Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 7: Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

DẠNG 7: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Bài toán 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 2: a) Tìm GTLN : 
b) Tìm GTLN : 
Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất (của biểu thức 
Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài 5: Cho số thực x thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) 	b) 
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
 B=27-12xx2+9
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 15:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): 
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 19: Cho biểu thức 
a) Rút gọn 
b) Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 23: Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của khi 
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : 
Bài 27: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:
Bài 31. Cho là các số dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất : 
Bài 33.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 34. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2.
Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Bài 36. Cho . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 38. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 39. Cho các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 40: Cho là các số thực dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 41: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 42: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 43: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 44: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 45: Cho là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 46: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 47: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 48:	Cho biểu thức 
Rút gọn 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 49: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 50:	Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 51: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 52: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Bài 53: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 54: Tìm các giá trị của để biểu thức:
có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 55: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 56: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 57: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 4x2 + 4x + 5
Bài 58: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: . 
Bài 59: Tìm giá trị của biến x để: 
a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 60: : a) Tìm GTLN của 
 b) Tìm GTNN của biểu thức , với 
Bài 61: Tìm GTNN của: 
a) ; b) ; 
c) 
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTLN của 
Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTNN của 
Bài 65: a) Tìm GTNN của biết 
 b) Tìm GTNN của 
 c) Tìm GTNN của 
 d) Tìm GTLN của với 
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng. 
Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN
Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của:biết 
Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức:có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 
	a) đạt giá trị lớn nhất	b) đạt giá trị nhỏ nhất	
Bài 78: a) Tìm GTLN của 
 b) Tìm GTNN của biểu thức , với 
Bài 79: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c) 
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTLN của 
Bài 82: a) Tìm GTNN của biết 
 b) Tìm GTNN của 
 c) Tìm GTNN của 
 d) Tìm GTLN của với 
Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTNN của 
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x4+2x3+3x2+2x+1
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: S=aa+1+bb+1
Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=116x+14y+1z
Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=x-20122+x+20132
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = 
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 
Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 96: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: . 
Bài 97:
a) Cho thoả mãn . 
Tìm GTNN của biểu thức .
 b) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
Bài 98:
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
Bài 99: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 100: Cho là các số thực dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 105: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 106: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 109:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Dấu xảy ra 
Vậy 
Bài 2: a) Tìm GTLN : 
b) Tìm GTLN : 
Lời giải
a) P=
Suy ra 
b) 
Q đạt GTLN đạt GTNN mà 
của C là 
Bài 3: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất (của biểu thức 
Lời giải
Do: với 
Ta có: 
Bài 4: Cho là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Lời giải
Vậy 
Bài 5: Cho số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Đặt Biểu thức đã cho trở thành:
*) Vì 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy 
*) nên và là hai số không âm
Áp dụng BĐT Cô si ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi hay 
Vậy 
Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Lời giải
Ta có:
Vậy 
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với là số nguyên.
Lời giải
Xét 
Xét thì do nên 
+ Khi 
+ Khi 
+ Khi 
Vậy 
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) 	b) 
Lời giải
a) Áp dụng tính chất dấu xảy ra ta có:
Dấu “=” xảy ra và và 
Vậy 
b) Ta có 
Với mọi ta có: 
Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
. Dấu bằng xảy ra 
Vậy 
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
Lời giải
Đặt 
Khi đó: 
Vậy 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Chứng tỏ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy 
Bài 12: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
 B=27-12xx2+9
Lời giải
Ta có: 
Ta có:
Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Biến đổi để có: 
Vì và nên 
Do đó: 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
Bài 15: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Lời giải
a) Ta có: 
Do Nên 
Dấu xảy ra 
Vậy GTNN của là 
b) 
Do nên Dấu xảy ra 
Vậy của là 
Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): 
Lời giải
Ta có 
Vì 
Vậy 
Bài 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Đẳng thức xảy ra 
Giá trị nhỏ nhất của B là 
Bài 19: Cho biểu thức 
a) Rút gọn b) Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
a)
Vậy với mọi 
b) Ta có : với mọi 
- Nếu ta có 
- Nếu , chia cả tử và mẫu của cho ta có: 
Ta có: 
Nên ta có: . Dấu xảy ra khi 
Vậy lớn nhất là khi 
Bài 20: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Ta có: 
Dấu xảy ra và 
và Vậy nhỏ nhất là 
Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
 với mọi 
 với mọi 
Từ 
Bài 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Vậy 
Bài 23: Cho biểu thức 
Tìm điều kiện xác định và rút gọn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của khi 
Lời giải
a) ĐKXĐ: 
b) 
Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy của P là 
Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
 Ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi 
Bài 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Dấu xảy ra 
Vậy 
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức : 
Lời giải
Vậy 
Bài 27: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Lời giải
Ta có: 
Do Nên 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
b) 
Do . Đẳng thức xảy ra 
Vậy 
Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Lời giải
Ta có : 
Vậy 
Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi 
Bài 30. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:
Lời giải
 Đặt ta có: 
Dấu xảy ra và 
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 8 tại 
Bài 31.
Cho là các số dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Theo BĐT Cô si ta có: Dấu xảy ra 
Tương tự: , dấu “=” xảy ra 
, dấu xảy ... > 0 và )
Dấu « = » 
Suy ra GTLN(P) = . 
 b) đạt giá trị nhỏ nhất	
 HD: ĐKXĐ: 
Ta có: 
Đặt . Ta có: 
Dấu « = » 
Suy ra GTNN(Q) = 
Bài 60 : a) Tìm GTLN của 
 b) Tìm GTNN của biểu thức , với 
Lời giải:
a) Tìm GTLN của 
Ta có: 
Đặt , khi đó: 
Dấu “=” 
Suy ra 
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .
Ta có: 
Dấu “ =” 
Vậy, GTNN(B) =.
 Chú ý: BĐT AM-GM cho 2 số không âm, ta có: . Dấu “=”
 * Cách biến đổi B : Ta viết .
Biến đổi và đồng nhất thức hai vế, suy ra .
Bài 61: Tìm GTNN của: 
a) ; b) ; c) 
Lời giải:
Tìm GTNN của:
a) Ta có: 
( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và ) 
Dấu « = » 
Suy ra . 
 b) 
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra 
 c) 
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra .
Bài 62: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Từ , 
Khi đó, 
Dấu “=”
Suy ra 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Từ , 
Khi đó, 
Dấu « = » 
Suy ra 
Bài 63: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTLN của 
Lời giải:
a) Ta có : 
Dấu “=”
Suy ra GTNN(Q) = 7.
 b) Ta có: 
Dấu “=”
Suy ra GTLN(A) = 1	
Bài 64: a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTNN của 
Lời giải:
a) Ta có: ( Vì )
 ( Vì )
Dấu “=” 
Suy ra .
 b) Tìm GTNN của 
Ta có: 
Dấu “=” 
Suy ra và .
Bài 65: a) Tìm GTNN của biết 
 b) Tìm GTNN của 
 c) Tìm GTNN của 
 d) Tìm GTLN của với 
Lời giải:
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết 
* Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2+ = 16 (1)
Ta lại có: - 2+ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2+ 2 16 + 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
* Cách 2: Ta có : 
Suy ra 
Dấu “=” 
Vậy, .
 b) Ta có : 
Dấu “=”
Suy ra GTNN (B ) = 5
 c) Ta có: 
Đặt ( chú ý : )
Khi đó, 
Dấu “=”
 d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với 
*Cách 1: Đặt 
Khi đó 
( Vì ).
Dấu “=”.
Suy ra .
*Cách 2: Đặt 
Ta có: ( Vì nên )
Suy ra ( Vì )
Dấu “=”.
Suy ra .
Bài 66: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng. 
Lời giải:
Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
 Ta biết: .
 Đặt: .
Khi đó biểu thức (*) viết thành: .
Dấu “=” xảy ra 
 .
 *) .
 *) .
Vậy 
Bài 67: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của GTLN
Lời giải
Ta có: 
Dấu xảy ra và 
và Vậy nhỏ nhất là 
Bài 68: Cho hai số không âm và thỏa mãn: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Lời giải
Ta có: 
Chứng minh được với hai số dương thì 
Do đó: 
Vậy của S là 1, dạt được khi 
Bài 69: Cho hai số dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
. Dấu xảy ra 
Vậy GTNN của 
Bài 70: Cho là các số thực không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của :biết 
Lời giải
Áp dụng công thức Bunhiacopski ta có:
Vậy GTNN của là 
Bài 71: Tìm các giá trị của để biểu thức:có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải
Ta thấy nên 
Do dó 
Bài 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Do 
Đẳng thức xảy ra Vậy với thì L có giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của L là 8
Bài 73: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Vậy GTNN của là khi 
Bài 74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
 với mọi 
 với mọi 
Từ 
Bài 75: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Lời giải
Đặt 
Bài 76: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Lời giải
+ Tìm GTLN: 
Ta có: 
Dấu “ =” 
Suy ra GTLN(A) = 2 .
 + Tìm GTNN: 
Ta có: 
Dấu “ =” 
Suy ra GTNN(A) = 
Bài 77: Tìm giá trị của biến x để: 
a) đạt giá trị lớn nhất	 b) đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải
a) 
 Ta có: ( Vì 1 > 0 và )
Dấu « = » 
Suy ra GTLN(P) = . 
 b) ĐKXĐ: 
Ta có: 
Đặt . Ta có: 
Dấu « = » 
Suy ra GTNN(Q) = 
Bài 78: a) Tìm GTLN của 
 b) Tìm GTNN của biểu thức , với 
Lời giải
a) Tìm GTLN của 
Ta có: 
Đặt , khi đó: 
Dấu “=” 
Suy ra 
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với .
Ta có: 
Dấu “ =” 
Vậy, GTNN(B) =.
Bài 79: Tìm GTNN của:
a) ; b) ; c) 
Lời giải
a) Ta có: 
( Vì nên , dùng BĐT Cô-si cho hai số dương và ) 
Dấu « = » 
Suy ra . 
b)Ta có 
Dấu “=” ( thỏa )
 Suy ra 
c) 
Dấu “=” ( thỏa )
Suy ra .
Bài 80: Cho hai số x và y thoả mãn điều kiện: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ;
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Từ , 
Khi đó, 
Dấu “=”
Suy ra 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Từ , 
Khi đó, 
Dấu « = » 
Suy ra 
Bài 81: a) Cho x, y là các số dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Tìm GTLN của 
Lời giải
 a) Ta có : 
Dấu “=”
Suy ra GTNN(Q) = 7.
 b) Ta có: 
Dấu “=”
Suy ra GTLN(A) = 1
Bài 82: a) Tìm GTNN của biết 
 b) Tìm GTNN của 
 c) Tìm GTNN của 
 d) Tìm GTLN của với 
Lời giải
a) * Cách 1 : Ta có: + = 4 + 2+ = 16 (1)
Ta lại có: - 2+ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2+ 2 16 + 8
Vậy giá trị nhỏ nhất của 
* Cách 2: Ta có : 
Suy ra 
Dấu “=” 
Vậy, .
b) Ta có : 
Dấu “=”
Suy ra GTNN (B ) = 5
c) Ta có: 
Đặt ( chú ý : )
Khi đó, 
Dấu “=”
d) Tìm giá trị của để biểu thức sau đạt GTLN: với 
*Cách 1: Đặt 
Khi đó 
( Vì ).
Dấu “=”.
Suy ra .
*Cách 2: Đặt 
Ta có: ( Vì nên )
Suy ra ( Vì )
Dấu “=”.
Suy ra .
Bài 83: : a) Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 b) Tìm GTNN của 
Lời giải
a) Ta có: ( Vì )
 ( Vì )
Dấu “=” 
Suy ra .
 b) Tìm GTNN của 
Ta có: 
Dấu “=” 
Suy ra và .
Bài 84: Tìm giá trị nhỏ nhất của và các giá trị của tương ứng.
Lời giải
 Ta biết: .
 Đặt: .
Khi đó biểu thức (*) viết thành: .
Dấu “=” xảy ra 
 .
 *) .
 *) .
Vậy 
Bài 85: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải
Ta có:
Vậy 
Bài 86: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x4+2x3+3x2+2x+1
Lời giải
Ta có: P=x4+2x3+3x2+2x+1=x4+2x2+1+2x3+2x+x2=x2+12+2xx2+1+x2=x2+x+12
Vì x2 + x + 1 =x2+2x.12+14+34=x+122+34≥34
Suy ra : P≥342=916
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= -12
Bài 87: Cho hai số không âm a và b thỏa mãn: a2 + b2 = a + b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: 
S=aa+1+bb+1
Lời giải
Ta có: a2+1≥2a; b2+1≥2b;c2+1≥2ca+b≤2 
Chứng minh được với hai số dương x,y thì 1x+1y≥4x+y
Do đó: S=2-1a+1+1b+1≤2-4a+1+b+1≤1
Vậy GTLN của S là 1, dạt được khi a = b = 1
Bài 88: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x + y + z =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
P=116x+14y+1z
	Lời giải
Ta có: 
P=116x+14y+1z=x+y+z116x+14y+1z=y16x+x4y+z16x+xz+z4y+yz+2116
Theo BĐT cô si ta có : y16x+x4y≥14. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y = 2x
Tương tự : z16x+xz≥12. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 4x
	z4y+yz≥1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z = 2y
Suy ra: P≥4916 . Dấu “=” xảy ra khi x=17;y=27;z=47
Vậy: Min P = 4916x=17;y=27;z=47
Bài 89: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P=x-20122+x+20132
Lời giải
Ta có:
P=x-20122+x+20132=x2-4024x+4048144+x2+4026x+4052169
=2x2+2x+8100313=2x+122+8100312,5≥8100312,5 ∀x
Vậy Min P = 8100312,5 x=-12
Bài 90: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi 
Bài 91: a. Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y + z biết rằng x + 5y = 21 và 2x + 3z = 51 với x, y, z 0
b. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các phân thức B = 
Lời giải
a) Cộng vế với vế của các đẳng thức x + 5y = 21 và 2x + 3z =51 ta được
3(x + y + z) + 2y = 72	
Như vậy 3(x + y + z) lớn nhất khi và chỉ khi 2y nhỏ nhất . Mặt khác y 0 nên 2y nhỏ nhất khi y = 0 x = 21 và z = 3
Do đó 3(x + y + z) lớn nhất bằng 72 x + y + z lớn nhất bằng 24 khi x = 21; y = 0 và z = 3
b) Ta có = minB = -1 với x = -2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là B = -1 khi x = -2	
Mặt khác ta lại có = 
 maxB = 4 với x = 
Vậy giá trị lớn nhất của B là B = 4 khi x = 
Bài 92: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có = 
Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy Min P = 
Bài 93: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có với mọi x, y.
P = khi x = 10 và y = 10
Vậy Max P = khi x = 10 và y = 10.
Bài 94: Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 
Lời giải
Ta có: với mọi a
 với mọi a
 với mọi a (1)
Tương tự: với mọi b (2)
 với mọi c (3)
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :
. 
Vì nên: P = 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là đạt được khi và chỉ khi a = b = c =. 
Bài 95: Cho hai số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
= 
= 
Áp dụng BĐT AM-GM ta có (*)
Áp dụng BĐT AM-GM và kết hợp (*) ta có:
Đẳng thức xảy ra . Vậy khi .
Bài 96: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: . 
Lời giải
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , trong đó x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: . 
Ta có: (2)
Mặt khác: (3)
Từ (2) và (3) suy ra: 
Hay : .Do đó .
Đẳng thức xảy ra khi: (4).
Từ (1) và (4) ta có: .
Vậy Min (P) = 0 khi x = y =1.
Bài 97:
a) Cho thoả mãn . 
Tìm GTNN của biểu thức .
 b) Cho thoả mãn .
Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải
a) Ta có: 
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
 b) Ta có:
Dấu “=” .
Vậy, . Dấu “=” .
Bài 98: Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:.
	Lời giải	
Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho (1). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (2).
Từ (2) ta có: 
Do đó: 
Suy ra: (do (1)) .
Dấu “=” xảy ra .
Vậy Min Q = -2 khi m =-2, n =1 hoặc m =1, n = -2.
Bài 99:
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Dấu “=” 
Suy ra 
Ta có: 
Dấu “=” 
Suy ra 
Bài 100:
Cho là các số thực dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Vì nên: 
Ta có: 
Tương tự: 
Từ đó . Dấu xảy ra 
Vậy GTNN của là 
Bài 101: Cho các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra 
Ta có: 
Bởi vậy :
Vậy 
Bài 102: Cho hai số thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Vậy 
. Vậy 
Bài 103: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời gải
Vậy 
Bài 104: Cho là các số dương thỏa mãn 
Lời gải
Theo BĐT cô si ta có: 
Tương tự 
. Dấu bằng xảy ra khi 
 Bài 105: Cho là 3 số dương thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời gải
Ta có: 
Tương tự: 
Dấu xảy ra 
Bài 106: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Lời gải
 Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
hay Dấu bằng xảy ra 
Bài 107: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất của là 
Nên giá trị nhỏ nhất của là 
Bài 108: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Dấu xảy ra 
Vậy 
Bài 109:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Do 
Nên 
Dấu xảy ra 
Vậy GTNN của là 
Do nên Dấu xảy ra 
Vậy của là 	
Ta có:
Nhận thấy với mọi ta có: 
Dấu xảy ra khi 
Vậy Giá trị nhỏ nhất của là đạt được khi 	
Bài 110: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Đặt ta có biểu thức:
Dấu xảy ra 
Với thì đạt giá trị nhỏ nhất bằng