Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

đề khảo sát học sinh giỏi 
năm học 2010-2011
Môn Toán lớp 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1: (2đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6 
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1 
Câu 2: (1.5đ) 
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +Z = xyz và + + = 
Tính giá trị của biểu thức P = 
Câu 3: (2đ) Tìm x biết
a, < 5x -4
b, + = 
Câu 4: (2đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P = 
Câu 5: (2.5đ)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b . 
Vẽ các đường phân giác BD, CE 
a, Chứng minh rằng DE // BC
b, Tính DE từ đó suy ra 
Câu 6:
 Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn x2 = y2 + 2y +13
-------------------------------------------Hết----------------------------------------------------
Họ tên Thí sinh: -------------------------------------------------------------
Hướng dẫn chấm hsg toán 8
Câu1(2đ)
a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2)
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) +(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1) 
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1 
A x4 + x2 + 1 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Cau 2 :(1.5đ)
Có (= + 2(
(= p + 2 ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)
suy ra P = 1
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 3: (2đ)
a, giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4
làm đúng được x> 3 
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung 
(x+100)() = 0 S = 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 4: (1.5đ)
a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
=3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3)
Đặt B= n3+3n2+3n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1)
Ta thấy n(n+1)(n+2) 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp )
3(n+1) 3 B 3 A =3B =3.3K =9K 9
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 
 x = ; y = ; z= 
P = = = Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c x=y=z 
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Câu 5: (2đ)
Câu 6: 1đ
a, (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE//BC
b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có hay 
; ax +bx =ab ; x = = DE
Suy ra 
-HS biến đổi được
 x2 = y2 + 2y +13 x2 = (y + 1)2 + 12 
 (x + y + 1)(x - y - 1) = 12
Vì (x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2 và x, y N* nên
(x + y + 1) > (x - y - 1) Vì vậy (x + y + 1) và (x - y - 1) là hai số nguyên dương chẵn.
Mà 12 = 2.6 Chỉ xảy ra một trường hợp 
(x + y + 1) = 6 và (x - y - 1) = 2 x = 4 và y = 1
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
Trên đây chỉ là gợi ý chấm .Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa