Đề cương Toán 9 - Học kỳ 2 - Nguyễn Văn Thắng

Đề CƯƠNG TOáN 9 HọC Kỳ II
 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
 I Các kiến thức cần nhớ
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng a x + by +c = 0 trong đó x, y là ẩn 
 a, b, c là các hệ số ( a, b không đồng thời = 0)
Nghiệm tổng quát 
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng 
trong đó x, y là ẩn a, b , c a’ ,b ‘ c’ là các hệ số trong đó a, b a’ , b;’ không đồng thời bằng 0
Hệ có nghiệm duy nhất khi 
Hệ vô số nghiệm khi 
Hệ vô nghiệm khi 
Các cách giải – phương pháp thế
 	- phương pháp cộng đại số
	- phương pháp đặt ẩn phụ
Bài tập 1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp
Hướng dẫn và đáp số
 b. 
Bài tập 2 Giải các hệ phương trình sau
d. Đặt 
Bài tập 3 Cho hệ phương trình với m là tham số
Giải hệ phương trình khi m=-1
Giải và biện luận hệ phương trình
Bài 4 Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình với m= -2
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 5 Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình với m= -1
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y=3
Bài 6 Cho hệ phương trình m ≠ 0
Giải hệ phương trình với m = 
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y < 1
Hưóng dẫn và đáp số
Baì 4 a. Với m=-2 hệ có nghiệm ( x, y)= ( -1;3)
Tư phương trình 2 ta có y= (m-1) x→x,m(2n-1)=-10
m ≠ 0 ;m ≠ 0,5 hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 5 a, m=-1 hệ phương trình có nghiệm x=5; y= 3
m ≠ 0 và m ≠ 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
x+ y =3 (tmđk)
Bài 6 a. Với m = hệ phương trình có ghiệm x= ,y= 
b.Với mọi m hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
để x+ y 0
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Cách giải 
B1: Lập hệ phương trình
-Chọn 2 ẩn thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn
-Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
-Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng
B 2 Gải hệ phương trình trên
B 3 Kiêm tra xem các nghiệm của hệ phương trình có thoả mãn điều kiện với bài toán và kết luận
VD 1 Loại I ( Toán tìm số ,chữ số)
Tìm số tự hiên có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới ( có hai chữ số) bế hơn số cũ là 27 đơn vị 
BG 
Gọi chữ số hàng chục cần tìm là x chữ số hàng dơn vị là y 
Đ kiện x, y nguyên và 0< x, y ≤9
Khi đó số cần tìm là 10x+ y
Khi viết theo thứ tự ngược lại ta có số 10y+ x
 Theo bài ta có phương trình 2y – x= 1 hay –x+2y =1(1)
Theo điều kiện sau của bài ta có (10x+y)-(10y+x)=27
 x-y= 3(2)
Từ đó ta có hệ (tmđk)
Vậy số phải tìm là 74
Bài tập áp dụng 
Bài tập 1 Tổng hai số bằng 59 .Hai lần số này hơn 3 lần số kia là 7 ,Tìm hai số 
Bài tập 2 Cho một số có hai chữ số .Nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau được một số mới lớn hơn số đã cho là 63 .Tổng của ssố đã cho và mới tạo thành là 99.Tìm số đã cho
Hướng dẫn
Bài 1 
Gọi hai số phải tìm là x,y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9
Theo điều kiện của bài ta có hệ (tmđk)
Vậy hai số cần tìm là 34, 25
Bài 2
Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9
số đã cho là 10x+ y, số mới tạo thành là 10y+ x
Theo bài ra ta có hệ phương trình (tmđk)
Vậy số phải tìm là 18
Loại II (Toán chuyển động)
VD 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau 3 giờ thì gặp nhau .Nếu đi cùng chiều và xuất phát cùng một lúc cùng một địa điểm sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km . Tìm vận tốc của mỗi xe biết quãng đường là 156 km
BG 
Gọi vận tốc của ô tô là x km/h
vận tốc xe đạp là y km/h
Đ kiện x> 0; y> 0
Sau 3h ô tô đi được 3x km còn xe đạp đi được 3y km
Theo bài ta có phương trình 3x+3y=156 x+ y = 52(1)
theo điện sau của bài ta có phương trình x- y = 28(2)
Từ đó ta có hệ ( tm đk)
Vậyvận tốc của ô tô là 40 km/h
vận tốc xe đạp là 12 km/h
Bài tập áp dụng 
Bài tập 1 Hai điểm A ;B cách nhau 150 km và hai ô tô khởi hành cùng 1 lúc đi ngược chiều nhau .Gặp nhau ở vỉt5í C cách A 90 km .Nếu vận tốc vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi từ B đi trước ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường .Tìm vận tốc của mỗi xe?
Bài tập 2 Bác Toàn đạp xe từ xã về làng cô Ba đạp xe từ làng lên xã .Họ gặp nhau khi bác Toàn đi được 1,5 giờ còn cô Ba đi được 2 giờ .Một lần khác cũng từ hai địa điểm trên nhưng họ khởi hành đồng thời sau 1h15’ họ còn cách nhau 10,5 km .Tìm vận tốc của mỗi người?
Hướng dẫn
Bài1 
Gọi vận tốc của ô tô đi từ A là x km/h
vận tốc của ô tô đi từ Blà ykm/h
Đk x,y > 0 
Theođiều kiện bài ta có p t
Theo điều kiện sau ta có pt
Từ đó ta có hệ (tmđk)
Vậy vận tốc của ô tô đi từ A là 45 km/ h
vận tốc của ô tô đi từ Blà 30 km/ h
Bài 2 
Gọi vận tốc của bác Toàn là x km/h
 vận tốc của cô Ba là y km/h 
Đk x,y > 0
Theođiều kiện bài ta có p t
1,5x +2y = 38
Theo điều kiện sau ta có pt
Từ đó ta có hệ (tmđk)
Vậy vận tốc của bác Toàn là 12km/h 
vận ýôc của cô Ba là 10 km/h
Loại III toán năng suất
VD 1 Hai công nhân cùng sơn cửa một công trình trong 4 ngày thì xong .Nếu ngưpừi thứ nhất làm một mình 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp 1ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình bao lâu thì xong việc?
BG 
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ngày ( x> 4)
thời gian người thứ hai một mình xong công việc là yngày ( y> 4)
Một ngày người thứ nhất làm được công việc
Một ngày người thứ hai làm được công việc
Theo bài ta có p t 
Theo diều kiện sau của bài ta có phương trình 
Từ đó ta có hệ (tmđk) Giải hệ bằng p2 đặt ẩn phụ
Vậy người thứ nhất làm một mình xong việc hết 12 ngày
người thứ hai làm một mình hết 6 ngày
Bài tập 1 Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 ngày thì xong . Nếu người thứ nhất làm 3h người hai làm 6 h thì hoàn thành 0.25 công việc . Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Hướng dẫn 
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành cv là x h người thứ hai là y h Đk x; y > 0
Một giờ người thứ nhất làm được cv
Một giờ người thứ hai làm được cv
Một giờ cả hai người làm được cv
Ta có phương trình 
3 giờ người thứ nhất làm được cv
6 giờ người thứ hai làm được cv
Theo điều kiện sau ta có phương trình
Từ đó ta có hệ 
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 h; người thứ hai là 48 h
****************************************************************
Chuyên đề 4 hàm số y= a x2 (a ≠ 0) 
 phương trình bậc hai một ẩn
I Kiến thức cần nhớ
-Hàm số y= a x2 (a ≠ 0) 
TH1 a >0 hàm số đồng biến khi x > 0
 hàm số nghịch biến khi x < 0
TH2 a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0
 hàm số nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị : là một pa ra bol nhận Oy là trục đối xứng 
Nếu a >0 có bề lõm quay lên vày y= 0 là giá trị nhỏ nhất 
Nếu a < 0 có bề lõm quay xuống và y= 0 là giá trị lớn nhất
Sự tương giao giữa đồ thị hai hàm số y = a x2 (P ) và y= m x+ n (d)
 Ta xét phương trình hoành độ a x2 = m x +n 
 - Nếu phương trình có hai nghiệm thì ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm 
 - Nếu phương trình có nghiệm kép thì ( P) và (d) tiếp xúc nhau
 - Nếu phương trình vô nghiệm thì ( P) và (d) không giao nhau 
Phương trình bậc hai một ẩn a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Phương trình khuyết a x2+ bx = 0 
 a x2+ c = 0 
	a x2= 0 
Cách giải không dùng công thức nghiệm 
Phương trình bậc hai đầy đủ dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn 
Hệ thức Viét và ứng dụng 
 Nếu phương trình a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2
 Khi đó 
Nhẩm nghiệm nếu a+ b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =1 , x2 = 
Nếu a- b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =-1 , x2 = - 
Đièu kiện nghiệm của phương trình bậc hai
 Phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Phương trình có hai nghiệm dương 
Phương trình có hai nghiệm âm 
Phương trình trùng phương a x4+ bx2+ c = 0 đặt t = x2 t(≠ 0)
VD Giải các phương trình sau 
32 x2 + 40 x =0
8x2 – 25 = 0
2x2 -7x + 3= 0
BG 
a. 32 x2 + 40 x =0
8x(4x+5)=0 x= 0 hoặc x = 
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0 ;x2 = 
8x2 – 25 = 0 8x2 =25 x2= 
Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 = 
c .2x2 -7x + 3= 0
= (-7)2 -4.3.2 = 25 phương trình có hai nghiệm phân biệt
VD2 Cho hàm số y= x2(P) và y= 2x + 3(d)
Vẽ đồ thị của hai hàm hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ 
tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
BG 
Vẽ đồ thị hai hàm số
Hình vẽ 
	(
Bài tập 1; Cho hai hàm số y = x2 (p) và y = 2x + m (d)
a.Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ 
b. Tìm m để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
BG
a.Với m=3 thì d có dạng y= 2 x+ 3 
đồ thị hình vẽ 
Xét phương trình hoành độ 
 x2= 2x + m 
 x2 – 2x – m = 0 (1)
Để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm ohân biệt thì phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt 
= (-1)2-(m) = 1+m > 0 → m > -1
Bài 2; Giải các phương trình sau
3x2 + 5x- 2=0
5x2 – 6x+ 1=0
4x2 – 2 x -1+=0
Bài 3 ;Cho phương trình x2 -(m+2)x+2m = 0 (1)
Giải phương trình với m=-1
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn (x1+x2)2-x1 x2 ≤ 5
Bài 4: Cho phương trình x2 -2(m-1)x+2m-4 = 0 (1)
Giải phương trình với m = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của M= x1 + x2 (x1;x2 là hai nghiệm của phương trình)
Bài 5:Cho phương trình . Tìm giá trị của , biết rằng phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện .
 Bài 6: Cho phương trình bậc hai : x2 - 2(m - 1) x + m - 3 = 0. (1)
	1/. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
	2/. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tính nghiệm kia.
	3/. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.
 Một số dạng khác 
( phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai )
Bài tập 1 Giải các phương trình sau
x4 -8x2-9 = 0
36 y4 – 13y2+1= 0
x3-5x2-x+5 = 0
(x-1)3 –x+1 =(x-1)(x-2)
Bài giải 
Đặt t = x2 (t ≥ 0) p trình có dạng t2 - 8t -9 = 0
→ t1 = -1 (loại) ; t2 =9 
Với t =9 → x2 =9 → x= ± 3
y = ± 0,5 ; y = ±
x2(x-5) – ( x-5) =0 (x-5)(x+1)(x-1) =0
x=5 hoặc x=1 hoặc x= -1
d.(x-1)=0
(x-1)(x2-3x+2) =0 
x-1 =0 hoặc x2-3x+2=0 → x1 =x2 = 1; x3 = 2
 Phần hình học
 góc với đường tròn
I Kiến thức cần nhớ
n
C
+ Góc ở tâm 
Góc AOB là góc ở tâm 
góc AOB = sđ cung AmB
O
•
sđ cung AnB = 360º - sđ cung AmB
+ Góc nội tiếp 
góc ACB là góc nội tiếp 
m
A
B
góc ACB = sđ cung AmB
Trong một đường tròn
x
-Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn một cung hoặc chắn các cung 
bằng nhau
-Góc nội tiếp hỏ hơn 90º có sđ bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn cung đó
-Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng 90º
+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 
-Góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cung AB 
Góc BAx = sđ cung AmB
-góc BAx = góc BCA
+ Góc có đỉnh bên trong , ngoài đường tròn
C
A
Góc BED ; AEC là các góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn
E
F
Góc CFB là góc có đỉnh ở bên ngoài 
D
đường tròn
B
A
góc BED = ( sđ cung BD + sđ cung AC )
Góc AFD = ( sđ cung BC - sđ cung AD) 
+ Tứ giác nội tiếp 
-ABCD là tứ giác nội tiếp 
D
T/C nếu ABCD nội tiếp thì góc A + góc C = 180º
Dấu hiệu nhận biết 
B
-Tứ giác có 4 đỉnh nằm trê đường tròn 
C
-Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º
-Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trog của đỉnh đối diện
-Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc β
+ Một số công thức tính S ,C
-Độ dài đường tròn C = 2π R 
- Độ dài cung tròn l = 
-Diện tích hình tròn S = π R2
-Diện tích hình quạt tròn Sq = 
Bài tập 1 Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC . Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BDC . Từ O hạ các đường vuông góc OH. OK xuống BC . BD 
C minh OH > OK 
D
So sánh hai cung nhỏ BD và BC
BG 
a. Ta có AB+ AC > BC ( Bđ t tam giác )
K
Mà AC = AD ( GT)
→O
—
AB + AD > BC hay BD > BC
H
B
C
Nên OH > OK
b. Do BD> BC ( Câu a)→cung BD > cung BC
A
Bài tập 2 Cho AB , AC , BC là ba đây của một đường tròn (O) . Từ một điểm chính giữa M của cung AB vẽ MN // BC . Gọi giao điểm của MN và dây AC là S chứng minh 
a, SM = SC 
M
b. SN = S A
BG 
S
N
a. Ta có NMC = sđ cung NC
 B
Góc ACM = sđ cung MA
C
Mà cung MA = cung NC ( do hai dây MN // BC )
→ NMC =ACM hay tam giác SAN cân → SA = SN
Chứng minh tương tự ta có tam giac SAN cân 
→ SA = SN 
Bài tập 3 Cho tam giác ABC cân có đáy BC và Â = 20 º . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưad điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và góc DAB = 45º .Gọi E là giao điểm của AB và CD 
CMR tứ giác ACBD nội tiếp
Tính góc AED
C
BG 
a.Do tam giác ABC cân nên ta có 
BCA =(180º-25º): 2 = 80º
Vì tam giác ABD cân ta có 
E
→B
A
20º
ADB =180º - 2. 40 = 100º
40º
Tứ giác ACBD có BCA +ADB = 180º
Hay tứ giác ACBD nộ tiếp
D
b. AED là góc có đỉnh trong dường tròn 
→ AED = (sđ cung bc + sđ cung AD)
Mà BAC =20º→sđ cung BC = 40º
 ABD = 40º →sđ cung AD = 80º
→AED = 60º
Bài tập 4 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O và M là một điểm trên cung nhỏ BC . Trên MA lấy D sao cho MA =MB . CMR 
Tam giác MBD đều 
BDA = BMC
 MA = MB + MC
BG 
Theo gt MB = MC →MBD cân tại M 
Mà Góc M = 60º ( Góc nội tiếp chắn cung 120º)
A
Vậy BM đều
D
b.Ta có BAM = BCM ( Góc nội tiếp chắn cung BM)
C
B
ADB = BMC (góc kề bù với 60º và góc chắn cung
 240º )
→ ABD =CBM
M
Vậy BDA =BMC
c.Ta có MA = MD + MA mà MD = MB ; DA = MC
→ MA = MB + MC
Bài tập 5 Trên đường tròn ( O ;R) vẽ 3 dây liên tiếp bằng nhau AB, BC , CD mỗi dây nhỏ hơn R các đường thẳng AB , CD cắt nhau tại I các tiếp tuyến của đường tròn tại B, D cắt nhau tại K . CMR
a. BIC =BKD
b. BC là tia phân giác KBD
I
BG 
K
a. Theo gt ta có AB = BC = CD 
B
BIC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
C
A
O•
→BIC=( sđ cung AD – sđ cung BC )
BKC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
→D
 BKD = (sđ cungBAD-sđ cung BCD)
=( sđ cung BA+sđ cung AD)-(sđ cung BC+sđ cung CD)
→BKD = (sđ cung AD -sđ cung BC)
Vậy BIC = BKD
b. KBC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
 KBC=sđ cung BC
CBD là góc nội tiếp nên CBD = sđ cung CD
→KBC = CBD
Bài tập 6 Cho tam giácABC đều .Gọi O là trung điểm của BC trên AB . AC lần lượt lấy các điểm di động D ; E sao cho DOE =60º
CM tích BD . CE không đổi 
cm BOD ~ OED →DO là phân giác của góc BDE
Vẽ (O) tiếp xúc với AB . c minh DE là tiếp tuyến của ( O)
BG
CM tích BD . CE không đổi 
Xét BOD và CDE có
B = C =60º
D
K
A
H
E
BDO =EOC (cùng= 60º - DOE) 
→BDO ~COD ( G-G)
C
B
O
Hay BD .CE = BO. CO
→BD.CE = ( Không đổi)
b. Từ câu a ta có 
 Mặt khác góc DOE = góc B = 60º
→ BOD = DOE( cg c)
→HDO = KDO hay DO là tia phân giác BDE
Kẻ OK vuông góc với DE 
→DHO =DKO( ch – gn )
→H = K = 90º Hay DE là tiếp tuyến của ( O)
Bài tập làm thêm 
Bài 1 Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây CD .Q ua C vẽ đường vuông góc với CD cắt AB ở I các tiếp tuyến tại A , B của nửa đường tròn cắt CD theo thứ tự tại E Và F .CMR 
Tứ giác AECI , BFCI nội tiếp
Tam giác I E F vuông
Bài 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E kẻ E F vuông góc với AD gọi M là trung điểm của DE CMR , 
Tứ giác ABE F , DCE F nội tiếp 
CA là phân giác của góc BCE
Tứ giác BCMF nội tiếp 
Bài 3 Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn .Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C vẽ CD AB , CE MA , CF MB Gọi I là giao điểm BC và DE , K là giao điểm của BC và DF CMR
Tứ giác AECD ., BFCD nội tiếp 
CD2 = CE . CF
Tứ giác ICKD nội tiếp 
IK CD 
Bài 4: 	Cho đường trũn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là cỏc tiếp điểm) . Lấy một điểm C trờn cung nhỏ AB (C khỏc A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của C trờn AB, AM, BM. 
Chứng minh AECD là một tứ giỏc nội tiếp.
 Chứng minh: .
Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh: IK//AB.
Bài 5 : Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đỉnh D nằm trờn đường trũn đường kớnh AB = 2R . Hạ BN và DM cựng vuụng gúc với đường chộo AC 
Chứng minh tứ giỏc : CBMD nội tiếp được 
Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC
Xỏc định vị trớ của điểm D để diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch lớn nhất và tớnh diện tớch trong trường hợp này 
Bài 6; Cho đường trũn (O;R), đường kớnh AB cố định và CD là một đường kớnh thay đổi khụng trựng với AB. Tiếp tuyến của đường trũn (O;R) tại B cắt cỏc đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F.
1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R2.
2) Chứng minh tứ giỏc CEFD nội tiếp được đường trũn.
3) Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc CEFD. Chứng minh rằng tõm I luụn nằm trờn một đường thẳng cố định.