 5 dư -9 còn khi chi cho
 x2 - 5x + 6 thì được thương là x2 + 1 và còn dư. Tìm đa thức P(x).
Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x là nghiệm của phương trình:
Tìm x ở dạng thu gọn.
b) Rút gọn biểu thức: 
Bài 4: (6 điểm)
a) Trên tia Ox của góc xOy cho trước một điểm A. Hãy tìm trên tia Oy của góc đó một điểm B sao cho OB + BA = d (với d là độ dài cho trước.
b) Cho tam giác ABC có 2 trung tuyến kẻ từ B và C là BE và CF. Chứng minh rằng BE vuông góc với CF khi và chỉ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .
Đề số 38
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
b) Giải phương trình: 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để P nguyên.
Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y, z biết rằng: 
b) Cho đa thức f(x) = với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên.
 Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. 
 Chứng minh rằng: 
Bài 5: (1 điểm)
 Tìm các hằng số a và b sao chob đa thức chia cho (x + 1) thì dư 7, chia cho (x-3) thì dư -5.
Đề số 39
Bài 1: (2 điểm) 
Rút gọn biểu thức:
a) 
b) 
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm x, y biết: 
c) Cho. Tìm số tự nhiên n để giá trị của A là một số nguyên tố.
Bài 3: ( 2 điểm)
 Giải phương trình:
Bài 4: (2 điểm)
 Một ô tô khởi hành đi từ A đến C, hai giờ sau một ô tô khác đi từ B đến C. Sau giờ tính từ khi ô tô thứ nhất lhởi hành thì hai ô tô gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi ô tô. Biết rằng B nằm trên đường từ A đến C và quãng đường AB bằng 78 km, vận tốc của ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc của ô tô đi từ B là 5 km/h.
Bài 5: (2 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba phân giác trong là AD, BE và CF. Gọi M, N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của B, A và C qua AD, BE , AD. Q là điểm đối xứng của A qua CF. Chứng minh MN // PQ.
Đề số 40
Bài 1: ( 2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
Bài 2: (4 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức sau: 
b) Xác định a, b để đa thức chia hết cho đa thức 
c) Tìm dư của phép chia đa thức cho đa thức 
d) Tìm x nguyên thoả mãn: 
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BD và AC.
a) Chứng minh MN là phân giác của góc PMQ.
b) Tìm điều kiên của tứ giác ABCD để MN = PQ.
c) Xác định vị trí của điểm I trên CD để AIB có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4: (1,5 điểm)
a) Tính nhanh: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 41
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm thương và phần dư trong phép chia đa thức:
 cho 
b) Đa thức f(x) khi chia cho x-3 thì dư 10, khi chia cho x+5 thì dư 2 còn khi chia cho (x-3)(x+5) thì được thương là và còn dư. Tìm đa thức f(x).
Bài 3: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên x sao cho có giá trị là một số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD và một điểm M trên đường chéo AC. Từ M hạ MH, MK thứ tự vuông góc với AB và BC.
a) Chứng minh rằng: AK, CH và DM đồng quy.
b) Tính các góc của ∆DHK nếu biết diện tích của ∆ đó bằng .
Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
Đề số 42
Bài 1: (2 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho biểu thức: 
a) Rút gọn P.
b) Tính P khi 
Bài 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số:
 tối giản.
b) Tìm số nguyên n để chia hết cho 
Bài 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE, cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố.
Đề số 43
Bài 1: ( 2điểm) 
 	Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 
b) 
Bài 2: (2 điểm) 
Cho đa thức và cho biết
P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8).
Bài 3: (2 điểm) 
Giải phương trình: 
a) 
b) 
Bài 4: (2 điểm)
Dùng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong được 3 lít rượu từ một can 6 lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ). 
Bài 5: (2 điểm) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
Đề số 44
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: 
b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 
Bài 2: ( 2điểm) 
Giải phương trình: 
a) 
b) 
Bài 3: ( 2 điểm)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức: 
Bài 4: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số của nó.
Bài 5: (2 điểm) 
 Chứng minh rằng: 
Đề số 45
Câu 1: ( 2 điểm)
Phân tích thành nhân tử: 
a) 
b) 
Câu 2: ( 2 điểm)
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: 
Câu 3: ( 2 điểm)
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
Câu 4: (2 điểm) 
Cho x, y, z > 0 và xyz =1 . Chứng minh rằng:
Câu 5: ( 2 điểm) 
Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: . 
Tìm GTNN của biểu thức: