Đề cương ôn tập học kỳ I Toán Khối 8

PHẦN ĐẠI SỐ
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
1/ Phép nhân đơn thức với đa thức
+ Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tửcủa đa thức rồi cộng các tích với nhau.
 A(B + C) = A.B+ A.C ( A, B, C là các đơn thức)
Ví dụ 1: làm tính nhân 
 Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức:
Giải 
 tại x = -5
 Giải:
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
 Tại x = - 5 thì giá trị của biểu thức P là:
Giải: 
Ví dụ 4: 
Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
Giải:
Vì giá trị của biểu thức bằng 5 với mọi giá trị của biến x nên giá trị của thức không phụ thuộc vào biến x.
Ví dụ 5: Tìm x
 2x(x – 5) – x(3 + 2x) = 26
Giải
2/ Nhân đa thức với đa thức
Quy tắc
 Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của kia rồi cộng các tích với nhau.
 (A + B) (C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D ( A, B, C, D là các đơn thức)
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
 a/ (x – 7)(x – 5) b/(5x – 2y)(x2 – xy + 1)
Giải
a/ (x – 7) (x – 5) = x2 – 5x – 7x + 35 = x2 – 12x + 35
b/ (5x – 2y)(x2 – xy + 1) = 5x(x2 – xy + 1) – 2y(x2 – xy + 1)
 = 5x3 – 5x2y + 5x – 2x2y + 2xy2 – 2y
 = 5x3 – 7x2y + 2xy2 + 5x – 2y
Ví dụ 2: Chứng minh
Giải: 
( Chứng minh đẳng thức là dùng phép biến đổi để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại)
Ví dụ 3: Cho a và b là hai số tự nhiên, biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2.
 Giải
Vì a chia cho 3 dư 1 nên ta có: a = 3k + 1 với k Î N
 b chia cho 3 dư 2 nên ta có: b = 3k’ + 2 với k’ Î N
 a.b = (3k + 1)(3k’ + 2) = 9k.k’ + 6k + 3k’ + 2 = 3( 3k.k’ + 2k + k’) + 2
 = 3 k” + 2 với k” = 3k.k’ + 2k + k’ ( k’’ Î N)
Vậy: a.b chia cho 3 dư 2.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Giải:
n(2n – 3) – 2n(n + 1)= 2n2 – 3n – 2n2 – 2n = - 5n
vì -5n chia hết cho 5 với mọi n nên biểu thức n(2n – 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi n.
NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1/Bình phương của một tổng
 	 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
2/ Bình phương của một hiệu
 	(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3/ Hiệu của hai bình phương
 	 (A + B)(A – B) = A2 – B2
4/ Lập phương của một tổng
 	(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
5/ Lập phương của một hiệu
 	(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6/ Tổng của hai lập phương
 	 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7/ Hiệu của hai lập phương
 	A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B3)
Các hằng đẳng thức hệ quả:
a/ (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
b/ (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
c/ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
d/ a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
e/ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích những đa thức.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử ta có thể dùng các phương pháp sau:
+ Đặt nhân tử chung.
+Dùng hằng đẳng thức.
+Nhóm hạng tử.
+ Phối hợp các phương pháp
+ Tách một hạng tử thành hai hạng tử
+ Thêm bớt cùng một hạng tử
+ Dùng tính chất: Nếu A chia hết cho B có thương là C ta có: A.B = C
	CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
Quy tắc:
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ( trường hợp A chia hết cho B) ta thực hiện như sau:
Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B
Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
Quy tắc:
 Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( Trong trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC ( cùng biến)
Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức A và B tùy ý( của cùng một biến và B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R ( bậc của R nhỏ hơn bậc của B). Đa thức Q gọi là đa thức thương và đa thức R gọi là đa thức dư.
+ Khi R = 0 thì ta có phép chia hết.
Để thực hiện phép chia đa thức cho đa thức ta có thể thực hiện các phương pháp sau:
Đặt phép chia ( như chia số nguyên cho số nguyên) để tìm đa thức thương và đa thức dư .
Phân tích thành nhân tử ( trường hợp chia hết).
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
Bài 2: Chứng minh rằng:
Bài 3: Tìm x
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài 6: Thực hiện phép chia:
Bài 7:
a/ Chứng mih rằng biểu thức n(2n - 3) – 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
b/ Tính giá trị nhỏ nhất:
c/ Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:
d/ Tìm giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức.
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1/ Định nghĩa
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng , trong đó A, B là những đa thức và B
 là đa thức khác 0. A gọi là tử thức, B gọi là mẫu thức.
Mỗi số thực a bất kì cũng là một phân thức, số 0, số 1 cũng là một phân thức.
2/Hai phân thức bằng nhau
3/Tính chất cơ bản của phân thức
+Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
 (N là nhân tử chung của đa thức A và và đa thức B)
4/ Quy tắc đổi dấu
5/ Rút gọn phân thức:
 Muốn rút gọn một phân thức ta thực hiện như sau:
+ Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để tìm nhân tử chung;
+ Chia tử và mẫu cho nhân tử chung.
6/ Quy đồng mẫu nhiều phân thức:
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân thức ta thực hiện như sau:
+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.
+ Tìm nhân tử phụ của mỗii mẫu thức
+ nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
7/ Phép cộng các phân tử đại số.
a/ Cộng hai phân thức cùng mẫu
	Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
b/ Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau
	Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
8/ Phép trừ các phân thức
	Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của 
9/ Phép nhân các phân thức với nhau
	Muốn nhân hai phân thức ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau
Chú ý: phép nhân các phân thức có tính chất:
	+ Giao hoán:
	+ Kết hợp:
	+ Phân phối:
10/ Phép chia các phân thức:
	+ Phân thức nghịch đảo:
	Hai phân thức được gọi là nghịch đảo với nhau nếu tích của chúng bằng 1
Hai phân thức và là hai phân thức nghịch đảo lẫn nhau (A ≠ 0; B ≠ 0)
+ Phép chia:
	Muốn chia phân thức cho phân thức , ta nhân với phân
 thức nghịch đảo:
Bài tập vận dụng
Bài 1: Thực hiện phép tính Bài 2: Rút gọn biểu thức:
Bài 3: Chứng minh đẳng thức:
ÔN TẬP CHƯƠNG TỨ GIÁC
1/ Tứ giác
a/Định nghĩa
	Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.
Chú ý: Trong chương trình phổ thông chỉ học tứ giác lồi.
b/Định lí:
	 Tổng các góc trong một tứ giác bằng 3600
2/ Hình thang
	Hình thang là một tứ giác có hai cạnh đối song song.
+ Hình thang vuông
 Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 
+ Hình thang cân
	Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Tính chất:
 Trong hình thang cân:
Hai cạnh bên bằng nhau.
Hai đường chéo bằng nhau
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
 ABCD là hình thang khi và chỉ khi AB // CD
 ABCD là hình thang có một góc vuông thì ABCD là hình thang vuông.
3/ ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG, CỦA TAM GIÁC
a/ Đường trung bình của tam giác
 Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của một tam giác.
Định lí 1:
 Đường thẳng đi qua trung điểm một 
cạnh của tam giác và song song với cạnh
 thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lí 2
	Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
b/ Đường trung bình của hình thang.
 Đường trung bình của hình thang là đoạn
 thẳng nối trung điểm hai cạnh bên.
Định lí 3.
	Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4
	Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng một nữa tổng hai đáy.
DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA
+ Với thước thẳng, ta có thể dựng được:
Một đường thẳng khi biết hai điểm của nó.
Một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của đoạn thẳng.
Một tia khi biết gốc và một điểm của tia.
+ Với Compa ta có thể dựng được một đường tròn khi biết tâm và bán kính của nó.
1/ Các bài toán dựng hình cơ bản:
a/ Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.
b/ Dựng một góc bằng một góc cho trước.
c/ Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
d/ Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
e/ Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
g/ Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
h/ Dựng một tam giác, biết ba cạnh hoặc biết hai cạnh và góc xen giữa, biết một cạnh và hai góc kề.
BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
 Để giải một bài toán dựng hình ta thực hiện các bước sau:
1/ Phân tích:
Giả sử hình dựng được thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Từ hình dựng được ta tìm các đối tượng dựng được(điểm, đường thẳng, tam giác) và đối tượng chưa dựng được.
+ Phân tích tính chất của đối tượng chưa dựng được để tìm cách dựng (dựa vào các bài toán dựng hình cơ bản).
2/ Cách dựng
+ Lần lượt nêu các đối tượng dựng được.
+ Nêu các tính chất của đối tượng chưa dựng được và nêu cách dựng ( dựa vào từng tính chất)
3/ Chứng minh:
Chứng minh hình vừa dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4/ Biện luận:
+ Dựa vào điều kiện của bài toán để nêu số nghiệm hình dựng được ( một hình duy nhất, hai hình.. hoặc vô số hình)
ĐỐI XỨNG TRỤC
1/ Hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
2/ Hai hình đối xứng qua một đường thẳng
Hai hình gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng
D mếu mỗi điểm thuộc hình này là điểm đối 
xứng của một điểm thuộc hình kia qua đường
thẳng d và ngược lại,
 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.
Người ta chứng minh được rằng:
Nếu hai đoạn thẳng ( hai góc, tam giác) đối xứng nhau
qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.
3/ Trục đối xứng của một hình
 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu 
điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường
thẳng d củng thuộc hình H.
 Trong trường hợp này ta nói hình H có trục đối xứng.
ĐỐI XỨNG TÂM
1/ Hai điểm đối xứng qua một điểm
 Hai điểm đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Chú ý: Điểm đối xứng của điểm O qua O cũng là điểm O.
2/ Hai hình đối xứng nhau qua một điểm.
Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua điểm O, nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua O và ngược lại.
Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
HÌNH BÌNH HÀNH
1/ Định nghĩa
	Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
2/Tính chất:
Trong hình bình hành
+ Các cạnh đối bằng nhau.
+Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3/Dấu hiệu nhận biết:
+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
+Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.
Định lí
	Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó.
HÌNH CHỮ NHẬT
1/ Định nghĩa
Hình chữ nhật là một tứ giác có 4 góc vuông.
+ Hình chữ nhật cũng là hình bình hành và là hình thang cân.
2/Tính chất
+Hình chữ nhật có tất cả tính chất của hình bình hành và hình thang cân.
+ Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
3/ Dấu hiệu nhận biết:
+Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
+ Hình bình hành có một góc vuông là chữ nhật.
+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
1/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
2/ Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước.
 Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h.
3/ Đường thẳng song song cách đều.
 Các đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và khoảng cách giữa các đường thẳng a và b, b và c, c và d bằng nhau. Ta gọi chúng là các đường thẳng song song cách đều.
Định lí:
+ Nếu các đường thẳng song song cách đều
cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên 
đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp
 bằng nhau.
+ Nếu các đường thẳng song song cắt 
một đường thẳng và chúng chắn trên 
đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. 
HÌNH THOI
1/ Định nghĩa:
 Hình thoi là một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. 
 ABCD là hình thoi Û AB = BC = CD = DA
2/ Tính chất:
Định lí:
Trong hình thoi
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.
+Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc hình thoi
3/ Dấu hiệu nhận biết
+ Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
HÌNH VUÔNG
1/ Định nghĩa:
Hình vuông là một tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau.
Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
2/ Tính chất:
+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
+Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.
3/ Dấu hiệu:
1/ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
2/ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
3/ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.
4/ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
5/ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Phần bài tập
Bài 1 Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O .Trên tia đối của tia BA lấy BE = BA .Nối ED cắt AC tại I và BC ở F 
Cminh: ID = 2IF
nối EO cắt Bc ở G , đường thẳng OF cắt EC tại H .chúng minh ba điểm A,G,H thẳng hàng
Biết góc BAD = 60o ,AB = a. Tính diện tich hình thoi ABCD theo a?
Bài 2:Cho hình bình hành ABCD .Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD và I là trung điểm cạnh AB ,J là trung điểm của cạnh DC
a) Chứng minh : AJ = CI 
b) Chứng minh: O là trung điểm IJ
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có O là ioa điểm của 2 đường chéo .Gọi I là trung điểm cạnh BC và E là điểm đối xứng với O qua I 
Tứ giác OBEC là hình gì? Chứng minh
Chứng minh: E đối xứng với A qua J (J là trung điểm OB)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) .Gọi I là trung điểm của BC .Qua I vẽ IM ┴ AB tại M , IN ┴ AC tại N 
Chứng minh: AIMN là hình chữ nhật 
Gọi D là điểm đối xứng với I qua N . Chứng minh: ADCI là hình thoi
Đường thẳng BN cắt cạnh DC tại K . Chứng minh: DK/ DC = 1/3
Bài 5: cho tam giác ABC (AB< AC<BC) . đường cao AH .Gọi D,E,F, lần lượt là trung điểm của DE và AE
cminh: tg DFEH là hình thang cân 
cm; I là trung điểm DF
 Bài 6: Cho hcn ABCD ( AB> AD) .Trên cạnh AD,BC lấy lần lượt cac điểm M,N sao cho AM = CN
cm: BM / / DN
gọi O là trung điểm BD. chứng minh: AC,BD,MN đồng quy tại O
qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với BD ,d cắt cạnh AB tại P cắt cạnh CD tại Q .chứng minh : PBQD là hình thoi
Đường thẳng qua B song song với PQ và đt qua Q song song với BD cắt nhau tại K .chứng minh : AC vuông góc với CK
Bài 7: Chứng minh rằng: trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Câu 2: Gọi O là một điểm nằm traong tứ giác ABCD .Hãy xác định vị trí của O để:
 OA + OB + OC + OD nhỏ nhất
Bài 8: Hình thang ABCD (AB // CD) .Gọi E là trung điểm của BC và góc AED = 90o 
Chứng minh rằng: DE là tia phân giác của góc D
Bài 9 : Chứng minh rằng : Nếu hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau thì tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đáy 
Bài 10 : Cho hình thang ABCD (AB // CD) .Chứng minh rằng :
a) AD + BC > CD – AB b) CD – AB > ‌│AD - BC‌ │
Bài 11 : Chứng minh rằng : trong một hình thang cân phân giác của hai góc kề một cạnh bên vuông góc với nhau 
Bài 12: Cho tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy D ,trên tia đố của tia AC lấy E sao cho AD = AE . Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BE ,AD ,AC, AB .chứng minh rằng: BCDE là hình thang cân