Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 học kì I - Đồng Đức Lợi

 ĐẠI SỐ
A. đa thức:
I.Cộng, Trừ đa thức:
1. Đơn thức đồng dạng: 
 Là những đơn thức có phần biến hoàn toàn giống nhau.
2. Cộng trừ các đơn thức:
+ Cộng trừ các đơn thức là cộng trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng trừ các hệ số; phần biến giữ nguyên.
+ Ví dụ: 2x3y2 + x3y2 - 5 x3y2 = (2 +1 – 5) x3y2 = -2 x3y2
3.Cộng trừ đa thức: 
+ Cộng trừ đa thức thực chất là cộng trừ các đơn thức (hạng tử) đồng dạng, sau khi thực hiện bước bỏ dấu ngoặc có dấu cộng hoặc có dấu trừ đằng trước.
+ Ví du: (3a2b3 -2bc2+ 4 ) – (3 bc2 - a2b3 + 5)
 = 3a2b3 -2bc2+ 4 – 3 bc2 + a2b3 – 5
 = 3a2b3 + a2b3 -2bc2 – 3 bc2 + 4 - 5 
 = 4a2b3 - 5bc2 – 1 . 
II/ Nhân đa thức:
1. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
 am . an = am + n ví dụ: x3. x2 = x5
2. Nhân đơn thức với đơn thức:
+ Nhân hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau( nhân các luỹ thừa cùng cơ số)
+ Ví dụ: 5x2y . 7x3 = 5.7.x2.x3 .y.y0 = 35x5 y ( chú ý: a0 = 1)
3.Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với từng hạng tử của đa thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2.
4. Nhõn đa thức với đa thức
 + Nhõn đa thức với đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này lần lượt với cỏc 
hạng tử của đa thức kia.(rồi thu gọn nếu có thể)
 (A + B)(C – D) = A(C – D) + B(C – D) = AC –AD + BC – BD .
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -x(2x2+1) =  b/ 2x2(5x3-x-) =
c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y – 2xy)(-3x2y) =
e/ (2x + y)(2x – y) =  f/ (xy - 1)(xy + 5) = 
III/ Chia đa thức:
1.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
 am : an = am - n ví dụ: x3: x2 = x
2. Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luỹ thừa cùng cơ số
 với nhau.
+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 .y:y0 = - 5x y
3. Chia đa cho đơn thức : 
Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b – 2ab.
4)Chia đa thức một biến đó sắp xếp: 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức bị chia, cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia
+ Tìm đa thức dư thứ nhất, 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức dư , cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia,
+ Tìm đa thức dư thứ hai,
+ Chia
Dừng lại khi hạng tử bậc cao nhất của đa thức dư có bậc bé hơn bậc của hạng tử bậc 
cao nhất của đa thức chia .
 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
 2x4- 8x3- 6x2
 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3
 - 5x3+ 20x2+10x
 - x2 - 4x - 3
 - x2 - 4x - 3
 0
 x2- 4x - 3
 2x2 - 5 x + 1
5. Hằng đẳng thức đáng nhớ:
 u-BèNH PHƯONG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 v-BèNH PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 w-HIỆU HAI BèNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 x-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 y-HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
 z-LẬP PHƯơNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3
 { -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3
 Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =
d/ (x – 7)2 =  e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x – 1)2 = 
g/ x2 – (2y)2 =  h/ x2 - 1 =  i/ 4x2 – 9y2 =
k/ x3 – 1 = l/ 8 + x3 = m/ 8x3 + 27 =
n/ ( x +1)3 = p/ ( x – 2)3 =
6) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : 
Phương phỏp đặt nhõn tử chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thương của các hạng tử tương ứng với nhân tử chung 
Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x – 1).
 b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
 + Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
 jDạng 3 hạng tử: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 
 Ví dụ: a/ x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2
 b/ x2- 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
kDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình phương của một biểu thức:
 A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 Ví dụ: a/ x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
 b/ 9x2 - 4 = (3x)2 – 22 = (3x – 2)(3x + 2)
lDạng hai hạng tử với phép tính cộng, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức 
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 Chú ý: “Bình bình phương thiếu của hiệu”
 Ví dụ: x3 + 1 = (x +1)(x2 - x +1)
mDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức
 A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
 Chú ý: “Bình bình phương thiếu của tổng”
Ví dụ: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1). 
Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
 (Thường dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
 + áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: a/ 2x3 – 3x2 + 2x – 3 
 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) 
 = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) 
 = ( x2 + 1)( 2x – 3)
 b/ x2  – 2xy + y2 – 16 
 = (x2 – 2xy + y2) - 16
 = (x – y)2 -  42 
 = ( x – y – 4)( x –y + 4).
 4. Phối hợp nhiều phương phỏp
+ Trước hết nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Tuỳ đó để sử phương pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 
 a/ 3xy2 – 12xy + 12x 
 = 3x(y2 – 4y + 4) 
 = 3x(y – 2)2 
b) 3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 
 = 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
 = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
 = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
 = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
  = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
5.Phương phỏp nhẩm nghiệm:
( Dùng cho đa thức một biến dạng: A = ax2 + bx + c ; c gọi là hạng tử tự do)
+ Nghiệm của đa thức thuộc tập ước của c.(với trường hợp đa thức có nghiệm)
+ Thay lần lượt từng ước sẽ tìm được nghiệm x1và x2( x1là nghiệm khi A(x1) = 0
x2 là nghiệm khi A(x2) = 0).
+ Khi đó A = ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Ví dụ: A = x2 +5x – 6 
(a = 1; c = 6). Ư(6) = 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; - 6. Thử với 1 ta có:A = 12 +5.1 - 6 = 0 
=> x1= 1 .và x2 = - 6.
Vậy A = x2 +5x – 6 = 1(x - 1)(x + 6) = (x - 1)(x + 6).
Chú ý: Phương pháp này có thể áp dụng cho các đa thức có bậc lớn hơn 2.
Xem phần “chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử” tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi.
Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 1 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2 
7/ x2- 4 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2
10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x 
13/ x2+7x + 6 14/ x2 + 8x – 9 	 15/ x3 +1.
 Bài tập tổng hợp:
jPhân tích thành nhân tử:
 a)3x- 6y b)2x3y- 2xy3- 4xy2- 2xy c) 3a - 3b + a2 – ab	
d) x3 – 2x2 + x e) 	f). 
g) x2 – 4x + 3 
k Tìm x biết:
a/ (3x – 2)(2x +1)+(3 – 2x)( 3x + 5) = 13
b/ x2- 25 - (x+5) = 0 
c/ x2(x2+4) - x2- 4 = 0 
l Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = (x2+3)2- (x +2)(x - 2) Tại x =3
B = x2+ 4x+ 4 Tại x = 80
C = a(a - 1) - b(1- a) Tại a =2001 và b =1999
m Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
D = (x+1)(x2–x +1) – (x+2)(x2 - 2x+ 4) - 7
nTính: a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x+1)(x-3)+11
 b) Giá trị lớn nhất của biểu thức: B = - 4x2 +8x + 5.
 ---------------------------------
B. phân thức:
1.Khái niệm:
+ Phân thức có dạng: ; trong đú A, B là những đa thức và B khỏc đa thức 0 .
+ Tập xác định: Là những giá trị của biến làm cho mẫu khác 0.
Để tìm tập xác định (TXĐ) ta giải bài toán dạng tìm x biết, rồi loại bỏ giá trị đó trên tập R
Ví dụ: 
*/ Tìm TXĐ của : Ta giải bài toán: Tìm x biết 
Rồi loại bỏ giá trị trong tập R, ta được TXĐ: hoặc viết gọn TXĐ:
*/ Tìm TXĐ của: 
Giải: xác định 
*/ Với giá trị nào của x thì phân thức có nghĩa.
Giải: Phân thức có nghĩa .
2. Tính chât cơ bản:
*/Tớnh chất cơ bản của phõn thức : = => A ã D = B ã C
 = ( M 0 ) ; = (N là nhõn tử chung)
 */ Qui tắc đổi dấu:
+ Đổi dấu cả tử và mẫu: = 
+ Đổi dấu phân thức và đổi dấu tử: = 
+ Đổi dấu pơhân thức và đổi dấu mẫu: 
3. Rút gọn phân thức: Phương pháp:
+ Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.( tìm nhân tử chung)
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ví dụ: Rút gọn phân thức:
*/ 
*/ 
4. Quy đồng mẫu thức: Phương pháp:
žTìm mẫu chung:
+ Phân tích: - Phần hệ số thành thừa số nguyên tố.
- Phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung: - Phần hệ số là BCNN của các hệ số của các mẫu.
- Phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
 žTìm nhân tử phụ:
+ Lấy MC chia cho từng mẫu ( đã phân tích thành nhân tử)
 žNhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ tương ứng. Ta được các phân thức mới có mẫu giống nhau.
Ví dụ: Quy đồng mẫu các phân thức sau:
 và 
Giải: 
MC: 
 và 
5.Công – Trừ phân thức: Phương pháp:
 —/ Quy đồng mẫu.
 —/ Cộng (hoặc) Trừ tử với tử; mẫu chung giữ nguyên.
 —/ Bỏ ngoăc bằng phương pháp nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
 —/ Thu gọn ( cộng trừ các hạng tử đồng dạng)
 —/ Phân tích tử thành nhân tử (nếu có thể). 
Ví dụ: +
6. Nhân phân thức: Phương pháp:
+ Lấy Tử nhân tử; Mẫu nhân mẫu. Rồi rút gọn nếu có thể. 
Ví dụ: 
7. Chia phân thức:
1. Phân thức nghịch đảo: Nghịch đảo của là .
2. Chia phân thức: . Rồi rút gọn nếu cóthể.
Ví dụ: 
 .
8. Biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ: Phương pháp:
*/ Theo thứ tự thực hiện các phép tính.
*/ Theo quy tắc các phép tính về đa thức và quy tắc các phép tính về phân thức.
Ví dụ: Cho biểu thức: 
A=
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị nguyên.
Giải:
a/ Rút gọn A =
b/ Ta có : 
A nguyên nguyên là Ư(8) = 
 ; ; 
 ; 
 ; 
 ; 
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm tập xác định của các phân thức sau: 
a/ b/ c/ d/ e/ 
 2. rút gọn biểu thức:
j k l 
m n o
3. Tính:
j + k - l 
m n o p q r
s
4.Toán tổng hợp:
j Cho phõn thức: P =
a) Tỡm giỏ trị của x để phõn thức P được xỏc định.
b) Rỳt gọn phõn thức P.
c) Tỡm giỏ trị của x để giỏ trị của phõn thức P = 2.
k Cho biểu thức: 
a/. Tỡm điều kiện để biểu thức A cú nghĩa.
b/. Rỳt gọn và tớnh giỏ trị biểu thức Q với x = 1
lCho biểu thức: 
Chứmg minh biểu thức P không phụ thuộc vào biến x.
m Cho phân thức: B = 
Rút gọn B 
Tìm x để B = 1 
nCho biểu thức: A = 
Tìm x để phân thức xác định 
Tìm x ẻ Z để A ẻ Z
oChứng minh đẳng thức : .
 --------------------------------------------