Đề cương Bồi dưỡng học sinh giỏi trên máy tính bỏ túi Toán Lớp 9 - Nguyễn Thị Kim Dung

đề cương bồi dưỡng học sinh giỏi 
môn Máy Tính Bỏ Túi lớp 9
Tính giá trị của biểu thức:
Tính giá trị của biểu thức không chứa biến
Phương pháp: Tính trực tiếp
Bài 1. Tính:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. F = 4 – sin2450 + 2cos2600 – 3cotg3450
g. G = tg450. cos300.cotg300
h. H = 8 – cos2300 + 2sin2450 – tg3600
i. I = (162 +112).sin380013’28’’ + cos489033’18’’
j. J = 
k. K = 
Tính giá trị của biểu thức có chứa biến
Phương pháp:
 Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Nhập các biểu thức vào máy tính (phương pháp đã được mô tả trong bài toán về hàm số)
Bước 2: Sử dụng hàm để nhập các giá trị của biến.
Chú ý: Cũng có thể tính trực tiếp
Bài 2. Viết quy trình ấn phím tính giá trị của biểu thức:
 Với x = 1,8165
 Với x = 2,2345 ; y = 1,1234
Bài 3. Tìm x biết:
 Sĩnx = 0,1234 Cosx = 0,4567 Tgx = 1,2354 Cotgx = 2,1345
Bài 4. Viết quy trình ấn phím tính giá trị biểu thức:
a. b. 
c. 
Bài 5. Tính giá trị biểu thức: khi x = 1,8165
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với x = 2005
A = 
Bài 7: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1
 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P()
Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345
Bài 9: Cho đa thức 
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên
Bài 10: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
Bài 11. Tính nhanh giá trị biểu thức:
P = (22 + 42 + 62 + ... + 1002) - (12 + 32 + 52 +... + 992)
Bài 12. Cho sin a = 0,6532 (góc a nhọn) . Tính P = với 5 chữ số phần thập phân.
Bài tập áp dụng: 1, 2, 3, 4 (Tr - 114) bài 5 (tr213) Bài 8 (tr216) Bài 8.2(tr218)
2. Tìm thương và dư trong phép chia hai đa thức:
Dạng 1. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b)
Phương pháp: Ta biết rằng số dư của phép chia đa thức f(x) (bậc lớn hơn hay bằng 1) cho (ax + b) bằng f(), do đó để tìm số dư ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Nhập f(x) vào máy tính
Bước 2: Sử dụng hàm số để nhập giá trị của x = , từ đó máy trả về số dư.
Chú ý: Cũng có thể tính trực tiếp f()
Bài 13: Tìm dư trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5)
Dạng 2: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lược đồ Hoocner để tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Bài 14: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5)
Dạng 3: Tìm thương và dư trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b)
Cách giải:
- Để tìm dư: ta giải như bài toán 1
- Để tìm hệ số của đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương trong phép chia đa thức P(x) cho (x +) sau đó nhân vào thương đó với ta được đa thức thương cần tìm.
Bài 15: Tìm thương và dư trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1)
Dạng 4: Xác định tham số m để đa thức P(x) +m chia hết cho nhị thức ax + b
Bài 16: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2
Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa thức trên có nghiệm chung 
Bài 18: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm.
Bài 19. Cho đa thức Q(x) = 9x3 – x2 – 75x + a. Tìm a để Q(x) chia hết cho (x – 98)
Bài 20. Tìm dư trong phép chia sau: A = x4 – 9x3 +21x2 +x +17 cho x – 4.
Bài 21. Tìm điều kiện của m và n để đa thức Q(x) và P(x) có nghiệm chung là: a = 2,5
Biết Q(x) = 2x4 + 3x2 – 2x +5 + m và P(x) = 3x3 + 2x2 – 3x + 11 + n
Bài 22. Cho đa thức f(x) = x5 – 6,723x3 + 1,857x2 – 6,3458x + m
Cho m = 4,319 tìm dư khi chia f(x) cho đa thức x + 2,318
Để f(x) có nghiệm là x = 1,2 thì m phải nhận giá trị nào?
Bài 23. Cho P(x) = 3x3 +17x – 625 
Tính P() 
Tính a để P(x) + a2 chia hết cho (x + 3)
Phần II: Các bài toán về liên phân số
Bài 24. Tính giá trị của biểu thức sau và viết kết quả dưới dạng phân số và hỗn số:
Bài 25. Tính gía trị của liên phân số sau:
Bài 26. Viết quy trình ấn phím để tính giá trị của các biểu thức sau:
Bài 27. Tìm các số tự nhiên a và b biết rằng:
Bài 28. Tính các số tự nhiên a, b, c, d biết:
Phần III: Các bài toán về số
1. Tính toán trên máy kết hợp trên giấy:
Bài 29: a) Nêu một phương pháp (kết hợp trên máy và trên giấy) tính chính xác kết quả của phép tính sau: A = 12578963 x 14375
b) Tính chính xác A
c) Tính chính xác của số: B = 1234567892
d) Tính chính xác của số: C = 10234563
Bài 30 Tính kết quả đúng của các tích sau:
a) M = 2222255555 x 2222266666
b) N = 20032003 x 20042004
2. Tìm số dư trong phép chia số a cho số b:
Định lí: Với hai số nguyên bất kỳ a và b, b ạ 0, luôn tồn tại duy nhất một cặp số nguyên q và r sao cho:
a = bq + r và 0 Ê r < |b|
* Từ định lí trên cho ta thuật toán lập quy trình ấn phím tìm dư trong phép chia a cho b:
+ Bước 1: Đưa số a vào ô nhớ , số b vào ô nhớ 
+ Bước 2: Thực hiện phép chia cho {ghi nhớ phần nguyên q}
+ Bước 3: Thực hiện q = r
Bài 31: a) Viết một quy trình ấn phím tìm số dư khi chia 18901969 cho 3041975
 b) Tính số dư
 c) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. Tìm số dư đó.
3. Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN):
Bổ đề (cơ sở của thuật toán Euclide)
Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r)
Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide như sau (với hai số nguyên dương a, b):
- Chia a cho b, ta được thương q1 và dư r1: a = bq1 + r1
- Chia b cho r1, ta được thương q2 và dư r2: b = r1q2 + r2
- Chia r1 cho r2, ta được thương q3 và dư r3: r1 = r2q3 + r3 
....
Tiếp tục quá trình trên, ta được một dãy giảm: b, r1, r2, r3... dãy này dần đến 0, và đó là các số tự nhiên nên ta se thực hiện không quá b phép chia. Thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn bước và bổ đề trên cho ta:
(a, b) = (b, r1) = ... rn
Định lí: Nếu x, y là hai số nguyên khác 0, BCNN của chúng luôn luôn tồn tại và bằng:
Bài 31: Tìm UCLN của hai số:
a = 24614205, b = 10719433
Bài 32: Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của: 
a = 75125232 và b = 175429800
4. Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó:
ak º ak + l (mod m) (1)
Với mọi n ³ k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được:
 an º an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:
Bài 33: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Bài 34: Tìm chữ số cuối cùng của số: 
Bài 35: Tìm hai chữ số cuối cùng của số: 
A = 21999 + 22000 + 220015. Số nguyên tố:
Định lí 1 (Định lí cơ bản về số nguyên tố):
Mọi số nguyên dương n, n > 1, đều có thể được viết một cách duy nhất (không tính đến việc sắp xếp các nhân tử) dưới dạng:
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó, dạng phân tích trên được gọi là dạng phân tích chính tắc của số n.
Bài 36: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 2152 + 3142
Bài 37: Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số:
A = 10001 
Bài 38: Số N = 27.35.53 có bao nhiêu ước số ?
Định lí 2 (Xác định số ước số của một số tự nhiên n):
Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử khi phân tích n ra thừa số nguyên tố ta được:
với k, ei là số tự nhiên và pi là các số nguyên tố thoả mãn:
1 < p1 < p2 <...< pk
Khi đó số ước số của n được tính theo công thức:
t (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)
Bài 39: Hãy tìm số các ước dương của số A = 6227020800.
6. Tìm số tự nhiên theo các điều kiện cho trước:
Bài 40. Tìm các chữ số a, b, c, d trong phép toán sau:
 = 7850.
Bài 41: Tìm các chữ số x, y, z để chia hết cho 5, 7 và 9.
Bài 42: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
7. Một số dạng toán khác:
7.1 Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa:
1) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 1 ; 5 ; 6 (có đuôi bất biến).
2) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 25 hoặc 76 (có đuôi bất biến).
3) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 376 hoặc 625 (có đuôi bất biến).
4) Luỹ thừa bậc bất kì của các số có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (và chỉ những số ấy) đều có chữ số tận cùng bằng 9376 hoặc 0625 (có đuôi bất biến).
Bài 43: Tìm số dư khi chia số 133762005! cho 2000 
Bài 44: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51994.
Bài 45: Tìm số dư trong phép chia 517 : 2001
7.2 Khai triển nhị thức Newton và bài toán chia hết:
-Ta có khai triển:
- Khi chứng minh về tính chia hết của các luỹ thừa, cần nhớ một số kết quả sau:
1) an - bn chia hết cho a - b (a ạ b)
2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b (a ạ -b)
3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số của a)
Đặc biệt:
(a + 1)n = BS a + 1
(a - 1)2n = BS a + 1
(a - 1)2n + 1 = BS a - 1
Bài 46: Tìm số dư khi chia 2100 cho:
a) 9 b) 5 c) 125
Bài 47: Tìm ba chữ số tận cùng của 2100.
7.3 Tìm chữ số thứ k (k ẻ N) trong số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Định lí: Điều kiện cần và đủ để một phân số tối giản có thể viết được thành ra số thập phân hữu hạn là mẫu số của nó không chứa những thừa số nguyên tố ngoài 2 và 5.
* Từ định lí trên ta rút ra nhận xét sau:
Nếu phân số tối giản có mẫu b không chứa các thừa số nguyên tố 2, 5 hoặc ngoài thừa số nguyên tố 2, 5 còn chứa cả thừa số nguyên tố khác thì do các số dư trong quá trình chia bao giờ cũng phải nhỏ hơn b nên các số dư chỉ có thể là các số trong:
{1; 2; 3;...;b-1}
Như vậy trong phép chia a cho b, nhiều nhất là sau (b - 1) lần chia có thể gặp các số dư khác nhau, nhưng chắc chắn rằng sau b lần chia thì thế nào ta cũng gặp lại số dư đã gặp trước. Do đó, nếu ta cứ tiếp tục chia thì các số dư sẽ lặp lại và dĩ nhiên các chữ số trong thương cũng lặp lại.
Từ đó để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy của số thập phân vô hạn tuần hoàn, ta chỉ cần xác định được chu kỳ lặp lại của các chữ số trong thương, từ đó dễ dàng suy ra được chữ số cần tìm.
Bài 48: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy của số:
Phần IV. lãi kép - niên khoản
Bài toán tổng quát:
Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả
vốn lẫn lãi A sau n tháng?
Giải:
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r = a(1 + r)2
.................................
Tháng n (n = n): A = a(1 + r)n-1 + a(1 + r)n-1.r = a(1 + r)n
Vậy A = a(1 + r)n
Trong đó : a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.
Bài 49. Một số tiền là 58 000 000 đồng gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7 % tháng. Tính lãi suất sau 8 tháng?
Bài 50. Một người có 58 000 000 đồng muốn gửi vào ngân hàng để được 70 021 000 đồng. Hỏi phải gửi tiết kiệm bao lâu với lãi suất là 0, 7% tháng?
Bài 51. Số tiền 58 000 000đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lĩnh về được 61 329 000đ. Tính lãi suất hàng tháng?
Bài 52. Mỗi tháng gửi tiết kiệm 580 000đ với lãi suất 0,7% tháng, Hỏi sau 10 tháng thì lĩnh cả vốn lẫn lại bao nhiêu tiền?
Bài 53: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng. Với lãi suất gửi là 0,6%?
Bài toán dân số:
Bài 54. Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người.
Tính tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm đó?
(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)
Bài 55. Dân số 1 nước là 76 triệu người, mức tăng dân số là 0,3% mỗi năm. Tính dân số nước ấy sau 26 năm.
Bài 56. Dân số 1 xã X hiện nay có 10500 người. Dân số xã X sau 3 năm có khoảng 11605 người. Hỏi trung bình hàng năm dân số xã X tăng bao nhiêu phần trăm? Và sau 10 năm dân số xã X có khoảng bao nhiêu người?
Phần II: Các bài toán về Dãy số
I. Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
un = f(n), n ẻ N* 
 trong đó f(n) là biểu thức của 
 n cho trước.
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ : 1 
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ 1
- Lặp dấu bằng: ... ...
Giải thích: 
1 : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ 
 1 : tính un = f(n) tại giá trị (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ thêm 1 đơn vị:1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai).
* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu 
Bài 57. Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
 trong đó f(un) là biểu thức của 
 un cho trước.
Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a 
- Nhập biểu thức của un+1 = f(un) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un ta nhập bằng )
- Lặp dấu bằng: 
Giải thích:
- Khi bấm: a màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này 
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím , bấm dấu lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này.
- Tiếp tục bấm dấu ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3, u4...
Bài 58. Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
Bài 59. Cho dãy số được xác định bởi:
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
Cách lập quy trình:
* Cách 1:
 Bấm phím: b A B a C 
 Và lặp lại dãy phím:
 A B C 
 A B C 
 Giải thích: Sau khi thực hiện
 b A B a C 
trong ô nhớ là u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C và đẩy vào trong ô nhớ , trên màn hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u3).
Sau khi thực hiện: A B C máy tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đưa vào ô nhớ . Như vậy khi đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ (trong ô nhớ vẫn là u4).
Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b A B a C 
 A B C 
 A B C 
Lặp dấu bằng: ... ...
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím: a 
 b 
 A B C
Lặp dấu bằng: ... ...
Bài 60. Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
 Trong đó là kí hiệu của biểu thức un+1 tính theo un và n.
* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: : chứa giá trị của n
 : chứa giá trị của un
 : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán : = + 1 và := để tính số hạng tiếp theo của dãy
- Lặp phím : 
Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:
Hãy lập quy trình tính un.
II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số:
1). Lập công thức số hạng tổng quát:
Phương pháp giải:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp
Bài 61. Tìm a2004 biết: 
Bài 62. Xét dãy số: 
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương.
3) Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
Bài 63. Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): 
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Phần V: giải tam giác
1. Giải tam giác:
Bài 64: Tính các góc của tam giác ABC, biết:
AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Bài 65: Tính cạnh BC, góc B , góc C của tam giác ABC, biết: 
AB = 11,52 ; AC = 19,67 và góc 54o35’12’’
Bài 66: Tính cạnh AB, AC, góc C của tam giác ABC, biết: 
BC = 4,38 ; 54o35’12’’ ; 101o15’7’’
Bài 67: Tam giác ABC có ba cạnh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho: BM = 2,142
1) Tính độ dài AM?
2) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM
3) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACM.
Bài 68: Tam giác ABC có: 49o27’ ; 73o52’ và cạnh BC = 18,53.
Tính diện tích S của tam giác ?
Bài 69: Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; 57o18’ và 82o35’
Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA ?
Bài 70: Tam giác ABC có 90o < < 180o và sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ?
 2) Góc ?
 3) Diện tích tam giác S = ?
Bài 71: Tam giác ABC có 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).
Tính độ dài đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE ?