Dãy số trong giải toán bằng máy tính Casio Đại số Lớp 8 - Năm học 2011-2012

DÃY SỐ TRONG GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO 2011-2012
1. Dạng 1 - Dãy Phi - bô - na - xi
(Fibonacci - là dãy số có dạng u1=1; u2 = 1; un+1= un + un-1(n = 1, 2, 3)
Ta có công thức tổng quát:
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-500 MS. 
 Bấm 1 
 Và lặp lại dãy phím:
 Bằng phím 
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 = 1 với u1 = 1 được u3 = 2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21... 
- Quy trình tính trên máy tính Casio fx-570 MS
+ Quy trình 1: Bấm 1 
 Và lặp lại dãy phím:
 Bằng phím 
Giải thích:
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2=1 với u1=1 được u3= 2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6= 8; u7 =13; u8 = 21... 
Quy trình 2: Bấm 1 
 Lặp lại phím 
Giải thích:
Khi bấm 1 đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào .
Khi bấm lấy lại quy trình và tính tiếp nhờ phím .
Quy trình 3: Tính só Phi - bô - na - xi un trên máy Casio fx - 570 MS nhờ công thức nghiệm:
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các un tương ứng.
Lời bình: Máy tính Casio fx - 570 MS tiện hơn máy tính Casio fx - 500 MS vì chỉ cần khai báo công thức một lần, sau đó, mỗi lần bấm phím chỉ cần thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 49 ta được các u tương ứng.
2. Dạng 2. Dãy Lu - ca (Lucas - là dãy số tổng quát của dãy Phi - bô - na - xi với u1 = a; u2 = b; un+1= un + un-1 với mọi n ³ 2 a và b là hai số nào đó.
Quy trình 1: 
Bấm b .
 và lặp lại dẫy phím
 . 
 Bằng phím .
Giải thích 
Bấm b nghĩa là đưa u2 = b vào .
Bấm nghĩa là cộng u2 =b với u1 =a được u3=a + b và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= a + b với u2 = b được u4 = u3 + u2 = a + 2b và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = a + 2b với u3 = a + b trong được u5 = u4 + u3 = 2a + 3b và ghi vào . Tiếp tục sử dụng quy trình trên, ta sử dụng hai ô và để lần lượt tính các giá trị un bằng cách bấm liên tiếp phím ta sẽ được u6; u7; u8 ... 
Quy trình 2: : Bấm b 
 Lặp lại phím 
Giải thích:
Khi bấm b đưa u2 = 1 vào 
Khi bấm nghĩa là cộng u2 =1 với u1=1 được u3=2 và ghi vào .
Khi bấm cộng u3= 2 với u2 = 1 được u4 = u3 + u2 = 3 và ghi vào .
Khi bấm nghĩa là cộng u4 = 3 với u3 = 2 trong được u5 = u4 + u3 = 5 và ghi vào .
Khi bấm lấy lại quy trình và tính tiếp un nhờ phím . 
Ví dụ 1:
Cho dãy số u1 = 8; u2 =13; un+1= un + un-1 ( n = 2, 3, 4).
1) Hãy lập một quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị của un+1 với mọi n ³ 2.
2) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u13; u17.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS.
Ta thấy rằng đây chính là dãy Lu - ca có a = 8; b = 13
Sử dụng quy trình trên để tính un+1 với mọi n ³ 2 như sau:
 13 (gán u2 = 13 vào )
 (gán u3 = 21 vào )
 (gán u4 = 34 vào )
 (gán u5 = 55 vào )
 Lặp lại phím 
Để tính tiếp u13 ta ấn tiếp liên tiếp phím 8 lần được số 2584 nghĩa là u13 = 2584.
Sau khi tính được u13 để tính tiếp u17 ta ấn tiếp 4 phím được số 17711 nghĩa là 
u17 =17711.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
 13 (gán u2 = 13 vào )
 (gán u3 = 21 vào )
 (gán u4 = 34 vào )
 (gán u5 = 55 vào )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ta được các un tương ứng.
Ví dụ 2: Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1 (n = 2, 3, 4..)
a) Lập một quy trình bấm phím để tính un+1.
b) Tính u12; u20; u25, u30.
c) Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số: .
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS.
 233 (gán u2 = 233 vào )
 (gán u3 = 377 vào )
 (gán u4 = 610 vào )
 (gán u5 = 987 vào )
Lặp lại dãy phím trên bằng cách ấn liên tiếp phím ta được các un tương ứng.
Để tính u12 ta ấn liên tiếp 7 lần cặp phím được u12=28657
Để tính tiếp u20 ta ấn liên tiếp 8 lần cặp phím nữa được u20= 1346269
Để tính tiếp u25 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím nữa được u25= 14930352
Để tính tiếp u30 ta ấn liên tiếp 5 lần cặp phím nữa được u30= 165580141.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 570 MS:
 233 (gán u2 = 233 vào )
 (gán u3 = 377 vào )
 (gán u4 = 610 vào )
 (gán u5 = 987 vào )
 Lặp lại phím 
Lặp lại phím ta tính tiếp được u6= 1597; u7 = ; 2584....
Đến đây dễ dàng tính được các tỉ số theo yêu cầu của đề bài:
3.Dãy Lu - ca suy rộng dạng u1=a; u2 = b; un = aun + bun-1.
- Quy trình bấm phím trên máy tính Casio fx - 570 MS:
+ Quy trình 1:
Lặp lại dãy phím 
Giải thích: Bấm đưa b = u2 vào ô nhớ , tính u3 = au2 + bu1 và gán u3 vào ô nhớ .
Dãy phím tính u4 = au3 + bu2 và gán u3 vào ô nhớ , còn trong ô nhớ là u3. thực hiện ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ . 
Tiếp tục vòng lặp lại được các số hạng của un+1=aun + bun-1
+ Quy trình 2: 
 Lặp lại phím 
Giải thích: Tương tự như quy trình 1 nhưng ở quy trình 2 ta sử dụng các phím để lặp lại quy trình.
Ví dụ 1: Cho dãy u1 = 2, u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n = 2, 3, .)
a) Tính u3 , u4 , u5 , u6 , u7.
b) Viết quy trình bấm phím để tính un.
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500MS:
 (gán u3 = 42 vào )
 (gán u4 = 104 vào ) 
 (gán u5 = 250 vào )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ta tính được u6 = 604, u7 = 1458 ...
 Hướng dẫn giải trên mãy tính Casio fx - 570 MS:
 (gán u3 = 42 vào )
 (gán u4 = 104 vào ) 
 (gán u5 = 250 vào )
 Lặp lại phím 
Như vậy sử dụng máy tính Casio fx - 570 MS để lặp lại một quy trình chỉ cần ấn liên tiếp phím , còn đối với máy tính Casio fx - 500 MS để lặp lại một quy trình thì phải ấn liên tiếp cặp phím . 
Ví dụ 2: Cho dãy số 
a) Tìm 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b) Lập một công thức truy hồi để tính un+2 theo un + 1 và un.
c) Lập một quy trình để tính un?
Hướng dẫn giải trên máy tính Casio fx - 500 MS:
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
 (u1= 1)
Sử dụng phím để sửa công thức trên di chuyển con chỏ tới vị trí số mũ là 1 sửa thành số mũ là 2 rồi bấm , tiếp tục sửa số mũ là 2 thành 3 ... ta sẽ tìm được 8 số hạng đầu của dãy. 
 b) Đặt ta có a+ b = 4 và ab = 1
=4un-1 - un-2
Vậy un = 4un- 1 - un-2 hay un+2 =4un+1 - un
c) Lập quy trình tính un.
Có u1 = 1, u2 = 4
 (gán u2 = 4 vào )
 4 (tính và gán u3 = 15 vào )
 (gán u4 = 56 vào ) 
 (gán u5 = 209 vào )
Lặp lại quy trình trên bằng phím ta tính được u6 = 780, u7 = 2911 ...
Hướng dẫn giải trên máytính Casio fx - 570 MS
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy theo công thức tổng quát
Bấm máy hiện X ?
Thay X bằng các số tự nhiên từ 1 đến 8 ta được các un tương ứng.
u1= 1, u2= 4, u3= 15, u4= 56, u5= 209, u6= 780, u7= 2911, u8= 10864.
c) Lập quy trình tính un.
 (gán u2 = 4 vào )
 4 (tính và gán u3 = 15 vào )
 (gán u4 = 56 vào ) 
 (gán u5 = 209 vào )
 Lặp lại phím 
Tìm được các un tương ứng
4. Dãy Phi - bô - na - xi bậc ba
Dạng u1 = u2 = 1, u3 = 2, un+1 = un + un-1 + un-2 (n=3, 4, 5,..)
- Quy trình trên máy tính Casio fx 570 - MS:
Lặp lại dãy phím 
Bằng cách bấm tiếp: và bấm liên tiếp phím 
Giải thích: 
Bấm: nghĩa là gán u1 = 1 vào , gán u3 = 2 vào. 
Bấm: tính u4 và gán vào 
 tính u5 và gán vào 
 tính u6 và gán vào 
 tính u7 và gán vào 
Ta được dãy 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, ...
5. Dãy phi tuyến dạng: u1 =a, u2 = b, un+1 =
- Quy trình trên máy tính Casio fx - 570 MS:
 Bấm: 
 Lặp lại dãy: 
Bằng cách phím và bấm liên tiếp phím 
- Giải thích:
Bấm gán u2= b vào 
 tính u3 = b2 + a2 và gán vào 
Lặp lại dãy: tính u4 = và gán vào 
 tính và gán vào 
6. Một số dãy số khác
Bài 1: Cho dãy số 
a) Lập quy trình bấm phím tính an+1
b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS
a) Bấm 3
Lặp lại phím ta được : 
0,195615199; 0,447318398; 0,672491028; 0,757778244; 0,761046838; 0,760889819; 0,76089781; 0,760897404; 0,760897425; 0,760897424; 0,760897424; 0,760897424,0,760897424....
Giải thích: 
 Bấm 3 gán a1 = 3 vào ô nhớ 
 Bấm tính a2
 Bấm gán u2 vào ô nhớ 
(Mỗi lần bấm phím thì giá trị trên màn hình được gán vào ô nhớ )
Bài 2:Cho dãy số
a) Hãy tính xn với n = 1, 2,..., 15 với x0 = 1; x0 = 3
b) Chứng minh rằng dãy số trên là tuần hoàn với mọi x0 cho trước bất kỳ, tức là tồn tại mọt số N nguyên dương sao cho với mọi x0 dãy {xn} xác định như trên ta có:
xn+N =xn với mọi n= 1, 2, 3, ... 
Hướng dẫn giải trên máy Casio fx - 500 MS, Casio fx - 570 MS:
a) Khai báo giá trị đầu: x0 = 1 
Bấm: 1
Khai báo công thức 	
Bấm tiếp: (1)
Liên tiếp bấm phím được xn.
Khai báo lại giá trị đầu x'0 = 3 Bấm 3 
Dùng phím để đưa về dòng công thức (1) và liên tiếp bấm phím được x'n
x1= 0,267949192 	 x'1= 0,886751345
x2= - 0,267949192 x'2= 0,204634926
x3= - 1 x'3= - 0,333333333
x4= - 3,732050808 x'4= - 1,127711849
x5= 3,732050808 x'5= - 4,886751346
x6= 1 x'6= 3
x7= 0,267949192 x'7= 0,886751345
x1= - 0,267949192 x'8= 0,204634926
 . . . . . . . . . . . 
Tính theo công thức truy hồi ta được:
Vậy {xn} tuần hoàn chu kỳ là N = 6
 III - Một số bài tập đề nghị bạn đọc tự viết quy trình để giải
Bài 1: Biết dãy só {an} xác định như sau: a1 = 1; a2 = 2; an+2 =3an+1 +2an với mọi n nguyên dương.
Tính a15.
Bài 2: Cho dãy số u1 = 1, u2 = 2, un+1 = 2003un + 2004un-1 ( n = 2, 3, 4, ...)
a) Tính u4, u5, u6.
b) Lập quy trình tính un+1 . 
 Cho dãy số un=(3 + )n +(3 - )n (n = 0, 1, 2,)
Lập công thức tính un+2 theo un và un+1
Lập quy trình tính un, n=5,,10
Kết quả : u2 = 32; u3 = 180; u4 = 1016; u5 = 5736; u6 = 32384; u7 = 182832; 
u8 = 1032224; u9 = 5827680; u10 = 32901632; 
Bài tập 3: Cho dãy số
a) Tính các giá trị u1, u2; u3, u4.
b) Xác định công thức truy hồi tính un+2 theo un+ 1 và un.
c) Lập quy trình tiên tục tính un+2 theo un+ 1 và un rồi tính u5, u6,... u16.
Bài 4: Cho dãy số {un} xác định bởi:
u1 = 1; u2 = 3; un =3un-1 khi n chẵn và un =4un-1 + 2un-2 khi n lẻ.
a) Lập quy trình bấm phím liên tục tính un
b) Tính u10, u11, u12, u14, u15.
Hướng dẫn: Tính trên máy Casio fx - 500 MS:
Lặp lại dãy phím nhờ
Tính trên máy Casio fx - 570 MS:
Kết quả: u10 = 115548; u11 = 537824; u12 = 1613472; u13 = 7529536; u14 = 22588608 ; u15 = 105413504.
Bài 5: Một học sinh đã viết liên tiếp các tổng sau: 
S1 = 1 + 2; S2 = (1 + 2) + 4 + 5; S3 = (1 + 2 + 3) + 7 + 8 + 9: ...
Tính S50; S60; S80; S100. 
Bài 6: Cho U1 = 4, U2 = 7, Un+1 = 3Un – 2Un-1 (n > 3)
Viết quy trình bấm phím tính Un. (n > 3)
Tính U6; U12?
Bài 7: Cho dãy số , với n 1.
 a) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = 1 và tính x100.
 b) Lập một quy trình bấm phím tính xn+1 với x1 = - 2 và tính x100.
Bài 8: Cho dãy số {Un} như sau. Un = với n = 1, 2, 3, 4,
Tính U1; U2, U3; U4, U5; U6.
Viết công thức truy hồi để tính Un+2 theo Un+1 và Un.
Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 9: Cho dãy số {Un} như sau. U0 = U1 = 2; Un+2 = Un+1.Un + 1 với n = 0, 1, 2, 3, 4,
a) Viết một quy trình ấn phím liên tục để tính Un với n 2.(nêu rõ loại máy)
 Tính U2, U3; U4, U5; U6. U7; U8.
Bài 10: Cho dãy số {Un} như sau. Un = với n = 1, 2, 3, 4,
Chứng minh rằng Un+2 + Un = 10Un+1 với 
Hãy lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2 với n 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 11: Cho dãy số {Un} như sau. Un = , với n = 0,1,2,3,.
Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?
Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.
Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 12: Cho dãy số {Un} như sau. Un = , với n = 0,1,2,3,.
a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính Un+2 theo Un và Un+1.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 13: Cho dãy số {Un} như sau. Un = , với n = 0,1,2,3,.
a) Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy?
b) Lập công thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un-1.
c) Lập một quy trình ấn phím liên tục để tính Un+1 với n 1.(nêu rõ loại máy)
Bài 14: Cho dãy số: với n 1. 
Lập Quy trình tính xn, biết x1 = 0,25
Tính x100.
Bài 15: Cho dãy số: với n = 1, 2, 3,...
	a) Lập một quy trình bấm phím liên tục để tính với n = 1, 2, 3,....
	b) Tính các giá trị 
Bài 16: Cho dãy số được xác định bởi: 
Hãy lập quy trình tính un.\
Bài 17: Xét dãy số: 
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương.
Giải: - Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 2 1 1 
 2 1 
 2 1 
 ... ... - Ta được dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...
- Tìm quy luật cho dãy số:
 Þ dự đoán công thức số hạng tổng quát:
(1)
đúng với mọi n Î N*
 * Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1) 
... 
Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.
Þ A là một số chính phương.
Cách giải khác: Từ kết quả tìm được một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2
- Với n = 2 thì A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2
- Với n = 3 thì A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*).
Bài 18: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2,...): 
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên.
b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 19: Cho dãy số (an) được xác định bởi:
a) Xác định công thức số hạng tổng quát an.
b) Chứng minh rằng số: biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n ³ 1.
Bài 20: Cho dãy số (un) xác định bởi:
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố.
Bài 21: Cho dãy số (an) xác định bởi:
Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô số số dương, số âm.
b) a2002 chia hết cho 11.
Bài 22: Cho dãy số (an) xác định bởi:
Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên.
Bài 23: Dãy số (an) được xác định theo công thức:
; (kí hiệu là phần nguyên của số).
Chứng minh rằng dóy (an) là dãy các số nguyên lẻ.