Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 4: Phương trình nghiệm nguyên

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
A.Bài toán 
Tìm các cặp số nguyên sao cho: 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho : 
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn và 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng .
. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho: 
: Tìm nguyên dương thỏa mãn: 
Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Bài 15: Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm các giá trị nguyên dương sao cho 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
 Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.
 a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
 Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng: 
Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
Tìm nguyên dương thỏa mãn: 
 Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
 Tìm các số nguyên thỏa mãn 
 Giải phương trình nghiệm nguyên : 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
 Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: 
 Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho 
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
 Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 Giải phương trình nghiệm nguyên : 
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.
 Tìm giá trị nguyên của x để biết và 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. 
 Giải phương trình nghiệm nguyên: .
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 
x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
 Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = 3 - xy
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
 Giải phương trình nghiệm nguyên: 
B. HƯỚNG DẪN
Tìm các cặp số nguyên sao cho: 
Lời giải
 Ta có:
Đặt : và Suy ra và là các ước của có tích bằng Nhận thấy là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau:



















10
 Vậy các cặp số nguyên cần tìm là 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
 (vì không là nghiệm của )
Vì nguyên nên là ước của 3 hay 

2
6
4
8

0
8
0
8
Vậy nghiệm của phương trình 
. Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có:
Ta thấy nên do nguyên nên 
Với thay vào ta được: tìm được 
Với thay vào ta có: , không tìm được nguyên
Với thay vào ta có không tìm được nguyên
Vậy 
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho : 
Lời giải
Ta có:
Do là số chẵn và nên Do đó và là hai số nguyên dương chẵn
Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp : và 
và Vậy 
 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1
Lời giải
 3x – y3 = 1 Û 3x = y3 + 1 (1)
 - Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1).
 - Nếu x < 0 thì 3x = ( n nguyên dương, n = - x) 
suy ra 0 < 3x < 1. Mà y3 + 1 là số nguyên, suy ra (1) không có nghiệm nguyên.
 - Nếu x > 0 thì 3x 3
 (1) Û 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) Þ (y + 1)3 3 nên y + 1 3
 Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 3x mà 3k2 – 3k + 1 3 và 3k2 – 3k + 1= 
nên 3k2 – 3k + 1 = 1 Û 3k(3k – 1) = 0 Û k = 0 hoặc k = 1.
 Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm.
 Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2.
Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
Lời giải
a) x2 + y2 + 5x2y2 + 60 = 37xy.
 x2 + y2 – 2xy = 35xy - 5x2y2 - 60
(x – y)2 = 5(3 – xy)(xy – 4) (1)
Vì (x – y)2 ≥ 0 nên 5(3 – xy)(xy – 4) ≥ 0 3 ≤ xy ≤ 4 xy {3;4}
Đẳng thức (1) xảy ra .
Vậy (x,y) {(2;2);(-2;-2)}
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn và 
Lời giải
Vì nên , do đó 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải: Thêm vào hai vế của phương trình ta có:
Ta thấy là hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0
TH1: 
TH2: ta cónên 
Thử lại ba cặp số đều là nghiệm của phương trình đã cho.
 Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng của ba tích của hai trong ba số ấy bằng 
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là . Ta có:
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 
. Tìm các giá trị nguyên dương sao cho: 
Lời giải
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng 
Lập luận để có và là các ước dương của 12. Từ đó ta có các trường hợp:
6
4

1
2
3


4





Mà nguyên dương nên 
: Tìm nguyên dương thỏa mãn: 
Lời giải
Vì nguyên dương nên và 
Phương trình có nghiệm dương duy nhất 
Tìm giá trị nguyên của để giá trị của biểu thức sau có giá trị là số nguyên. 
Lời giải: 
ĐKXĐ: 
Ta có: 
Để A có giá trị nguyên khi x nguyên thì 
Lập bảng: 
2x +1
-4
-2
-1
1
2
4
2x
-5
-3
-2
0
1
3
x



-1
0


Vậy, .
 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Giải:
+) Với dương, ta có:
(theo bất đẳng thức 
Mặt khác: 
Suy ra và đẳng thức xảy ra 
+)Áp dụng với ta có:
Đẳng thức xảy ra 
 Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn: 
Giải:
Có các giá trị 
 Tìm các giá trị nguyên dương sao cho 
Giải:
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng 
Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp

12



1










Mà nguyên dương nên 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình:
Lời giải
7
-1
5
1
11
-5
4
2
19
-13

1
-7
5
-11
-1
5
13
-19
-2
-4
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là: 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
 V	T (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
Với 
Với 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
Điều kiện 
Vì với mọi mọi y
Do đó mà 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên.
Lời giải
Giả sử : 
Khử ta có:
Vì nguyên ta có: 
 a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
b) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn sao cho tích đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
VT (*) là số chính phương, VP (*) là tích hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
Với 
Với 
Điều kiện 
Vì với mọi mọi y
Do đó mà 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 Ký hiệu (phần nguyên của ) là số nguyên lớn nhất không vượt quá Tìm biết rằng: 
Lời giải
vả 
Do 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Vì nên 
(2) viết thành: 
Vậy 
Tìm nguyên dương thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Vì nguyên dương nên
 và 
Phương trình có nghiệm dương duy nhất 
 Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là 
là các số nguyên dương). Ta có
 và 
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
thay vào (1) ta được: 
Từ đó tìm được các giá trị của là:
 Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Lời giải Ta có: 
Từ (1) và (2) ta có : mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Từ đó tìm được hai cặp số thỏa mãn Câu toán là: 
	Giải phương trình nghiệm nguyên : 
Lời giải
Ta có: 
Lại có: 
Suy ra Mà 
Lần lượt thử ta được là nghiệm của PT
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên 
Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn: 
Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn:
Lời giải
Ta có: (*)
+Xét ta có: 
+Xét và ta có VT(*) là số chẵn còn vế phải (*) là số lẻ, Vô lý
Vậy 
Ta có:
Vì và nên 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên 
Xét các trường hợp ta tìm được 
 Tìm cặp số nguyên thỏa mãn phương trình: 
Lời giải
 Vì: 
 Mà 
 Mặt khác với mọi x
Với , ta có: 
Vì y Z nên y3 = 1 y = 1
Vậy phương trình có một nghiệm nguyên 
 Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Do nên 
thỏa mãn nguyên
Vậy 
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho.
Với ta xét:
Nếu thì 
Với dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
Với ta đặt thì nên . Ta có:
Phương trình này vô nghiệm vì 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Lời giải: Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là (là các số nguyên dương)
Ta có: và 
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
Suy ra thay vào ta được:
Từ đó ta tìm được các giá trị của là:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
Lời giải
+) Với dương, ta có:
(theo bất đẳng thức 
Mặt khác:
Suy ra và đẳng thức xảy ra 
+)Áp dụng với ta có:
Đẳng thức xảy ra 
Tìm các giá trị nguyên dương sao cho 
Lời giải Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng 
Lập luận để có và là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp

12



1










Mà nguyên dương nên 
Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Có các giá trị 
 Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Lời giải 
	Gọi các cạnh của tam giác vuông là trong đó cạnh huyền là 
là các số nguyên dương). Ta có
 và 
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có:
thay vào (1) ta được: 
Từ đó tìm được các giá trị của là:
 Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải 
Từ suy ra 
Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm nguyên là 
 Giải phương trình nghiệm nguyên : 
Lời giải 
Ta có: 
Lại có: 
Suy ra Mà 
Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
b) Tìm các số nguyên thỏa mãn: với nguyên dương.
Lời giải 
a) Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
Vì nguyên dương nên 
Vậy 
 Tìm giá trị nguyên của x để biết và 
Lời giải
Xét 
Với thì khi 
Mà Ưnên thì 
 Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. 
Lời giải
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có : và 
Từ (2) suy ra thay (1) vào ta có :
thay (1) vào ta có: 
, thay vào (1) ta được:
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
 Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Lời giải
Đặt x2- 4x = t. ĐK t - 4 
Khi đó ta có được phương trình: t2 + 2t - 35 = 0 (t + 7)(t – 5) = 0
 t = -7 (loại) hoặc t = 5
Với t = 5, khi đó x2 - 4x - 5 = 0 (x +1)(x – 5) = 0 x = 5 hoặc x = -1 
Vậy tập nghiệm phương trình là S = {-1; 5}
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình
.
	Lời giải	
Đặt ta được 
Vì x, y là những số nguyên nên và cũng là những số nguyên. Do đó ta có hai trường hợp sau:
* TH1: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
* TH2: và . Suy ra và .
Với thì hoặc .
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên là 
 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
Lời giải
Ta có (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có x < y < x + 2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1
Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1; 
Từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là:
 (-1 ; 0) và (1; 2)
KL nghiệm
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Lời giải
Ta có: 
Vì và 64 chỉ được phân tích thành nên ta có:
 hoặc hoặc
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên: 
: Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: (*) 
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
*) Với 
*) Với 
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc .
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
Lời giải
Ta có: y3-x3 = 2x2+3x+2=2x+342+78>0 x<y (1) 
 x+23- y3 =4x2+9x+6=2x+942+1516 > 0 y<x+2 (2)
Từ (1) và (2) ta có : x<y<x+2, mà x,y nguyên nên suy ra y=x+1
Thay y = x + 1 vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được x = 1 hoặc -1.
Từ đó tìm được hai cặp số (x;y) thỏa mãn bài toán là (-1;0); (1;2)
Giải phương trình nghiệm nguyên : x2 + y2 = 3 - xy
Lời giải
Ta có: x-y2≥0x2+y2≥ 2xy 3-xy≥2xyxy≤1
Lại có: x+y2≥0x2+y2≥ -2xy 3-xy≥-2xyxy≥-3
Suy ra -3≤xy≤1. Mà x,y ∈Z xy∈-3; -2; -1;0 ;1
Lần lượt thử ta được x;y∈-2;1;1;-2;2;-1;-1;2;(1;1) là nghiệm của phương trình.
Lời giảiGọi các cạnh của tam giác vuông là x;y;z trong đó cạnh huyền là z.
(x;y;z là các số nguyên dương). 
Ta có: xy=2x+y+z 1và x2+y2=z2 (2)
Từ (2) suy ra z2=x+y2-2xy, thay (1) vào ta có:
z2=x+y2-4x+y+z2
z2+4z=x+y2-4x+yz2+4z+4=x+y2-4x+y+4
z+22=x+y-22
z+2=x+y-2 z+2= -x-y+2( không thỏa mãn vì z>0)
Suy ra z=x+y-4 thay vào (1) ta được: xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8x-4y-4=8=1.8=2.4
Từ đó tìm được các giá trị của x;y;z là:
x;y;z∈5;12;13;12;5;13;6;8;10;(8;6;10)
 Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
 Tìm giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Lời giải
Để B nhận giá trị nguyên thì 
Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 
Lời giải
Ta nhận thấy với mọi 
Nên 
Theo câu a): 
Suy ra : 
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên 
 Ta có:
Ta thấy: nên do nguyên nên 
Với thay vào ta được tìm được 
Với thay vào ta có : không tìm được x nguyên
Với thay vào ta có: không tìm được nguyên.
Vậy nguyên tìm được 
 Biến đổi về dạng :
Xét 4 trường hợp 
 Ta có:
VT của (*) là số chính phương ; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có một số bằng 0
Vậy có 2 cặp số nguyên 
(vì không là nghiệm của phương trình (2))
Vì nguyên nên là ước của 3
Hay hay 
Khi 	Khi 
Khi 	Khi 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là 
 Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
Bài 6.
7
-1
5
1
11
-5
4
2
19
-13

1
-7
5
-11
-1
-5
13
-19
-2
-4
Vậy các cặp số nguyên phải tìm là:
Lời giải
Ta có: 
Từ và ta có: mà nguyên suy ra 
Thay vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được 
Vậy 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
Ta có: 
Vì nguyên nên nên ta có:
Vì nguyên nên ta có nguyên 
Xét các trường hợp ta tìm được thỏa mãn và kết luận.
 Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Lời giải