Chuyên đề Vận dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac để giải một số bài toán nâng cao trong chương trình Đại số 8 - Năm học 2008-2009 - Lê Văn Thái

CHUYÊN ĐỀ:
 VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC 
 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
 ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO TRONG CHƯƠNG TRÌNH 
 ĐẠI SỐ 8 . 
 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
 Trong quá trình dạy học, việc áp dụng hằng đẳng thức : 
 (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC 
có thể giải được một số bài toán lớp 8 khá dễ dàng, còn nếu sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ trong SGK lớp 8 thì việc giải các bài toán nâng cao quá khó khăn. Từ đó tôi viết chuyên đề này nhằm giúp HS diện khá- giỏi có điều kiện tiếp cận, học hỏi , nguyên cứu để giải được những bài toán khó mà tôi đã sưu tầm. Trong quá trình viết không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong quý GV đồng nghiệp và HS bổ sung thêm để chuyên đề được khả thi hơn . 
 Trước hết ta chứng minh hằng đẳng thức này :
 (A + B + C)2 = (A + B) + C 2 
 = (A + B)2+ 2(A + B)C + C2 
 = A2 + 2AB + B2 + 2BC + 2AC + C2
 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC TRÊN ĐỂ GIẢI:
BÀI 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 . Tính giá trị của biểu thức
 B = a4 + b4 + c4 .
Giải: Từ a2 + b2 + c2 = 14 => (a2 + b2 + c2)2 = 196 
a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 = 196
B = a4 + b4 + c4 = 196 – 2 ( a2b2 + b2 c2 + a2c2 )
 Từ a + b + c = 0 => ( a + b + c )2 = 0
 => a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ac) = 0
ab + bc + ac = 
(ab + bc + ac)2 = 49
a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 = 49
a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 – 2abc(a + b+ c) = 49
 0
 Vậy B = 196 – 2. 49 = 196 – 98 = 98 
BÀI 2: Cho ba số x, y , z thoả mãn x+ y+ z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2 . Tính giá trị của biêûu thức x4 + y4 + z4 .
Giải: 
Từ x + y + z = 0 => x = – ( y + z ) => x2 = ( y+ z )2 
x2 = y2 + z2 + 2yz 
 => x2 – y2 – z2 = 2yz => (x2 – y2 – z2 )2 = 4y2z2 
x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2 z2 = 4y2z2 
x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 
2(x4 + y4 + z4 ) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 
 = ( x2 + y2 + z2 )2
 = a4
 => x4 + y4 + z4 = 
BÀI 3: Cho a + b + c = 1 và . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1
Giải: 
Từ a + b + c = 1 => (a + b + c)2 = 1 => a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
a2 + b2 + c2 + 2( ab+ bc+ ac) = 1 (*)
Từ 
bc + ac + ab = 0 (**)
Từ (*) và (**) suy ra a2 + b2 + c2 = 1 (Điều phải chứng minh)
Bài 4: Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 )2
Giải: Từ a + b + c = 0 => a = – (b + c) => a2 = (b + c)2
 => a2 – b2 – c2 = 2bc => ( a2 – b2 – c2 )2 = 4b2c2
 => a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2 c2 – 2a2c2 = 4b2c2
 => a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 
 => 2(a4 + b4 + c4 ) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 
 => 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 
 => a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 ( Điều phải chứng minh)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu = 2 và a + b + c = abc thì ta có 
 = 2 .
Giải: Từ = 2 => ()2 = 4 
=> + = 4
=> + 2() = 4
 Vì a + b + c = abc => = 1
=> = 4 – 2 = 2 ( Điều phải chứng minh)
Bài 6: Cho a, b, c là các số hữu tỉ, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng 
 N = là bình phương của một số hữu tỉ .
Giải: 
Xét = 
 = + 
 = N + = N + 0 = N
=> N = 
 Vậy N là bình phương của một số hữu tỉ .
Bài 7: : Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 , . Tính giá trị của biểu thức: P = xy + yz + zx .
Giải: 
Đặt = k => x = ak ; y = bk ; z = ck 
Nên P = xy + yz + zx = k2ab + k2bc + k2ac = k2( ab + bc + ac )
Từ a + b + c = 1 => ( a + b + c )2 = 1
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
1 + 2( ab + bc + ac ) = 1
ab + bc + ac = 0
 Vậy P = k2.0 = 0 
Bài 8: Cho = 1 và = 0 . Tính giá trị của biểu thức:
 A = .
Giải:
Từ = 1 => ()2 = 1
=> + 2( ) = 1
=> A = 1 – 2() = 1 – 2( )
Từ = 0 => = 0
yza + xzb + xyc = 0
A = 1 – 2( ) = 1
Bài 9: Cho a, b, c thoả mãn ( a + b – 2c )2 + ( b + c – 2a )2 + ( c + a – 2b )2 = 
( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 . Chứng minh rằng a = b = c .
Giải: 
Từ ( a + b – 2c )2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab – 4bc – 4ac 
 ( b + c – 2a )2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc – 4ac – 4ab
 ( c + a – 2b )2 = a2 + c2 + 4b2 + 2ac – 4ab – 4bc
=>( a + b – 2c )2 + ( b + c – 2a )2 + ( c + a – 2b )2 = 
 = 3( a – b )2 + 3( b – c )2 + 3( c – a )2
Do đó từ giả thiết ta có: 
 3( a – b )2 + 3( b – c )2 + 3( c – a )2 = ( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2
=> 2 ( a – b )2 + ( b – c )2 + ( c – a ) 2 = 0
 a – b = 0 
=> b – c = 0 = > a = b = c ( Điều phải chứng minh )
 c – a = 0 
 Quy Nhơn, ngày 25/04/2009 
 Người viết 
 Lê Văn Thái