Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 12: Hình học tổng hợp

DẠNG 12: HÌNH HỌC TỔNG HỢP
A.Bài toán 
Bài 1: Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh M là giao điểm của và 
Chứng minh: Tứ giác là hình vuông
Chứng minh và cân
Tính diện tích theo 
Bài 2:Cho hình vuông trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật
Biết diện tích tam giác gấp bốn lần diện tích tam giác Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng : 
Bài 3:Cho tam giác nhọn. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều lại dựng hình bình hành Chứng minh rằng là tam giác đều
Bài 4: Cho tam giác có 
Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC 
Gọi CD là đường phân giác của Chứng minh cân
Chứng minh: 
Bài 5:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M,N thứ tự là trung điểm của BC và AC.Các đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O.Qua A kẻ đường thẳng song song với OM, qua B kẻ đường thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H.
Nối MN , AHB đồng dạng với tam giác nào? 
Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng vớiMOG ?
Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ?
Bài 6:Cho hình vuông có cạnh bằng Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của và BC.
Tính diện tích tứ giác 
Phân giác góc cắt BC tại Chứng minh 
Bài 7:Cho tam giác có ba góc nhọn, là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng:
Bài 8:Cho tam giác Từ điểm M thuộc cạnh kẻ các đường thẳng song song với các cạnh và cắt tại E và tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành có diện tích lớn nhất 
Bài 9:Cho tam giác Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia sao cho Gọi O là giao điểm của và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng 
Bài 10: Cho tam giác vuông cân tại A. Trên cạnh lấy điểm bất kỳ, sao cho khác và Trên cạnh lấy điểm sao cho 
Gọi là trung điểm của cạnh Chứng minh vuông cân
Đường thẳng qua và song song với cắt tia BM tại N. Chứng minh : 
Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng tích không phụ thuộc vào vị trí điểm trên cạnh AC.
Bài 11:Cho tam giác nhọn có các đường cao cắt nhau tại H
Tính tổng 
Chứng minh : 
Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác 
Trên các đoạn lấy các điểm tùy ý sao cho Chứng minh đường trung trực của đoạn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 12: Cho O là trung điểm của đoạn Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng vẽ tia cùng vuông góc với AB. Trên tia lấy điểm C (khác A), qua kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tia By tại D.
Chứng minh 
Kẻ vuông góc CD tại M. Chứng minh 
Từ M kẻ vuông góc AB tại I. Chứng minh đi qua trung điểm MH.
Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn. Các đường cao cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ,Chứng minh rằng ba đường thẳng đồng quy tại một điểm
Bài 14: Cho tam giác cân tại có Đường phân giác của tam giác có độ dài bằng cạnh bên của tam giác Chứng minh rằng: .
Bài 15: Cho hình thang (đáy lớn Gọi O là giao điểm của và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở và E. Chứng minh: 
Gọi và theo thứ tự là diện tích của tam giác và . Chứng minh 
Bài 16: Cho tam giác (cân tại A) vẽ đường cao AH, đường cao BK
Tìm các cặp tam giác vuông đồng dạng ? Giải thích tại sao ?
Cho Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC
Gọi I là giao điểm của và BK, hãy tìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác là tam giác đều ?
Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Chứng minh CE = CF;
Chứng minh B, D, M thẳng hàng;
Chứng minh DEAC đồng dạng với DMBC;
Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.
Bài 18: Hình vuông có E và F thuộc tia đối và DC sao cho Từ kẻ đường song song với AF và từ F kẻ đường song song với AE. Hai đường này giao tại I. Tứ giác là hình gì ?
Bài 19: 
19.1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh:
a) Tứ giác EGFK là hình thoi.
b) AF2 = FK.FC
c) Chu vi tam giác EKC không đổi khi E thay đổi trên BC.
19.2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân giác của góc A là AD = d. Chứng minh rằng: .
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác AHB và AHC. MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K
Chứng minh : BM vuông góc với AN
Chứng minh : 
Biết diện tích của tam giác là S. Tính diện tích lớn nhất của tam giác theo 
Bài 21: Cho tam giác ABC cân tại A, có Trên AB lấy điểm D sao cho Tính số đo 
Bài 22: Cho tam giác ABC cân tại A, có không đổi. Gọi I là trung điểm của Lấy và sao cho . Vẽ 
Chứng minh rằng tích không đổi.
Chứng minh rằng là tia phân giác của góc , QI là tia phân giác của 
Gọi chu vi tam giác là chứng minh rằng . Tính theo khi 
Bài 23: 
Cho tam giác , gọi M, N lần lượt là trung diểm của Gọi O, G, H lần lượt là giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính tỉ số 
Cho hình thang có hai đáy Hãy dựng điểm M trên đường thẳng CD sao cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 24: Cho hình thoi ABCD có góc Hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho bằng ba phần tư , AE cắt CD tại F. Trên đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho song song với FH
Chứng minh rằng : 
Tính số đo góc 
Bài 25: Cho tam giác , ba điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng 
Bài 26: Tứ giác có và Chứng minh AC là tia phân giác của góc A.
Bài 27: Một tam giác có đường cao và đường trung tuyến chia góc ở đỉnh thành ba phần bằng nhau. Tính các góc của tam giác đó.
Bài 28: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm của Gọi P là giao điểm của với DM
Chứng minh : tam giác là tam giác vuông.
Tính diện tích của tam giác 
Chứng minh tam giác là tam giác cân.
Bài 29: Cho tam giác đường trung tuyến Qua điểm D thuộc cạnh vẽ đường thẳng song song với cắt đường thẳng và lần lượt tại và F. 
Chứng minh 
Đường thẳng qua song song với cắt tại N. Chứng minh N là trung điểm của 
Ký hiệu là diện tích của hình Chứng minh 
Bài 30: Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm hệ thức liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’ và DD’ .
Bài 31: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A, B, C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn AA’, BB’, CC’ và GG’ vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’. 
 Bài 32: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó. 
Chứng minh: ;
Chứng minh: ;
Bài 33: Cho tam giác ABC (AC > AB). Lấy các điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC. Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E. 
Bài 34: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ .
a) Chứng minh DE = CF; 
b) Chứng minh rằng ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất?
Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ . Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm 
của CD, N là trung điểm của BH.
a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành;
b) Tính góc BMK.
Bài 36: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và F.Chứng minh rằng .Với vị trí nào của hai điểm E và F thì đạt giá trị lớn nhất?
Bài 37: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB, đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD ở E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC ở F.
a) Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân;
b) Tính độ dài EF nếu biết AB = 5cm, CD = 10cm.
Bài 38: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh ID = IE.
Bài 39: Cho tam giác vuông cân ABC, .Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ , BD cắt CA ở E. Chứng minh rằng:
a) EB.ED = EA.EC;
b) 
c) 
Bài 40: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F.Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI ở G. Chứng minh rằng:
a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi;
b) ;
c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh: EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi.
Bài 41: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau ở E. Các tia phân giác của các góc ACE và DBE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng: 
Bài 42: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Cmr:
a) ; b) 
c) 
Bài 43: Cho hình thang ABCD (AB // CD). AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F. Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.
Bài 44: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K. Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D, E. Chứng minh rằng DE =BK. 
Bài 45: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB. Gọi O là giao điểm của AE và DF ; OA = 4OE; . Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành. 
Bài 46: Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Cmr: . 
Bài 47: Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia. Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K. Cmr:
a)Tổng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC. 
b)Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng BC.
Bài 48: Cho tam giác ABC đều cạnh a, M là một điểm bất kỳ ở trong tam giác ABC.
 Chứng minh rằng: 
Bài 49: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N sao cho DN = BM. Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM cắt nhau tại F. Cmr:
Tứ giác ANFM là hình vuông;
Điểm F nằm trên tia phân giác của và ;
Ba điểm B, O, D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hìn ... E là phân giác của ABH 
CAH và CBA đồng dạng (theo (1)) (4)
Từ (2), (3), (4) hay (đpcm)
Bài 190: Từ đỉnh A của ABC ta hạ các đường vuông góc AM, AN với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc B. Hạ các đường vuông góc AP, AQ với phân giác trong và ngoài tương ứng của góc C.
a. Chứng minh rằng 4 điểm MNPQ thẳng hàng
b. Cho QN = 10 cm tính chu vi tam giác ABC
c. Cho điểm O chuyển động trên BC tìm vị trí của O sao cho tích khoảng cách từ O đến AB và AC đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Gọi E = AB MN và F = AC PQ	
ta thấy tứ giác AQCP và AMBN là hình chữ nhật
 E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC EF // BC	
Mà (vì cùng bằng ) nên PQ // BC PQ thuộc EF (1)
Tương tự M,N thuộc đường thẳng EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra M, N, P, Q thẳng hàng.	
b) Ta có QN = QF + EF + EN (1)	
Theo tính chất hình chữ nhật ta có
QF = (tính chất) (2)	
NE = BC (tính chất) (3)	
EF = (Tính chất đường trung bình tam giác) (4)	
Từ (1) (2) (3) và (4) ta có QN = (AB + BC + CA)	
Vậy QN = 10 cm thì chu vi của ABC = 2QN = 20 cm	
C) Kẻ BI vuông góc với AC và CJ vuông góc với AB	
Vì OH // CJ, OK // BI nên theo định lí ta lét ta có
Đặt OH = x, BI = p và CJ = q
Ta có 0 x q ; 0 OK p và 	
Do đó 	
 OH. OK 	
Vậy OH . OK đạt giá trị lớn nhất là khi và chỉ khi x = hay O là trung điểm của BC	
A
N
C
Q
M
F
P
E
B
O
K
H
J
I
2
1
3
4
1
2
3
4
Bài 191: Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.
1. Chứng minh KM vuông góc với DB.
2. Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB.
3. Ký hiệu lần lượt là diện tích các tam giác ABM và DCM. 
a) Chứng minh tổng không đổi.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Lời giải
1. 
Vì nên M là trực tâm do đó 
2. 
Xét có chung và 
3a) 
Vậy không đổi
3b) 
Với hai số thực x , y bất kỳ ta có 
. 
Dấu bằng xảy ra khi x = y
Áp dụng ta có 
Đẳng thức xảy ra khi là trung điểm của BC
Vậy min. Khi M là trung điểm của BC
Bài 192: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh đồng dạng với 
c) Biết diện tích gấp bốn lần diện tích .Chứng minh rằng: AC = 2EF.
d) Chứng minh rằng: .
Lời giải
a) Ta có (cùng phụ )
 AB = AD ( gt) 
 (ABCD là hình vuông) 
 (g.c.g) 
 => DM=AF, mà AF = AE (gt) 
 Nên. AE = DM 
 Lại có AE // DM ( vì AB // DC )
Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành
Mặt khác. (gt) 
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 
b) Ta có (g.g) 
 hay ( AB=BC, AE=AF)
Lại có (cùng phụ )
 (c.g.c)
c) Từ ( cmt)
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm)
d) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: 
Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
 hay 
 (đpcm)
Bài 193: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Chứng minh rằng .
c) Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Lời giải
a) Lập luận để có , 
Lập luận để có 
 OM = ON
b) Xét để có (1), xét để có (2)
Từ (1) và (2) OM.()
Chứng minh tương tự ON.
từ đó có (OM + ON). 
c) Từ ( cmt)
, mà (gt) nên BC2 = (2AE)2
 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 
 Chứng minh được 
Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2 SAOD = 2015.2016
Do đó SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (đơn vị DT)
Bài 194: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E.
1.Chứng minh CD.CB = CA.CE
2. Tính số đo góc BEC.
3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G. 
Chứng minh: 
Lời giải
a) Xét ABC và DEC
Có BAC = EDC = 900
 C chung 
ABC đồng dạng với DEC (g.g)
CD.CB = CA.CE (Đpcm)
b) Xét ADC và BEC có: 
 (Chứng minh trên)
C chung
ADC đồng dạng với BEC (c.g.c)
BEC = ADC ( cặp góc tương ứng) (1)
Lại có: HA = HD (gt)
 AHD vuông cân tại H
 ADH = 450
 ADC = 1350 (2)
Từ (1) và (2) BEC = 1350
 c) Ta có : BEC = 1350 (cm ý b) 
Mà BEC + BEA =1800 
BEA = 450
ABE vu«ng c©n t¹i A.
Mà M là trung điểm của BE nên tia AM là tia phân giác của góc BAC
Suy ra: (t/c đường phân giác của tam giác) (3)
Mà ABC đồng dạng với DEC (cm ý a)
 (4)
Lại có ED // AH (Cùng vuông góc với BC)
 (hệ quả định lí Talet)
Mặt khác AH = HD (gt)
 = (5)
Từ (3), (4) và (5) 
Bài 195: Cho tam giác vuông tại (), kẻ đường cao và đường trung tuyến ( ). Gọi lần lượt là hình chiếu của trên . 
1. Chứng minh rằng:
a) .
b) 
c) vuông góc với .
2. Giả sử diện tích tam giác bằng 2 lần diện tích tứ giác Chứng minh tam giác vuông cân. 
Lời giải
1. 
a) Chứng minh: .
Xét và 
Có , (vì cùng phụ với 
 # (g-g) 
Lại có nên Tứ giác là hình chữ nhật 
b. Chứng minh: 
Chứng minh # 
Chứng minh # 
Mà tứ giác là hình chữ nhật nên . Do đó = = ( Định lý Pytago áp dụng vào tam giác vuông ).
c) Chứng minh: .
Gọi là giao điểm của và , Tứ giác là hình chữ nhật nên 
 cân tại 
 vuông tại , có là trung điểm của nên cân tại 
2. Theo giả thiết 
Ta có 
Từ (1) và (2) nên vuông cân tại .
Bài 196: Cho hình chữ nhật Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm P sao cho Kẻ vuông góc với AC tại H. Gọi Q là trung điểm của đường thẳng kẻ qua P song song với cắt AC tại N.
Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Khi M là trung điểm của Chứng minh vuông góc với 
Đường thẳng cắt DC tại điểm F. Chứng minh rằng 
Lời giải
Chứng minh được 
Chứng minh được 
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác là hình bình hành.
Gọi E là trung điểm chứng minh được là đường trung bình nên (vì và 
Chứng minh và là hình hành
Chứng minh 
Xét có BK và QE là hai đường cao của tam giác nên là trực tâm của tam giác nên là đường cao thứ ba của tam giác 
Vẽ tia vuông góc với AF. Gọi giao của với CD là G.
Chứng minh (cùng phụ với 
Ta có: vuông tại A có nên 
Ta chia hai vế của (1) cho mà (đl Pytago)
Bài 197: Cho tam giác vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia tại D, cắt tia BA tại E.
Chứng minh : 
Chứng minh rằng khi điểm di chuyển trên cạnh thì tổng có giá trị không đổi
Kẻ Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng Chứng minh 
Lời giải
Chứng minh 
Kẻ . Ta có : 
Tương tự: 
Từ (1) và (2) suy ra 
(Không đổi)
Chứng minh được: 
Mà 
Bài 198: Cho tam giác vuông ở A có AM là phân giác . Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng tại N. Chứng minh rằng 
Lời giải
Kẻ tại H , tại Klà hình vuông 
Ta có: (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (2)
Từ (1) và (2) 
Bài 199: Cho hình vuông có cạnh bằng Trên cạnh lấy điểm Đường thẳng vuông góc với tại M cắt tại N.
Cho Tính diện tích tam giác 
Xác định vị trí của trên cạnh để có độ dài lớn nhất. 
Lời giải
Hai tam giác vuông và có:
(cùng phụ với 
Ta có: 
Đặt 
Từ 
Độ dài ND lớn nhất là khi hay M là trung điểm của 
Vậy để độ dài ND lớn nhất thì vị trí của là trung điểm của CD.
Bài 200: Cho hình vuông có AC cắt BD tại O. là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho 
Chứng minh : vuông cân
Chứng minh: 
Từ C kẻ . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Lời giải
Xét và 
Vì là hình vuông nên ta có: OB=OC
Và 
và 
Lại có: vì tứ giác là hình vuông
kết hợp với vuông cân tại O
Từ giả thiết tứ giác là hình vuông và AB = CD
+)(định lý Ta let) (*)
Mà BE và thay vào 
Ta có: (Ta let đảo)
Gọi là giao điểm của và BN
Từ (cặp góc so le trong)
Mà vì vuông cân tại O
kết hợp (hai góc đối đỉnh)
Vậy 
Mà hay 3 điểm thẳng hàng (đpcm)
Bài 201: 	Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) . Các đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với HM,cắt lần lượt tại I và K
Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC
Qua kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng cắt AH, AB theo thứ tự tại và D. Chứng minh 
Chứng minh 
Lời giải
Ta có 
Xét và có chung
Vì là trực tâm 
mà (H là trực tâm 
Do là trung điểm BC 
Ta có: 
Tương tự ta có: 
Dấu xảy ra khi đều mà theo gt nên không xảy ra dấu bằng.
Bài 202: Cho tam giác nhọn, các đường cao là trực tâm. 
Tính tổng 
Gọi là phân giác của tam giác thứ tự là phân giác của góc và góc Chứng minh rằng: 
Chứng minh rằng: 
Lời giải
Tương tự: 
Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác 
Vẽ Gọi là điểm đối xứng của qua 
Chứng minh được góc vuông, 
Xét 3 điểm ta có : 
vuông tại A nên : 
Tương tự: 
Chứng minh được: 
Đẳng thức xảy ra đều
Bài 203: 1) Cho hình vuông , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vuông Qua dựng đường thẳng song song với AB, d cắt AH tại E.Đường thẳng AH cắt DC tại F.
Chứng minh rằng 
Tứ giác là hình gì 
Chứng minh chu vi tam giác không đổi khi thay đổi trên BC
2) Cho tam giác có Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho và Tính 
Lời giải
4.1 
a) Do ABCD là hình vuông nên 
mà là hình vuông
Từ suy ra 
Do đó, và 
b) Do là hình vuông 
 thẳng hàng
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông 
 là tâm đối xứng của hình vuông 
là đường trung trực đoạn MN, mà 
và 
Từ là hình thoi (5)
c) Từ (5) suy ra 
Mà 
Gọi chu vi tam giác là và cạnh hình vuông là 
Ta có:
(Vì 
Do đó, chu vi tam giác không đổi khi thay đổi trên BC
4.2 
Xét có 
có 
Gọi D là trung điểm của và G là điểm trên AB sao cho 
Khi đó, 
Do đó CG và lần lượt là tia phân giác của và nên:
Do đó, 
Từ đó suy ra (Định lý Talet đảo)
Bài 204: Cho tam giác vuông tại A có là tia phân giác của . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên và là giao điểm của và là giao điểm của CM và 
Chứng minh tứ giác là hình vuông và 
Gọi là giao điểm của và Chứng minh đồng dạng với và H là trực tâm 
Gọi giao điểm của và là K, giao điểm của và BC là O, giao điểm của và AD là Chứng minh : 
Lời giải
*Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông
+) Chứng minh 
Suy ra tứ giác là hình chữ nhật
+)Hình chữ nhật có AD là phân giác của nên tứ giác là hình vuông.
*Chứng minh EF // BC
+) Chứng minh : 
Chứng minh: 
Chứng minh 
Chứng minh 
Từ suy ra 
Chứng minh 
Chứng minh suy ra 
Chứng minh 
Chứng minh 
Chứng minh Suy ra 
Từ (5) (6) (7) (8) suy ra 
*chứng minh H là trực tâm tam giác AEF
Vì nên 
Mà 
Suy ra , Tương tự: , suy ra H là trực tâm 
Đặt Khi đó:
Theo định lý AM-GM ta có: 
Tương tự : 
Suy ra 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết.