Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Vòng 2 - Năm học 2012-2013

PHÒNG GD – ĐT TX.AN NHƠN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI (Vòng 2) 
TRƯỜNG THCS P. BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2012 – 2013
 MÔN: TOÁN LỚP 8
 (Thời gian làm bài 90 phút không kể phát đề) 
ĐỀ:
 Bài 1: (2.0 điểm) Cho đa thức P(x) = 2x4 7x3 2x2 + 13 x + 6
 a) Phân tích P(x) thành nhân tử.	
 b) Chứng minh rằng P(x) 6 với mọi x 
 Bài 2: (2.0 điểm) Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của nó và số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
 Bài 3: (2.0 điểm) Một số tự nhiên khi chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
 Bài 4: (1.5điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x – xy – y = 3 
 Bài 5: (2.5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng 
––––– Hết –––––
PHÒNG GD – ĐT TX.AN NHƠN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI (Vòng 2) 
TRƯỜNG THCS P. BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2012 – 2013
 MÔN: TOÁN LỚP 8
 (Thời gian làm bài 90 phút không kể phát đề) 
ĐỀ:
 Bài 1: (2.0 điểm) Cho đa thức P(x) = 2x4 7x3 2x2 + 13 x + 6
 a) Phân tích P(x) thành nhân tử.	
 b) Chứng minh rằng P(x) 6 với mọi x 
 Bài 2: (2.0 điểm) Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của nó và số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
 Bài 3: (2.0 điểm) Một số tự nhiên khi chia cho 7 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu?
 Bài 4: (1.5điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x – xy – y = 3 
 Bài 5: (2.5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng 
––––– Hết –––––
Hướng dẫn chấm chọn HSG (vòng 2)
Môn Toán lớp 8
Bài 1: (2.0 điểm) 
 a) P(x) = 2x4 7x3 2x2 + 13 x + 6 
	 = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1) (1.0 đ)
 b) P(x) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x 2 +3) (0.5đ)
 = 3(x 3)(x 2)(x + 1) + 2(x 3)(x 2)(x + 1)(x 1) (0.25đ)
 Dễ thấy P(x) 6 với mọi x . (0.25đ)
 Bài 2: (2.0 điểm) 
 = 11(a + b) 11. Suy ra a + b 11 a + b = 11. (1.0 đ)
 Vậy các số cần tìm là 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92. (1.0 đ)
 Bài 3: (2.0đ)
 Gọi số tìm là a Î. Ta có a = 7m + 5 và a = 13n + 4 (m, n Î) (0.25đ) 
Þ a + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2) 7
 a + 9 = 13n + 13 = 13(n + 1) 13 (0.5đ) 
a + 9 7 và a + 9 13 mà (7; 13) = 1 nên a + 9 7.13 hay a + 9 91 (0.5đ) 
Vậy a = 91k – 9 = 91k + 82 – 91 Û a = 91(k – 1) + 82 (0.5đ)
 Do đó a chia cho 91 dư 82 (0.25đ) 
 Bài 4: (1.5đ)
 Û x(1 – y) + ( 1 – y) = 4 Û (x + 1)(1 – y) = 4 (0.5đ) 
Vì x; y Î nên x ≥ 1 và y ≥ 1 (0.25đ)
Do đó x + 1 ≥ 2 và 1 – y ≤ 0 (0.25đ) 
Þ (x + 1) (1 – y) ≤ 0 (0.25đ) 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên dương (0,25đ)
 Bài 5: (2.5 điểm) 	Tam giác ABC cân tại A có 
 	Suy ra (0.25đ)
	Vẽ tam giác đều BCM (hình vẽ)
 Chứng minh được rMAB = rMAC (c.c.c) (0.5đ)
	Suy ra (0.25đ)
	 (0.25đ)
	Sau đó chứng minh được rCAD = rACM (c.g.c) (0.5đ)
	Suy ra (0.5đ)
	Do đó (0.25đ)
––––– Hết –––––
Ghi chú: Điểm toàn bài là điểm tổng của các bài
 3. Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Giải : 
Ta có : (n – 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3(n3 + 2n) = 3(n3 – n + 3n) = 3(n – 1)n(n + 1) + 9n 9
---------------