Đề cường bồi dưỡng môn Toán Lớp 8 - Quy trình phân tích đa thức thành nhân tử

QUY TRÌNH PHAÂN TÍCH ÑA THÖÙC THAØNH NHAÂN TÖÛ
Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử nghĩa là viết đa thức đã cho dưới dạng một tích gồm nhiều đơn và đa thức khác.
Quy trình theo thứ tự ưu tiên
Ñaët nhaân töû chung ( Neáu coù ).
Nhoùm ( Chuù yù caùc haïng töû coù daïng haèng ñaúng thöùc thì nhoùm vaø moät nhoùm ) neáu khoâng, chuù yù daáu, luõy thöøa, heä soá.
Duøng haèng ñaúng thöùc.
Ngoaøi ra coøn duøng moät soá phöông phaùp khaùc nhö : Taùch moät haïng töû thaønh 2 haïng töû hoaëc theâm bôùt cuøng moät haïng töû ñeå xuaát hieän haèng ñaúng thöùc.
Ví duï : Phaân tích caùc ña thöùc sau thaønh nhaân töû ( Thaønh tích goàm nhieàu ñôn hay ña thöùc khaùc )
a) 6x – 15
b) x2 –5x
c) 12xy + 15x2
d) x2 + y2 – 1 + 2xy
e) 5x2 – 5xy – 10x + 10y
f) x2 – 7xy + 10y2
Meïo nhoû taùch :
Daïng 1: Phaân tích ña thöùc ax2+ bx + c thaønh nhaân töû.
Cô sô tìm kieám : ax2+ bx + c = (mx +n ).(px + q) =mpx2 +(mq + np).x +nq
Nhaän thaáy a.c = (mp).(nq) = (mq).(np) vaø b = mq + np
Daãn ñeán meïo : tìm u vaø v sao cho a.c = u.v vaø b =u + v sau ñoù taùch bx =ux + vx
Tieáp tuïc vaän duïng phöông phaùp nhoùm.
Daïng 2 : Phaân tích ña thöùc x3m+2+ x3m+1+1 thaønh nhaân töû
Cô sôû phaân tích x3m+r = xr(x3m- 1) + xr vôùi r = 0; 1; 2
x3m – 1 = (x3)k – 1k = ( x3 – 1) (. . . ) = (x2 + x + 1) ( . . . )
do vaäy khi phaân tích ña thöùc x3m+2+ x3m+1+1 thaønh nhaân töû coù moät nhaân töû laø (x2 + x + 1)
Meïo : Ña thöùc xa+ xb + 1 neáu coù a chia cho 3 dö 2 vaø b chia cho 3 dö 1 thì theâm bôùt cuøng moät haïng töû ñeå xuaát hieän nhaân töû (x2 + x + 1)
Ví duï : Phaân tích x5+x4+1 thaønh nhaân töû 
	x5+ x4+1 = x5+ x4+ x3- x3+ x2- x2 + x - x +1
	 = (x5+ x4+ x3)- x3 - x2 - x +( x2+ x +1)
	 = x3(x2+ x +1) - x( x2+ x +1) +( x2+ x +1)
	 = (x2+ x +1)(x3 - x +1) 
Phaân tích x10+x5+1 thaønh nhaân töû 
 x10+ x5+1 = x10+x9+x8+x7+ x6+x5+x5+ x4+x3+x2+x+1-x9-x8-x7-x6-x5-x4-x3-x2- x
= (x10+x9+x8)+(x7+ x6+x5)+(x5+ x4+x3)+(x2+x+1)-x9-x8-x7-x6-x5-x4-x3-x2- x 
= x8(x2+ x +1)-x7( x2+ x +1)+x5( x2+ x +1)-x4( x2+ x +1)+x3( x2+ x +1) -x ( x2+ x +1) +(x2+x+1)
= (x2+ x +1)(x8 - x7 +x5-x4+x3 -x + 1) 
Phương pháp đổi biến ( đặt ẩn phụ)
+5
Phương pháp tìm nghiệm rồi tách : Chú ý NẾU ĐA THỨC CÓ TỔNG CÁC HỆ SỐ BẰNG 0 thì đa thức chứa nhân tử ( x – 1). NẾU ĐA THỨC CÓ TỔNG CÁC HỆ SỐ CỦA HẠNG TỬ BẬC CHẴN BẰNG TỔNG CÁC HỆ SỐ CỦA HẠNG TỬ BẬC LẺ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1)
 Ví dụ : x3 + 3x2 – 4 
Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có là phải là ước của hạng tử không đổi. x3 + 3x2 – 4 (ước của 4)
Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi.còn q là ước dương của hạng tử có bậc cao nhất
Ví dụ : 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Nghiệm có thể là : ( x = là một nghiệm)
Phương pháp hệ số bất định:
(ax + b)(cx2 + dx +m) = acx3 + ( ad + bc)x2 + (am +bd)x + bm từ đó suy ra các giá trị 
ac = ; ad + bc = ; am + bd = ; bm = trong đó a >0
Do ac = suy ra a = u hoặc a = v
Nếu a = u thì c = thay vào tìm b, d, m
Nếu a = v thì c = thay vào tìm b, d, m
Ví dụ : 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Do ac = 2 suy ra a = 1 hoặc a = 2
Nếu a = 2 thì c = 1 thay vào tìm b, d, m
Nếu a = 1 thì c = 2 thay vào tìm b, d, m
Phương pháp xét giá trị riêng: Phân tích P thành nhân tử
Dạng : P = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Nếu a = b thì P = 0 mà a,b,c có vai trò như nhau nên P = (a – b)(b – c)(c – a)
Có thể khai triển hai hạng tử giữ nguyên hạng tử còn lại (sau đó nhóm các hạng tử của hai hạng tử vừa khai triển cách khác để giống 1 nhân tử trong hạng tử không khai triển) .
 12 baøi töï luyeän
1) 12x2+7x –12
2) 8x2+ 6x – 35 
3) 21x2 –5x – 6 
4) 10x2 +11x + 3
5) – 6x2 + 7x + 3
6) x10+ x2+1
7) x5+ x +1
8) x7+ x5+1
9) x11+ x4+1
10) x8+ x +1
11) a4 + a2b2 + b4
12) x2 + 10xy – 70y – 49 
Ví duï khaùc veà phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû : 
1) x3+ 6x2+ 11x + 6 = x3+ x2+5x2 +5x + 6x + 6 roài nhoùm ( 1+ 5 = 6 ; 6 + 5 = 11 )
 x3+ 6x2+ 11x + 6 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 – x – 2 ( Bieán ñoåi theo haèng ñaúng thöùc )
2) (a –x).y3 – (a – y).x3 + (x – y).a3 =(a –x).y3 – (a – x).x3 – (x – y).x3 + (x – y).a3
Sau ñoù nhoùm bình thöôøng 
Ñöôøng höôùng : a – y = a – x + x – y = (a – x) + (x – y)
4(3x2 –5x + 2) + y(3y – 12x + 10) = 12x2 – 20x + 8 + 3y2 –12xy +10y
	= 12x2 –12xy + 3y2– 20x +10y+ 8
	= (12x2 –12xy + 3y2)– (20x – 10y ) + 8
	=3(2x – y)2 – 10( 2x – y ) + 8 
	ñaët 2x – y = a ta coù 	=3a2 – 10a + 8 sau ñoù duøng phöông phaùp taùch
Các bài toán cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x + 2 = 2(x +1) 	Nhân tử chung là 1 số 
b) 3x2 – x = x(3x – 1)	Nhân tử chung là một chữ
c) 10ax2 – 5x3 = 5x2(2a – x)	Nhân tử chung gồm cả số và chữ
d) 2x(y – 1) – xy(y – 1) = x(y – 1) (2 – y) 	Nhân tử chung có thể là một đa thức
Nhiều khi phải đổi dấu trong một dấu ngoặc để xuất hiện nhân từ chung là nhiều nhất.
Quy tắc : Đổi dấu trong một dấu ngoặc thì phải đổi dấu đứng đằng trước dấu ngoặc.
Quy tắc nhóm :
Nhóm các hạng tử vào trong một dấu ngoặc thì trước ngoặc phải có dấu « + » hoặc dấu «  – »
Nhóm các hạng tử vào trong một dấu ngoặc, trước ngoặc có dấu trừ phải đổi dấu các hạng tử đưa vào 
 e) 3x(x – 2) + 5(2 –x) = 3x( x – 2) – 5(x – 2)
	 = (x – 2).(3x – 5)
Các bài tập áp dụng
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. xy + x + y + 1
b/. x3 + 2x2 + 5x + 10 
c/. 2x3 + 2ax2 – 4a – 4x 
d/. x2 + 2x + 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 4x2 – 12x + 9
b/. 9x2 – 4y2 
c/. 8x3 – 27 
d/. – x3 – 8 
e/. 2x2 – 8x + 8
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x2 + y2 – 3x – 3y + 2xy
b/. x4 + 4
c/. x2 – 4x + 3
d/. 2x2 + 8x – 10
e/. 5x3 – 3x2y – 45xy2 + 27y3
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. – 12x + 18y – 9 
b/. x3 – 2x2 + 5x 
c/. 3x(x – 1) + 5(x – 1)
d/.2x2( x + 1) + 4( x + 1)
e/. – 3x – 6xy + 9zx
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 2x2y – 4xy2 + 6xy
b/. 4x3y2 – 8x2y3 + 2x4y
c/. 9x2y3 – 3x4y2 – 6x3y2 + 18xy4
d/. 7x2y2 – 21xy2z + 7xyz – 14xy
e/. 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ax + by + ay + bx
b/. x2 – ax – bx + ab
c/. x2y + xy2 – x – y 
d/. ax2 + ay – bx2 – by 
e/. ax – 2x – a2 + 2a
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 2x2 + 2x – ax – a 
b/. 2x2 +4ax + x + 2a
c/. 2xy – ax + x2 – 2ay
d/. x3 + ax2 + x + a
e/. x2y2 + y3 + zx2 + yz
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ( x – 3).( x – 1) – 3(x – 3)
b/. ( 6x + 3) – ( 2x – 5).(2x + 1)
c/. ( x – 1 ).(2x + 1) + 3(x – 1).( x + 2). (2x +1 )
d/. (3x – 2).( 4x – 3) – (2 – 3x).(x – 1) – 2(3x – 2).(x + 1)
e/. (x – 5 )2 + ( x + 5).( x – 5) – (5 – x)(2x + 1)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ( a – b)(a + 2b) – ( b – a)( 2a – b) – ( a – b)( a + 3b)
b/. ( x + y) ( 2x – y) + ( 2x – y)( 3x – y) – (y – 2x)
c/. 5xy3 – 2xyz – 15y2 + 6z
d/. ab3c2 – a2b2c2 + ab2c3 – a2bc3
e/. x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ( 3x – 1)2 – 16
b/. (5x – 4)2 – 49x2
c/. ( 2x + 5)2 – (x – 9)2
d/. ( 3x + 1)2 – 4(x – 2)2
e/. 9(2x + 3)2 – 4(x + 1)2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 4x2 + 4x + 1
b/. 9x2 – 24xy + 16y2
c/. – x2 + 10x – 25
d/. 1+ 12x + 36x2
e/. 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 125x3 + 1
b/. 8x3 – 27 
c/. 27x3 + 
d/. a3b3c3 – 1 
e/. 125x3 + 27y3
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x3 + 6x2 + 12x + 8
b/. x3 – 3x2 + 3x – 1 
c/. 
d/. 1 – 9x + 27x2 – 27x3
e/. 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x2 – 4x2y2 + y2 + 2xy
b/. x6 – y6
c/. 25 – a2 + 2ab – b2
d/. 4b2c2 – (b2 – c2 – a2)2
e/. ( a + b + c)2 + ( a + b – c)2 – 4c2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ( 3x2 + 3x + 2)2 – ( 3x2 + 3x – 2)2
b/. ( x2 – 25)2 – (x – 5)2
c/. (4x2 – 25)2 – 9(2x – 5)2 
d/. 4( 2x – 3)2 – 9(4x2 – 9)2
e/. a6 – a4 + 2a3 + 2a2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. ( xy + 1)2 – ( x + y)2
b/. 4( x2 – y2)2 – 8(x – ay) – 4(a2 – 1)
c/. (x + y)3 – (x – y)3
d/. 3x4 y2 + 3x3y2 + 3xy2 + 3y2
e/. (x + y)3 – 1 – 3xy(x + y – 1)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x3 – 1 + 5x2 – 5 + 3x – 3 
b/. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1 
c/. x3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
d/. 3x2(a – b + c) + 36xy( a – b + c) + 108y2(a – b + c)
e/. 5x3 – 3x2y – 45xy2 + 27y3
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x2 – 3x + 2 
b/. x2 – 6x + 8
c/. x2 + 6x + 5
d/. x2 – 9x + 18
e/. x2 – 5x – 14 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 3x2 – 5x – 2 
b/. 2x2 + x – 6 
c/. 7x2 + 50x + 7
d/. 12x2 + 7x – 12
e/. 15x2 + 7x – 2
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. 5x2 + 6xy + y2 
b/. (x – y)2 + 4(x – y) – 12 
c/. x2 + 2xy – 15y2
d/. ( x + 1)(x+ 2)( x +3)(x + 4) + 1
e/. ( x + 1)(x+ 3)( x +5)(x + 7) + 15 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/. x4 + 2x2 – 24 
b/. x8 + x4 + 1 
c/. x4 + 64
d/. x3 – 2x – 4
e/. x3 + x2 + 4