Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Đồng Đức Lợi

 ĐẠI SỐ
I.Cộng, Trừ đa thức:
1. Đơn thức đồng dạng: 
 Là những đơn thức có phần biến hoàn toàn giống nhau.
2. Cộng trừ các đơn thức:
+ Cộng trừ các đơn thức là cộng trừ các đơn thức đồng dạng, ta cộng trừ các hệ số; phần biến giữ nguyên.
+ Ví dụ: 2x3y2 + x3y2 - 5 x3y2 = (2 +1 – 5) x3y2 = -2 x3y2
3.Cộng trừ đa thức: 
+ Cộng trừ đa thức thực chất là cộng trừ các đơn thức (hạng tử) đồng dạng, sau khi thực hiện bước bỏ dấu ngoặc có dấu cộng hoặc có dấu trừ đằng trước.
+ Ví du: (3a2b3 -2bc2+ 4 ) – (3 bc2 - a2b3 + 5)
 = 3a2b3 -2bc2+ 4 – 3 bc2 + a2b3 – 5
 = 3a2b3 + a2b3 -2bc2 – 3 bc2 + 4 - 5 
 = 4a2b3 - 5bc2 – 1 . 
II/ Nhân đa thức:
1. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
 am . an = am + n ví dụ: x3. x2 = x5
2. Nhân đơn thức với đơn thức:
+ Nhân hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau( nhân các luỹ thừa cùng cơ số)
+ Ví dụ: 5x2y . 7x3 = 5.7.x2.x3 .y.y0 = 35x5 y ( chú ý: a0 = 1)
3.Nhân đơn thức với đa thức:
+ Nhõn đơn thức với đa thức ta lấy đơn thức, nhõn với từng hạng tử của đa thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi nhân lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: - 2a2b.( 3ab3 - 4a2b) =-2a2b.3ab3- 2a2b.(- 4a2b) = - 6a3b4 + 8a4b2.
4. Nhõn đa thức với đa thức
 + Nhõn đa thức với đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này lần lượt với cỏc 
hạng tử của đa thức kia.(rồi thu gọn nếu có thể)
 (A + B)(C – D) = A(C – D) + B(C – D) = AC –AD + BC – BD .
Bài tập áp dụng: Tính:
a/ -x(2x2+1) =  b/ 2x2(5x3-x-) =
c/ 6xy(2x2-3y) = d/ (x2y – 2xy)(-3x2y) =
e/ (2x + y)(2x – y) =  f/ (xy - 1)(xy + 5) = 
III/ Chia đa thức:
1.Chia hai luỹ thừa cùng cơ số:
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ.
 am : an = am - n ví dụ: x3: x2 = x
2. Chia đơn cho đơn thức :
+ Chia đơn thức cho đơn thức , ta chia hệ số cho hệ số , chia luỹ thừa cùng cơ số
 với nhau.
+ Ví dụ: 15x3y : (-3x2) = 15: (-3).x3:x2 .y:y0 = - 5x y
3. Chia đa cho đơn thức : 
Chia đa thức cho đơn thức, ta lấy từng hạng tử của đa thức bị chia chia cho đơn thức.
+ Chú ý: Từng hạng tử của đa thức là các đơn thức do vậy khi chia lưu ý đến dấu của hệ số các đơn thức.
+ Ví dụ: (- 2a2b.+ 6ab3 - 4a2b2) : 2ab =- a + 3b – 2ab.
4)Chia đa thức một biến đó sắp xếp: 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức bị chia, cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia
+ Tìm đa thức dư thứ nhất, 
+ Chia h/tử bậc cao nhất của đa thức dư , cho h/tử bậc cao nhất của đa thức chia,
+ Tìm đa thức dư thứ hai,
+ Chia
Dừng lại khi hạng tử bậc cao nhất của đa thức dư có bậc bé hơn bậc của hạng tử bậc 
cao nhất của đa thức chia .
 2x4 - 13x3 + 15x2 + 11x - 3
 2x4- 8x3- 6x2
 - 5x3 + 21x2 + 11x - 3
 - 5x3+ 20x2+10x
 - x2 - 4x - 3
 - x2 - 4x - 3
 0
 x2- 4x - 3
 2x2 - 5 x + 1
5. Hằng đẳng thức đáng nhớ:
 u-BèNH PHƯONG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
 v-BèNH PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
 w-HIỆU HAI BèNH PHƯƠNG : A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 x-TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG : A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 y-HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG : A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
z-LẬP PHƯơNG CỦA MỘT TỔNG : (A + B)3 = A3 + 3A 2B + 3AB2 + B3
 { -LẬP PHƯONG CỦA MỘT HIỆU : (A - B)3 = A3 - 3A 2B + 3AB2 - B3
 Bài tập áp dụng: ( hằng đẳng thức)
a/ (x + 4y)2 = b/ (3x + 1)2 = c/ (x + 3y)2 =
d/ (x – 7)2 =  e/ (5 - y)2 = f/ ( 2x – 1)2 = 
g/ x2 – (2y)2 =  h/ x2 - 1 =  i/ 4x2 – 9y2 =
k/ x3 – 1 = l/ 8 + x3 = m/ 8x3 + 27 =
n/ ( x +1)3 = p/ ( x – 2)3 =
6) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử : 
Phương phỏp đặt nhõn tử chung
+ Phân tích mỗi hạng tử thành tích.
+ Tìm nhân tử chung.
+ Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc,các hạng tử còn lại trong ngoặc là thương của các hạng tử tương ứng với nhân tử chung 
Ví dụ: a/ 12x2- 4x = 4x. 3x - 4x = 4x(3x – 1).
 b/ x(y-1) +3(y-1) = (y - 1)(x +3)
Phương phỏp dựng hằng đẳng thức
 + Dùng các hằng đẳng thức để phân tích theo các dạng sau:
 jDạng 3 hạng tử: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 
 Ví dụ: a/ x2 + 2x +1 = x2 + 2.x.1 +12 = (x + 1)2
 b/ x2- 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
kDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là bình phương của một biểu thức:
 A2 - B2 = (A +B)(A- B)
 Ví dụ: a/ x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
 b/ 9x2 - 4 = (3x)2 – 22 = (3x – 2)(3x + 2)
lDạng hai hạng tử với phép tính cộng, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức 
 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
 Chú ý: “Bình bình phương thiếu của hiệu”
 Ví dụ: x3 + 1 = (x +1)(x2 - x +1)
mDạng hai hạng tử với phép tính trừ, mỗi hạng tử là lập phương của một biểu thức
 A3 - B3 = (A - B)(A2+ AB + B2)
Ví dụ: x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1). 
Phương phỏp nhúm nhiều hạng tử
 (Thường dùng cho loại đa thức có bốn hạng tử trở lên)
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm
 + áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung.hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: a/ 2x3 – 3x2 + 2x – 3 
 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) 
 = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) 
 = ( x2 + 1)( 2x – 3)
 b/ x2  – 2xy + y2 – 16 
 = (x2 – 2xy + y2) - 16
 = (x – y)2 -  42 
 = ( x – y – 4)( x –y + 4).
 4. Phối hợp nhiều phương phỏp
+ Trước hết nghĩ đến phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Tuỳ đó để sử phương pháp hằng dẳng thức hoặc nhóm hạng tử
+ Có thể đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 
 a/ 3xy2 – 12xy + 12x 
 = 3x(y2 – 4y + 4) 
 = 3x(y – 2)2 
b) 3x3y – 6x2y – 3xy3  – 6axy2 – 3a2xy + 3xy 
 = 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
 = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
 = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
 = 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
  = 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
5.Phương phỏp nhẩm nghiệm:
( Dùng cho đa thức một biến dạng: A = ax2 + bx + c ; c gọi là hạng tử tự do)
+ Nghiệm của đa thức thuộc tập ước của c.(với trường hợp đa thức có nghiệm)
+ Thay lần lượt từng ước sẽ tìm được nghiệm x1và x2( x1là nghiệm khi A(x1) = 0
x2 là nghiệm khi A(x2) = 0).
+ Khi đó A = ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Ví dụ: A = x2 +5x – 6 
(a = 1; c = 6). Ư(6) = 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; - 6. Thử với 1 ta có:A = 12 +5.1 - 6 = 0 
=> x1= 1 .và x2 = - 6.
Vậy A = x2 +5x – 6 = 1(x - 1)(x + 6) = (x - 1)(x + 6).
Chú ý: Phương pháp này có thể áp dụng cho các đa thức có bậc lớn hơn 2.
Xem phần “chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử” tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi.
Bài tập áp dụng: phân tích đa thức thành nhân tử:
1/ 2x2- 5xy 2/ x3 – 1 3/ -3xy3- 6x2y2+18y2x3
4/ 18(a- b) - 15a(b - a) 5/ 12x - 9- 4x2 6/ 1- 2y + y2 
7/ x2- 4 8/ 10x-25 - x2 9/ x2 +2x+1- y2
10/ 2xy- x2- y2+16 11/ 25x – x3 12/ 10x2 + x3 + 25x 13/ x2+7x + 6 14/ x2 + 8x – 9 	 15/ x3 +1.
 Bài tập tổng hợp:
jPhân tích thành nhân tử:
 a)3x- 6y b)2x3y- 2xy3- 4xy2- 2xy c) 3a - 3b + a2 – ab	
d) x3 – 2x2 + x e) 	f). 
k Tìm x biết:
a/ (3x – 2)(2x +1)+(3 – 2x)( 3x + 5) = 13
b/ x2- 25 - (x+5) = 0 
c/ x2(x2+4) - x2- 4 = 0 
l Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = (x2+3)2- (x +2)(x - 2) Tại x =3
B = x2+ 4x+ 4 Tại x = 80
C = a(a - 1) - b(1- a) Tại a =2001 và b =1999
m Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
D = (x+1)(x2–x +1) – (x+2)(x2 - 2x+ 4) - 7
nTính: a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x+1)(x-3)+11
 b) Giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 5 - 4x2 +8x.
 (còn nữa)
 
4) Cho phõn thức :
a) Điều kiện của x để giỏ trị của phõn thức được xỏc định là : x 
b) Rỳt gọn phõn thức :
c) Giỏ trị của A :
Thay x = –3 phõn thức A cú giỏ trị là :
Thay x = –1 khụng thỏa món điều kiện đề bài , nờn phõn thức A khụng xỏc định .
4) Chứng minh đẳng thức :
Giữ nguyờn vế phải , biến đổi vế trỏi , ta cú :
So sỏnh vế trỏi bằng vế phải .
Vậy đẳng thức đó cho là đỳng .
6)Giỏ trị nhỏ nhất của đa thức sau là :
a) A = x2 – 2x + 5 = x . ( x – 2 ) + 5 > 5
khi x . ( x – 2 ) = 0 = > x = 0 và x = 2 
vậy giỏ trị nhỏ nhất của đa thức A là 5 , tại x = 0 và x = 2 .
b) B = 2x2 – 6x = x ( 2x – 6 ) = 0 = > x = 0 và x = 3
vậy giỏ trị nhỏ nhất của đa thức B là 0 , tại x = 0 và x = 3 .
7) Giỏ trị lớn nhất của đa thức sau là :
a) A = 4x – x2 + 3 = x . ( 4 – x ) + 3 < 3
khi x . ( 4 – x ) = 0 = > x = 0 và x = 4
vậy giỏ trị lớn nhất của đa thức A là 3 , tại x = 0 và x = 4 .
b) B = x – x2 = x . ( 1 – x ) = 0 = > x = 0 và x = 1
vậy giỏ trị lớn nhất của đa thức B là 0 , tại x = 0 và x = 1 .
II-HèNH HỌC :
B
E
HT ABCD : AB //CD ; MN//AB//CD ; OE = OF
A
GT
1) 
a) Tứ giỏc EMFN là hỡnh gỡ ? chứng minh .
b)Hỡnh thang ABCD thờm điều kiện gỡ thỡ EMFN là hỡnh thoi .
O
 M N
KL
F
C
D
Chứng minh : kẻ đường chộo AC .
a) Ta cú : MN//AB//CD và OE = OF
 = > MA = MD ; NB = NC ( vỡ cỏc đoạn bị chắn cỏc đường song song cỏch đều )
Xột ABC cú :
 ( Đường trung bỡnh của tam giỏc ) (1)
Xột ABC cú :
 ( Đường trung bỡnh của tam giỏc )(2)
Từ (1) và (2) suy ra : EN //= MF 
Mà EN và MF là hai cạnh đối của tứ giỏc ENMF , nờn ENMF là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cặp cạnh đối song song và bằng nhau )
hbh ABCD : AB//=DC ; AD//=BC
AB = 2 BC => 
EA = EB ; FD = FC 
Diện tớch ABCD = S
b) Hỡnh thang ABCD thờm điều kiện cú hai cạnh bờn bằng nhau ( tức là hỡnh thanh cõn ) thỡ EMFN là hỡnh thoi .
2) 
GT
N
M
F
E
D
C
B
A
a) CM : DEBF là hỡnh bỡnh hành
b)Tứ giỏc AEFD là hỡnh gỡ ?CM
c)CM : EMFN là hỡnh chữ nhật .
d) Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật 
GT
Chứng minh :
a) Xột tứ giỏc DEBF , ta cú :
EB AB ; DF DC (1)
AB //= DC (gt ) (2)
 ; (gt) (3)
 Từ (1) , (2) ,(3) , suy ra : EB //= DF 
 Mà EB và DF là cặp cạnh đối của tứ giỏc DEBF , nờn DEBF là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cặp cạnh đối song song và bằng nhau )
b)Xột tứ giỏc AEFD cú :
AB//=DC ; AD//=BC (gt) (1) 
 ; (gt) (2)
AE = DF ; AD = EF (gt) (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra : AE = DF = AD = EF nờn tứ giỏc AEFD là hỡnh thoi 
c) Xột tứ giỏc EMFN :
Từ chứng minh b : tứ giỏc AEFD là hỡnh thoi 
= > (1)
Chứng minh tương tự , ta cú tứ giỏc BEFC là hỡnh thoi 
= > 	 (2)
Từ (1), (2) suy ra : Tứ giỏc EMFN là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cặp gúc đối bằng nhau )
Hỡnh bỡnh hành EMFN cú gúc M là gúc vuụng , nờn EMFN là hỡnh chữ nhật .
d) Căn cứ vào hỡnh vẽ : hỡnh bỡnh hành ABCD cú 8 tam giỏc vuụng , mà hỡnh chữ nhật EMFN tạo bởi 2 tam giỏc vuụng .
 Do vậy , diện tớch của hỡnh chữ nhật EMFN là : 
3)
 ABC : OA = OE ; CD // AB
 CD = AB . AE OM
 MB = MC ; 
A
GT
M
O
C
B
A , M , D thẳng hàng .
Tam giỏc EAD vuụng
 BD = CE
KL
D
E
Chứng minh :
a) Xột tứ giỏc ABCD cú : CD //= AB (gt) 
 Nờn ABCD là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cặp cạnh đối song song và bằng nhau )
Mà AD , BC là đường chộo của hỡnh bỡnh hành ABCD và MB = MC  (gt) .
Vậy theo tớnh chất hỡnh bỡnh hành : hai đường chộo cắt nhau trung điểm mỗi đường, do đú M cũng thuộc đường chộo AD , nờn ba điểm A , M , D thẳng hàng .
b)Xột tam giỏc AED 
Ta cú : 
 OA = OE (gt ) (1)
 MB = MA ( cm a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : OM là đường trung bỡnh của tam giỏc AED
= > OM // ED 
 Và AE OM (gt) = > ED AE ( hay gúc E = 900 )
Vậy tam giỏc AED là tam giỏc vuụng .
c)Từ hỡnh bỡnh hành ABCD = > BD = AC ( vỡ là cạnh đối diện ) (1)
 Xột tam giỏc vuụng AOC và tam giỏc vuụng COE cú :
 OA = OE (gt) và OC là cạnh chung
= > AOC = COE (Hai cạnh gúc vuụng )
= > CE = AC ( Hai cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BD = CE
H
 ABC : AB = AC = BC
 AH // BC 
DA = DB ; EB = EC ; FA = FC
A
4)
a) Tứ giỏc ABEH là hỡnh bỡnh hành
b) Tứ giỏc AHCE là hỡnh chữ nhật 
c) Tứ giỏc BDFC là hỡnh thang cõn
d) Tứ giỏc BDFE là hỡnh thoi
KL
GT
D
F
B
C
E
Chứng minh :
a)Xột tứ giỏc ABEH cú :
AH // BC ( gt ) và BE BC => AH // BE (1)
AB // EH ( vỡ EF EH và EF là đường trung bỡnh ACB ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : tứ giỏc ABEH là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cỏc cặp đối song song )
b) Xột tứ giỏc AHCE cú : FA = FC (gt) 
 nờn tứ giỏc AHCE là hỡnh bỡnh hành (1)
 ( vỡ hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường )
Trong tam giỏc đều ABC thỡ AE vừa là phõn giỏc , , vừa là trung trực
 => AE BC = {E} , hay gúc E = 900 (2)
Từ (1),(2) suy ra : hỡnh bỡnh hành AHCE là hỡnh chữ nhật (vỡ cú một gúc vuụng )
c) Xột tứ giỏc BDFC cú : 
DF // BC ( vỡ theo gt DF là đường trung bỡnh của ABC ) 
và FC = DB (vỡ gt cho : AB = AC ; DA = DB ; FA = FC )
Nờn tứ giỏc BDFC là hỡnh thang cõn ( vỡ cú hai cạnh đối song song và hai cạnh bờn bằng nhau )
d) Xột tứ giỏc BDFE cú :
DF = BE ( vỡ DF là đường trung bỡnh của ABC ) (1)
FE = AC ( vỡ trung tuyến thuộc cạnh huyền )
DB = AB ( vỡ D là trung điểm của AB )
Mà AB = AC (gt)
Suy ra : FE = DB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : DF = BE = FE = DB 
Vậy tứ giỏc BDFE là hỡnh thoi ( vỡ cú bốn cạnh bằng nhau )
a) EFGH là hỡnh bỡnh hành
b) Cỏc đoạn AC , BD , EG , FH
 đồng qui .
KL
GT
H
G
F
E
D
C
B
A
5) 
ABCD : AB//=DC ; AD//=BC; 
 AE = CG ; BF = DH
O
Chứng minh :
a) xột hỡnh bỡnh hành ABCD cú : AB = DC ; AD = BC và AE = CG ; BF = DH
= > AH = CF ; BE = DG ( vỡ là hiệu cỏc đoạn bằng nhau )
Xột HAE và FCG cú : AH = CF (cmt) ; ; AE = CG (gt) 
=> HAE = FCG ( c-g-c)
= > HE = GF (hai cạnh tương ứng ) (1)
Xột HDG và EBF cú : DH = BF (gt) ; ; DG = BE (cmt) 
=> HDG = EBF ( c-g-c)
= > HG = EF (hai cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) , (2) suy ra : Tứ giỏc EFGH là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau )
b) Xột hỡnh bỡnh hành ABCD cú : đường chộo AC cắt đường chộo BD tại O (1)
Xột hỡnh bỡnh hành EFGH cú : đường chộo FH cắt đường chộo EG tại O (2)
Từ (1) và (2) suy ra : Cỏc đoạn AC , BD , EG , FH đồng qui .
A
6)
 ABC : AB = AC ; EA = EB ; DA = DC
 AM BC ; MB = MC
 ME // AC ; MD // AB
a) Tứ giỏc BCDE là hỡnh gỡ ? cm
b) Tứ giỏc ADME là hỡnh gỡ ? cm
c) Điều kiện gỡ của tam giỏc ABC để ADME là hỡnh vuụng .
KL
GT
D
E
M
C
B
Chứng minh :
a)Xột tứ giỏc BCDE cú : ED // BC ( vỡ theo gt : EA = EB ; DA = DC nờn là đường trung bỡnh tam giỏc ABC )
và AB = AC ; EA = EB ; DA = DC
=> Tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cõn ( vỡ cú hai cạnh đối song song và hai cạnh bờn bằng nhau )
b)Xột tứ giỏc ADME cú : ME //= AD ( vỡ ME là đường trung bỡnh tam giỏc ABC ) , nờn ADME là hỡnh bỡnh hành .
 ED // BC ( vỡ theo gt : EA = EB ; DA = DC nờn là đường trung bỡnh tam giỏc ABC )
 AM BC 
 = > ED AM , mà ED và AM là hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành 
BCDE , nờn BCDE là hỡnh thoi .
c) ) Điều kiện của tam giỏc ABC khi tam giỏc ABC vuụng cõn tại A thỡ ADME là hỡnh vuụng .