Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Bất đẳng thức, cực trị đại số

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRONG TOÁN HỌC THCS
----------------------------------------------------
I.ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN.
Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS.
Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng:
 (*)
Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được (**)
với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau.
Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng 
Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có :
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn Chững minh rằng:
.
Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có:
Tương tự, ta có: 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, chú ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng: .
(Bất đẳng thức Nasơbit)
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có:
Bây giờ chúng ta cần chứng minh BĐT: 
Nhưng BĐT này tương đương với
Đây là BĐT luôn đúng. Từ đó suy ra BDT cần phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
 a = b = c.
Bài toán 4. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
 ( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa )
Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng = 1 ta có:
Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab + bc + ca 3. Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với giả thiết abc = 1 ta suy ra điều phải chứng minh.
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng:
a) ;
b)
Bài 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = 1. Chứng minh rằng:
Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng:
Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng :
.
II. TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI.
 ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 5/2011)
Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau. Đôi khi, việc ta sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ.
Bài toán cơ sở. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1)
Nhân 2 > 0 vào hai vế của BĐT (1) vào rồi chuyển vế, biến đổi tương đương ta được một BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau.
Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương:
thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng: (2)
Chứng minh rằng: (3)
thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
 (4)
d) thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 
Lời giải:
a) Ta có: (2)
	 ( Do giả thiết a + b + c = abc)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
c) Ta có: (4)
( do giả thiết ab + bc + ca = 1)
Đặt x = ; y = ; z = với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cuối được chuyển về dạng của (1). Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
d) 
 ( do áp dụng (1))
( Do giả thiết a2 + b2 + c2 = 1)
Mà S > 0 nên S . Min S = khi và chỉ khi a = b = c = 
Nhận xét.
Trong ví dụ a) và c), ta thay thế giả thiết vào bất đẳng thức cần chứng minh một cách thích hợp để chúng có những hân thức mà tử và mẫu cùng bậc.
Giả thiết ab + bc + ca = 1 thường được dùng trong bài toán chứng minh BĐT hay tìm cực trị mà dạng biến đổi thông thường của nó là a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c).
Bây giờ, hãy vận dụng BĐT (1) trên để chứng minh hoặc tìm cực trị của các bài toán dưới đây.
Bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = .
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = .
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT.
Có rất nhiều phương pháp chứng minh BĐT. Mỗi bài toán cũng có nhiều phương pháp để chứng minh. Bài viết này trình bày về một phương pháp được cho là khá thú vị và nếu tinh ý, chúng ta có thể sáng tạo thêm các bài toán khó hơn. 
Bài toán 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc.	(1)
Lời giải: Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z. (x; y; z là các số tự nhiên > 0)
Suy ra a = ; b = ; c = . Thay vào (1), ta được:
xyz	 (2)
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 2 số dương, ta có:
; ; .
Nhân từng vế các BĐT trên ta suy ra (2). Nghĩa là (1) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó đều.
Chú ý:
Ta có thể sử dụng phương pháp khác để chứng minh BĐT (1). Hầu hết các bài toán có dạng a + b – c; b + c – a; c + a – b đều có chung một hướng giải là đổi biến.
Bất đẳng thức (1) có thể mở rộng thành bài toán khó hơn bằng cách xem a; b; c là 3 số thực dương.
Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
7(ab + bc + ca) 2 + 9abc.	(3)
Lời giải: Đặt x = 1 – a; y = 1 – b; z = 1 – c. Khi đó x, y, z là các số không âm và x + y + z = 2. Bất đẳng thức (3) được viết về dạng như sau :
 (4)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : > 0
 	 > 0
Nhân các vế tương ứng của hai BĐT trên thì được (4), nghĩa là (4) đúng. Vậy BĐT (3) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, suy ra a = b = c = .
Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = .
Lời giải : Đặt x =  ; y =  ; z = thì x, y, z > 0 và xyz = 1. Khi đó
P = 
( BĐT Cauchy cho 3 số dương, kết hợp với giả thiết xyz = 1).
Min P = khi và chỉ khi x = y = z = 1, tức là a = b = c = 1.
Bài toán 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: .
 ( Bất đẳng thức Nêsơbit )
Đây là bài toán cơ bản, là BĐT được sử dụng không nhiều trong chương trình toán THCS. Có nhiều cách để chứng minh nó. Xin giới thiệu phương pháp: Đổi biến!
Lời giải: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b.
Ta có : a =  ; b =  ; c = . Bất đẳng thức trên chuyển về dạng sau
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài tập vận dụng :
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M = 
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng : 
Bài 4. Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
3abc( a+ b + c) 1
Nếu a, b, c dương thì: 
Nếu a, b, c dương thì: 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH HOẶC TÌM CỰC TRỊ.
Trong chứng minh BĐT, việc vận dụng một cách linh hoạt các BĐT phụ khác cho ta đến một hiệu quả bất ngờ. Chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có:
f(a, b, c, d) = .
Lời giải: Bằng cách cộng 4 vào mỗi vế của BĐT trên, ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
a = b = c = d.
Bài toán 2. Hai số dương a, b có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
a) ; b) .
Nhận xét: Để làm được bài toán này, chúng ta cần xác định được điểm rơi và cách biến đổi chúng cũng như sử dụng các BĐT phụ khác.
Lời giải: a) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5.
b) 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5.
Bài toán 3.Cho n số dương bất kì a1; a2; ...; an > 0. Chứng minh rằng:
( 1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) )
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận được:
Bất đẳng thức, cực trị............................................................................................................................
Cộng các vế tương ứng của hai BĐT này thì được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số trên bằng nhau.
Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
* 
* Trường hợp còn lại xin dành bạn đọc.
Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:
.
( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 8 + 9 / 2011)
Lời giải: Đặt S = a + b + c. Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số thức dương ta có: S. Do đó:
=
= 
= 
= 2S2 – 7S + 3 = (2S – 1)(S – 3) 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
( Xem toán học và tuổi trẻ tháng 2/2012)
Lời giải: Đặt A = 
Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Việc vận dụng BĐT Cauchy và các BĐT phụ khác đem lại một hiểu quả bất ngờ!
* Trong giải toán, một số BĐT cần phải chứng minh mới sử dụng được.
Bất đẳng thức, cực trị đại số.................................................................................................................
V. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC
Bài toán 1. a. Víi a,b, c > 0. Chøng minh:	
 b. Cho a ³ c > 0, b ³ c. Chøng minh: 	
Lời giải:
a.
 a2 +b2 + c2 ³ 2 (bc + ac - ba) (V× abc > 0)
 a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab ³ 0
	 (a + b - c)2 ³ 0 (hiÓn nhiªn ®óng).
VËy: 	
b. Bạn đọc tự giải.	
Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn và 3a – 4b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 2/2011)
Lời giải: Vì nên:
 M = 
 = 
M = 0 khi và chỉ khi a = b. Vì 3a – 4b + c = 0 nên a = b = c.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 0.
Bài toán 3. Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
	a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab.
Lời giải: Gi¶ sö x¶y ra ®ång thêi c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn. Tõ hai bÊt ®¼ng thøc ®Çu ta cã: 
 (a + b)2 cd > (a + b)2 - ab ³ 3ab
	 => cd > 3ab	(1)
	MÆt kh¸c, ta cã:
	(a + b) cd (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd)
	 => 4abcd £ (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd
	 => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd	 (2)
	Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, v« lý! 
 VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bài toán trên còn có các biến đổi phức tạp hơn. Ở đây xin trình bày ngắn gọn, tóm tắt!
Bài toán 4.Cho ak , bk là các số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện:
a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ... + b n = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của tổng: P = 
Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
 hay 
Cho k = 1, 2, ..., n, rồi cộng các vế tương ứng của n BĐT nhận đượ ...  Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 – x)2 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = x4 + (3 – x)4 + 6x2(3 – x)2.
Lời giải : Đặt y = 3 – x, bài toán đã cho trở thành : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x4 + y4 + 
6x2y2, trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn  
Từ các hệ thức trên, ta có : x2 + y2 + 2xy = 9
 x2 + y2 5	
Suy ra (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) 5 + 4.9 = 41 5(x2 + y2) + 4(2xy) 41
Mặt khác : 16(x2 + y2)2 + 25(2xy)2 40(x2 + y2)(2xy) (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4(x2 + y2) = 10xy
Cộng hai vế của (1) với 25(x2 + y2)2 + 16(2xy)2 ta có :
41 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 41 khi và chỉ khi Q 41.
Min Q = 41, đạt được khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2.
Bài toán 24. Cho a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c = 2. Tìm max M = a2 + 2b2 + 3c2.
Lời giải: Đây là bài toán thuộc dạng tìm cực trị có điều kiện, hay và khó trong chương trình toán THCS nói chung và BĐT nói riêng. Chúng ta sử dụng giả thiết để đi tìm “kết”.
Vì: a, b, c suy ra: (a + 2)(a – 3) 0 a2 – a – 6 0 a2 a + 6.
Tương tự : b2 b + 6 2b2 2b + 12;
 c2 c + 6 3c2 3c + 18 .
Từ các BĐT trên, suy ra: M = a2 + 2b2 + 3c2 a + 2b + 3c + 36 = 38.
Max M = 38 khi và chỉ khi a = 3; b = 3; c = 3.
Bạn hãy giải bài toán tìm cực trị có điều kiện dưới đây xem:
Bài toán 25. Cho a, b, c . Chứng minh rằng: 
HD: Biết được vai trò của các biến là như nhau. Vì vậy ta có thể giả sử và đi xét các trường hợp cần thiết cho bài toán, ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số có 1 số bằng 0 và 2 số kia bằng 1.
Bài toán 26. Cho hàm số: f(x;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + ) với x, y > 0 và x2 + y2 = 1.
Tìm min f(x ;y) ?
Lời giải : f(x ;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + )
 = 1 + + x + 1 + + y
	= 2 + (x + ) + (y + ) + () + ()
 = 2 + .
Mặt khác : 
Suy ra f(x ;y) .
Min f(x ;y) = 
Bài toán 27. Cho biểu thức P = Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết x nằm trong khoảng từ 0 cho đến 3.
Lời giải : * Giá trị nhỏ nhất :	
 Vì 0 x 3 nên 
Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0.
Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0.
 P x.x = 3 hoặc x = 0.
Vậy Min P = 3. khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 3.
* Giá trị lớn nhất:
Dễ thấy P > 0 và P lớn nhất khi P2 lớn nhất. Ta có:
P2 = x2 .(5 – x) + (3 – x)2 . (2 – x) + 2.
 = x2 – 3x + 18 + 2
 = 18 + x(3 – x) . ( 2) 
Ta có : 0 x(3 – x) = , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5.
Vì ()2 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1,5.
Mặt khác 2.
 P2 . Mà P > 0 nên P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5.
Vậy giá trị lớn nhất của P là .
Bài toán 28. Cho biểu thức : P = .
Với giá trị nào của các số nguyên dương x, y, z thì P đạt giá trị dương bé nhất ?
(Thi HSG Quốc gia 1988 – 1989, Bảng A)
Lời giải : Vì P > 0 suy ra .
Đặt Q = .
Do đó : Pmin khi và chỉ khi Qmax khi và chỉ khi xmin.
Ta có : (Vì x nhỏ nhất)
Khi x = 3 
Vì không đổi nên Qmax khi và chỉ khi ymin .
Mà : (Vì y nhỏ nhất)
Khi y = 4 . Qmax khi zmin. Suy ra z = 36 (Vì z nhỏ nhất)
Suy ra .
Min P = (x, y, z) = (3, 4, 36).
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là .
Bài toán 29. Cho a, b, c là các số dương a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
a5(bc – 1) + b5(ca – 1) + c5(ab – 1) 
HD: Bằng cách khai triển VT vủa BĐT trên, kết hợp với giả thiết bài toán, áp dụng thêm các BĐT phụ và biến đổi khéo léo, ta suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải: Xin dành cho bạn đọc (!)
Bài toán 30. Cho biểu thức: P = . Tìm giá trị lớn nhất của P.
Lời giải: ĐKXĐ của biểu thức P: x 1; y 2 và z 3.
Ta có: P = .
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
Suy ra P . Max P = khi và chỉ khi x = 2; y = 4; z = 6.
Bài toán 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = 
Lời giải : Bằng cách khai triển, ta thu được 
M = 
Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có :
. Tương tự, ta cũng có :
 ; . Cộng từng vế các BĐT trên, ta có :
 (Vì xyz = 1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Suy ra M . Min M = 
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 
Bài toán 32. Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với P = .
Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra P = .
Biến đổi biểu thức P, ta được P = . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta có: 
Suy ra P . Min P = 6 khi và chỉ khi 1 + a = 2 + b = 3 + c suy ra (a, b, c) = (3, 2, 1).
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.
Bài toán 33. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x, y, z 1. Chứng minh rằng :
Lời giải : Vì 0 < x, y, z 1 suy ra :
(xy + 1) – (x + y) = (1 – x)(1 – y) 0 suy ra xy + 1 x + y.
Tương tự : yz + 1 y + z ; zx + 1 z + x.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 34. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
Lời giải : Đặt . (x, y, z > 0)
Suy ra x + y > z ; y + z > x ; z + x > y.
Bằng cách khai triển, vế trái thu được bằng :
VT = . Đến đây có hai cách :
Cách 1 : Sử dụng phương pháp làm trội.
Cách 2 : x + y > z z(x + y + z) < 2z(x + y) .
Tương tự : . Cộng theo từng vế các BĐT trên, ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 35. Cho x, y thuộc (0 ; 1). Tìm min A = 
Lời giải : Ta có :
A = 
Vì : 
 A .
Min A = 5/2 khi và chỉ khi x; y thỏa mãn các điều kiện:
 và 	.
Bài toán 36. Cho 3 số x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = .
Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra . Ta biến đổi biểu thức P như sau:
P = 
 = 
Mặt khác dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
x = y = z = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là min P = .
Bài toán 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2y(4 – x – y) trong đó x, y là các số không âm thay đổi và luôn thỏa mãn x + y 6.
Lời giải: * Tìm giá trị lớn nhất: 
Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của A khi 4 – x – y 0. Khi đó áp dụng BĐT Cauchy ta được:
A = 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2, y = 1.
* Tìm giá trị nhỏ nhất: 
Ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của A khi 4 – x – y 0. Khi đó vì x + y 6 nên
B = - A= x2y(4 – x – y) 2x2y. Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2x2y = x.x.2y .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 4, y = 2.
Bài toán 38. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x3(2 – x)5 khi x thay đổi trên đoạn .
Lời giải: Ta viết lại f(x) dưới dạng f(x) = .
Áp dụng BĐT Cauchy cho năm số (2 – x) và ba số , ta có:
5(2 – x) + 3. = (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) + (2 – x) + + + 
 , hay tức là .f(x) suy ra
f(x) dấu bằng khi và chỉ khi x = .
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là max f(x) = .
Bài toán 39. Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức :
P = 
Lời giải : Bằng cách khai triển, ta được
P = (Với x, y, z > 0)
Mà ta luôn có BĐT . Mặt khác, áp dụng BDDT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta có : .
Suy ra P .
Min P = khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là min P = .
Bài toán 40. Cho x, y, z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
( Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ khối A – 2007 )
Lời giải : Vì xyz = 1 suy ra 
Tương tự và 
Suy ra .
Đặt 
Min P = 2 khi và chỉ khi a = b = c khi và chỉ khi x = y = z = 1.
VI . MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z . Chứng minh rằng :
.
Bài 2. Giả sử x, y là hai số dương thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = .
Bài 3. Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = .
Bài 4. Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
Bài 5. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng : .
Bài 6. Cho x , y , z là các số dương thỏa mãn x + y + z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = 
Bài 7. Cho x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x2y3.
Bài 8.Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
Bài 9. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc đoạn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = .
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz thì :
Bài 11.Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1.
Bài 12. Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
Bài 13. Cho x, y là các số thực thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = .
Bài 14. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = .
Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = .
Bài 16. Cho các số x, y, z, t > 0 thỏa mãn : xy + 4zt + 2yz + 2xt = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = .
Bài 17. Cho . Chứng minh rằng : .
Bài 18. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y + z ?
Bài 19. Cho các số thực a, b, c 1. CMR: .
Bài 20. cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x + y + z 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
H = 
Bài 21.Cho a ; b ; c là ba số dương khác nhau đôi một. Tìm min :
 F = trong đó x ; y là hai số dương có tổng bằng 1
Bài 22. Cho a1 + a2 + ... + an = k. Tìm cực trị của biểu thức: A = a21 + a22 + ... + a2n
Bài 23. Cho x; y; z 0 thỏa mãn điều kiện: x + y+ z = a.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = .
Bài 24. Cho các số thực a , b ,c 1 thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 = 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = .
Bài 25. Cho a + b = 16. Tìm min của biểu thức: N = 5ab2 + +2(a - 1) + 3(b + 1).
Bài 26. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) .
Bài 27. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = 4. Chứng minh rằng: 
a + b + c ab + bc + ca
Bài 28. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh rằng: a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 
Bài 29. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
.
Bài 30. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng:
( Thi Iran MO – 2008 )
-------------------------------------------------------------------------
* Trên đây là các bài toán về BĐT, cực trị trong chương trình THCS. Nó góp phần vào việc vận dụng linh hoạt trí óc, tư duy lô – rích, giúp các em học khá hơn, giỏi hơn về chuyên đề BĐT trong chương trình toán THCS, giúp các thầy, cô giáo dạy toán thêm một tài liệu bổ ích, dùng để ôn thi, dạy các em học sinh khá, giỏi.
* Tất nhiên là các bài toán trên đây có nhiều cách giải khác nhau. Bài viết này chỉ mang tính gợi ý
giúp các em học sinh nâng cao dần khả năng học toán, rồi từ đó trở nên yêu thích môn toán hơn, mang trào lưu đam mê toán ra khắp cộng đồng.
* Mong các đồng nghiệp tích cực tham khảo, nghiên cứu chuyên đề này, giúp các em định hướng cách học môn toán tốt hơn. Xin cảm ơn!
=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=*=