Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Dạng 11: Đa thức và tính chia hết của đa thức

DẠNG 11: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC
Dạng 1: Tìm Dư Trong Phép Chia. 
A.Bài toán 
Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức 
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:
cho đa thức 
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức 
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức 
Bài 5: Tìm số dư trong phép chia cho 
Bài 6: a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức 
 b) Cho và Chứng minh với mọi thì thương của phép chia cho B là bội số của 6
Bài 7: 
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức cho 
b) Tìm mọi số nguyên sao cho chia hết cho 
Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 
Bài 9: Tìm dư khi chia cho 
Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức cho 
B. HƯỚNG DẪN
Bài 1: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức 
Lời giải
Ta có:
Đặt , Biểu thức được viết lại
Do đó khi chia cho ta có số dư là 
Bài 2: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức:
cho đa thức 
Lời giải
Đặt 
Đặt 
Ta có: 
Vậy số dư của phép chia là 
Bài 3: Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức 
Lời giải
Ta có: 
Đặt biểu thức được viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 
Bài 4: Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức 
Lời giải
Đặt , biểu thức được viết lại
Do đó khi chia cho ta có số dư là 
Bài 5: Tìm số dư trong phép chia cho 
Lời giải
Ta có: 
Đặt ta có: 
Vậy ta có 
Vậy số dư trong phép chia cho là 2018.
Bài 6: a)Tìm số dư trong phép chia của đa thức cho đa thức 
b)Cho và Chứng minh với mọi thì thương của phép chia cho B là bội số của 6
Lời giải
Ta có:
Đặt , biểu thức được viết lại:
Do đó khi chia cho t ta có số dư là 
Thực hiện phép chia , ta được:
Thương của A chia cho B là 
Ta có:
Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6
Và chia hết cho 6
Thương của phép chia cho B là bội số của 
Bài 7: 
a) Tìm số dư trong phép chia đa thức cho 
b) Tìm mọi số nguyên sao cho chia hết cho 
Lời giải
a) Đặt 
Ta có: 
Vậy số dư trong phép chia cho là 
b) Thực hiện phép chia đa thức cho , ta được: Đa thức thương: đa thức dư: 
Suy ra : 
Do đó 
Vì nên:
Vì nên xảy ra một trong hai trường hợp sau:
không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy 
Bài 8: Đa thức f(x) khi chia cho dư 4, khi chia cho dư . Tìm phần dư khi chia f(x) cho 
Lời giải
Theo định lí bơ-zu ta có: f(x) chia dư 4 => f(-1) = 4.
Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng . 
Gọi thương là q(x).Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : 	 
Mà f(x) chia cho dư (1) 
Mặt khác f(-1)=4 a -b+ c = 4 (2) . Do đó ta có :
Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: 
Bài 9: Tìm dư khi chia cho 
Lời giải
Đặt 
Gọi thương khi chia cho là dư là 
Ta có: 
Đẳng thức trên đúng với mọi nên
Với ta được 
Với ta được: 
Từ (1) và (2) suy ra , Dư phải tìm là 
Bài 10: Tìm đa thức dư khi chia đa thức cho 
Lời giải
Gọi đa thức dư trong phép chia là 
Khi đó ta có: 
Thay vào ta có: 
Thay vào ta có: 
Từ đó suy ra . Vậy số dư là 
Dạng 2: Tìm Đa Thức . 
A.Bài toán 
Bài 1: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư chia cho dư 24, chia cho được thương là và còn dư
Bài 2: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư 10, chia cho dư 22, chia cho được thương là và còn dư
Bài 3: Tìm đa thức biết rằng : chia cho dư 10, chia cho dư 26, chia cho được thương là và còn dư
Bài 4: Tìm đa thức , biết chia cho dư 5, chia cho dư 7, chia cho được thương là và còn dư.
B.Lời giải 
Bài 1: Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư chia cho dư 24, chia cho được thương là và còn dư
Lời giải
Giả sử chia cho được thương là và còn dư 
Khi đó : 
Theo đề bài, ta có:
Do đó : 
Vậy đa thức cần tìm có dạng: 
Bài 2 : Tìm đa thức biết rằng: chia cho dư 10, chia cho dư 22, chia cho được thương là và còn dư
Lời giải
Giả sử chia cho được thương là và còn dư là 
Khi đó: 
Theo đề bài, ta có:
Do đó: 
Vậy đa thức cần tìm có dạng: 
Bài 3: Tìm đa thức biết rằng : chia cho dư 10, chia cho dư 26, chia cho được thương là và còn dư
Lời giải
Giả sử chia cho được thương là và còn dư là Khi đó 
Theo đề bài, ta có: 
Do đó 
Vậy đa thức cần tìm là 
Bài 4: Tìm đa thức , biết chia cho dư 5, chia cho dư 7, chia cho được thương là và còn dư.
Lời giải
Từ đó suy ra :
Tìm ra 
Thay vào ta có đa thức 
Dạng 3: Tính Giá Trị Biểu Thức . 
A.Bài toán 
Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + ... - 8x2 + 8x + 1 với x = 7	 
Bài 2: Cho đa thức (với ). Biết đa thức chia cho thì dư 12, chia cho thì dư . Tính giá trị của biểu thức:.
Bài 3: Cho Tính 
Bài 4:Đa thức chia hết cho các đa thức Tính 
Bài 5: Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết .
Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài 6: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính 
Bài 7: Cho hai đa thức Gọi là các nghiệm của Tính giá trị của 
Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn 
Tính 
Bài 9: Cho đa thức 
a) Tìm để chia hết cho 
b) Với vừa tìm được ở câu hãy tìm số dư khi chia cho và phân tích ra các thừa số bậc nhất
1.2) Cho đa thức 
Biết Tính 
Bài 10: Cho với 
Tính giá trị biểu thức 
Bài 11: Cho . Tính ? 
B.Lời giải 
Bài 1: Tính giá trị A = x15 – 8x14 + 8x13 – 8x12 + ... - 8x2 + 8x + 1 với x = 7
Lời giải
Thay 8 bằng x + 1 ta có
A = x15 – (x+1).x14 + (x+1)x13 – (x+1)x12 + ... – (x + 1)x2 + (x+1)x + 1
= x15 – x15 – x14 + x14 + x13 – x13 – x12 +... – x3 – x2 + x2 + x + 1 = x + 1 = 7 +1 = 8
Bài 2: Cho đa thức (với ). Biết đa thức chia cho thì dư 12, chia cho thì dư . Tính giá trị của biểu thức:.
Lời giải
Gọi thương của phép chia cho và lần lượt là và . Suy ra (1)
 (2)
Thay vào (1) ta có 
Thay vào (2) ta có 
.
Bài 3: 
Cho Tính 
Lời giải
nhận hai giá trị là 0 hoặc 
Bài 4: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính 
Lời giải
Đa thức chia hết cho các đa thức nên:
Từ và ta tìm được 
Vậy 
Bài 5: Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết .
Hãy tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
Ta có: 
Nên có dạng 
Khi đó: 
Bài 6: Đa thức chia hết cho các đa thức Tính 
Lời giải
Đa thức chia hết cho các đa thức nên:
Từ và ta tìm được 
Vậy 
Bài 7: Cho hai đa thức Gọi là các nghiệm của Tính giá trị của 
Lời giải
Ta có : 
Do đó 
Bài 8: Đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãn 
Lời giải
Tính Nhận xét: thỏa mãn 
 là đa thức bậc 4 có 3 nghiệm 
Vậy ta có:
Bài 9: Cho đa thức 
a) Tìm để chia hết cho 
b) Với vừa tìm được ở câu hãy tìm số dư khi chia cho và phân tích ra các thừa số bậc nhất
1.2) Cho đa thức 
Biết Tính 
Lời giải
Để thì 
b) Với 
Phân tích ra tích các thừa số bậc nhất:
1.2 ) Vì 
Mà 
Bài 10: Cho với 
Tính giá trị biểu thức 
Lời giải
Biến đổi giả thiết về dạng:
Với tính được: 
Với tính được: 
Bài 11: Cho . Tính ? 
Lời giải
ĐKXĐ : .
Ta có : 
Vậy, với .
Dạng 4: Chứng Minh
A.Bài toán 
Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho
Bài 2: Chứng minh:
 a) chia hết cho .
 b) chia hết cho , với . 
Bài 3:Chứng minh rằng: 
 a) Đa thức chia hết cho đa thức 
 b) Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.
Bài 4: Chứng minh chia hết cho với mọi 
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6
Bài 6: Chứng minh rằng: với mọi 
Bài 7: Cho với là các số thỏa mãn 
Chứng tỏ rằng 
Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho khi và chỉ khi 
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: 
Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên nào để giá trị của biểu thức chia hết cho giá trị của biểu thức 
Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến . 
B.Lời giải 
Bài 1: Chứng minh rằng: chia hết cho 
Lời giải
Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có hai nghiệm là x = 0; x = 1.
Ta có là nghiệm của f(x).
Suy rachứa thừa số x
Ta có : là nghiệm của f(x)
f(x) chứa thừa số x – 1 mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung do đó f(x) chia hết cho
 x( x – 1).
Vậy chia hết cho 
Bài 2:Chứng minh:
 a) chia hết cho .
 b) chia hết cho , với . 
Lời giải
a) chia hết cho .
Ta có : 
Xét tại thì 
Vậy, chia hết cho .
b) chia hết cho , với . 
 Ta có: (1)
Mặt khác, 
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy, chia hết cho , với .
Bài 3: Chứng minh rằng: 
 a) Đa thức chia hết cho đa thức 
 b) Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.
Lời giải
 a) Ta có: 
Vậy, (đpcm)
 b)Ta có: 
Với thì , còn là số nguyên chia hết cho 6. 
Từ đó suy ra có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.
Bài 4: Chứng minh chia hết cho với mọi 
Lời giải
Vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, nên chia hết cho 6
 , suy ra điều phải chứng minh
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì chia hết cho 6
Lời giải
Vì là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 mà nên chia hết cho 6
 chia hết cho 6
Nên chia hết cho 6
Bài 6: Chứng minh rằng: với mọi 
Lời giải
Đặt 
Ta thấy chia hết cho 3( vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp)
Và chia hết cho 3
Nên chia hết cho 9
Bài 7: Cho với là các số thỏa mãn 
Chứng tỏ rằng 
Lời giải
Có nên:
Hoặc: và (1)
Hoặc : và là hai số đối nhau (2)
Từ và được 
Bài 8: Chứng minh rằng: chia hết cho khi và chỉ khi 
Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: 
Lời giải
Đặt với với 
Ta thấy: và 
Vậy 
với 
và và 
và và 
Điều phải chứng minh.
Áp dụng: 
Bài 9: Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên nào để giá trị của biểu thức chia hết cho giá trị của biểu thức 
Lời giải
Chia cho dư 3
Vì là số chẵn nên Ư(3).
Bài 10: Chứng tỏ rằng đa thức: luôn không âm với mọi giá trị của biến . 
Lời giải
Đặt , ta có: 
 Khi đó, với mọi giá trị của (Đpcm ) 
Dạng 5: Xác định số 
A.Bài toán
Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ để đa thức chia hết cho đa thức 
 b) Tìm đa thức bậc ba , biết rằng khi chia cho , cho , cho đều dư 6 và 
Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức chia hết cho 
Bài 3:Xác định các số hữu tỉ và sao cho: 
 a) chia hết cho ;
 b) chia hết cho .
Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ và sao cho chia hết cho 
Bài 5: Tìm các số nguyên và để đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 6: Tìm sao cho chia hết cho đa thức .
Bài 7: Tìm giá trị nguyên của để đa thức chia hết cho 
Bài 8: Cho đa thức Với giá trị nguyên nào của thì giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức 
Bài 9: Tìm giá trị của để 
Bài 10: Tìm nguyên để chia hết cho 
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của để biếtvà .
Bài 12: 
a) Tìm sao cho chia hết cho đa thức 
b) Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên sao cho: chia hết cho 
Bài 14: Cho đa thức bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết ; Tìm đa thức 
Bài 15: Cho đa thức . Xác định hệ số biết rằng khi chia A cho , chia A cho đều có cùng một số dư
Bài 16: Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên
Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng 
Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là ước số của 
Bài 19:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh :
chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n
Bài 20: Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức 
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Tìm để 
Bài 21: Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên. 
Bài 22: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên. 
B.Lời giải 
Bài 1:a)Xác định số hữu tỉ để đa thức chia hết cho đa thức 
 b) Tìm đa thức bậc ba , biết rằng khi chia cho , cho , cho đều dư 6 và 
Lời giải
a) Gọi thương của phép chia cho đa thức là , ta có :
= . 
Đẳng thức trên đúng với mọi nên với ta có:
Vậy, chia hết cho đa thức thì .
 b) Từ đề bài suy ra chia hết cho , cho , cho 
Do đó, chia hết cho .
Đặt với . ( vì có bậc là ba )
Suy ra với .
Theo giả thiết , do đó 
Vậy, 
Bài 2:Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức chia hết cho 
Lời giải
ĐKXĐ: 
Áp dụng định lí Bézout:
Số dư của chia cho là 
Để chia hết cho thì , suy ra 
Bài 3:Xác định các số hữu tỉ và sao cho: 
 a) chia hết cho ;
 b) chia hết cho .
Lời giải
a) chia hết cho ;
Ta có: 
Do đó, để chia hết cho thì .
b) chia hết cho .
Ta có chia hết cho được thương có dạng 
Ta viết: với mọi 
Tính 
Khi đó, với mọi 
Đồng nhất thức hai vế, ta được 
Vậy, .
Bài 4:Xác định các hệ số hữu tỉ và sao cho chia hết cho .
Lời giải
Phép chia hết của cho có đa thức thương dạng .
Ta viết với mọi 
 Ta có: 
Suy ra với mọi 
Đồng nhất thức hai vế, ta được: 
Suy ra 
Vậy, 
Bài 5: Tìm các số nguyên và để đa thức chia hết cho đa thức 
Lời giải
Ta có:
Để thì 
Bài 6: Tìm sao cho chia hết cho đa thức 
Lời giải
Ta có: 
Vì chia hết cho đa thức 
Nên tồn tại một đa thức sao cho 
Với 
Với 
Thay vào ta có: và 
Bài 7: Tìm giá trị nguyên của để đa thức chia hết cho 
Lời giải
Thực hiện phép chia cho 
Ta được thương là dư là 3
Để thì mà nên
Vậy thì 
Bài 8: Cho đa thức Với giá trị nguyên nào của thì giá trị của đa thức chia hết cho giá trị của đa thức 
Lời giải
Chia cho được thương là dư 
Để chia hết cho thì chia hết cho 
chia hết cho 
chia hết cho 
chia hết cho 
chia hết cho mà 
Thử lại ta thấy thỏa mãn
Vậy với thì chia hết cho 
Bài 9: Tìm giá trị của để 
Lời giải
Thương: và dư: 
Phép chia hết nên 
Bài 10: Tìm nguyên để chia hết cho 
Lời giải
Thực hiện phép chia cho được kết quả:
Để phép chia hết thì phải chia hết cho 
Tìm thử lại và kết luận 
Bài 11: Tìm giá trị nguyên của để biếtvà .
Lời giải
Xét 
với thì Akhi 
Mà Ư(7)=thì 
Bài 12: 
a) Tìm sao cho chia hết cho đa thức 
b) Tìm số nguyên sao cho là số nguyên tố
Lời giải
a) Ta có: 
Vì chia hết cho đa thức 
Nên tồn tại một đa thức sao cho 
Với 
Với 
Thay (1) vào (2), ta có: 
b) Ta có: 
Vì 
Có: và 
Vậy là số nguyên tố thì 
Bài 13: Tìm tất cả các số nguyên sao cho: chia hết cho 
Lời giải
 Ta có: 
Vì là số nguyên nên là số nguyên. Do đó để chia hết cho thì phải là ước số của 
Mặt khác: 
Do đó: hoặc hoặc 
Giải từng trường hợp suy ra: 
Bài 14: Cho đa thức bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết ; Tìm đa thức 
Lời giải
Xét có 
Ta có thì bậc 4 hệ số của là 1 và 
Vậy 
Bài 15: Cho đa thức . Xác định hệ số biết rằng khi chia A cho , chia A cho đều có cùng một số dư
Lời giải
Giả sử
Cho thì từ ta có: 
Cho thì từ ta có: 
Do đó : 
Bài 16: Với giá trị nào của và thì đa thức phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có hệ số nguyên
Lời giải
Giả sử : 
Khử ta có:
Vì nguyên ta có: 
Bài 17: Tìm đa thức A, biết rằng 
Lời giải
Bài 18: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là ước số của 
Lời giải
là ước số của 
Điều nảy xảy ra khi là ước nguyên dương của gồm:
Từ đó ta tìm được 
Bài 19:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh :
chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n
Lời giải
Theo phần a ta có: 
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5,
 1 bội của 7. Mà nên 
Bài 20: Cho biểu thức: 
Rút gọn biểu thức 
Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức nhận giá trị nguyên
Tìm để 
Lời giải
ĐKXĐ: 
nguyên, mà nguyên nên từ đó tìm được 
Vậy 
Ta có:
Kết hợp với điều kiện : 
Bài 21: Đa thức có giá trị nguyên với mọi là số nguyên. 
Lời giải
Ta có: 
Với thì , còn là số nguyên chia hết cho 6. 
Từ đó suy ra có giá trị nguyên với mọi là số nguyên.
Bài 22: Cho biểu thức với là một số tự nhiên chẵn. Hãy chứng tỏ có giá trị nguyên. 
Lời giải
Vì là một số tự nhiên chẵn nên .
Do đó 
Ta có: 
Ta cần c/m: . Thật vậy:
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
+ Nếu thì 
Mà 
Vậy, có giá trị nguyên với là một số tự nhiên chẵn.