Chuyên đề ôn tập môn Toán Lớp 8 - Phương pháp giải các dạng toán về bất phương trinh bậc nhất một ẩn số

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRINH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ 
I. Dạng toán về giải và biểu diễn nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trên trục số	
I.1. Dạng toán về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
(a) Phương pháp giải
Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng các phép biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, quy tắc nhân).
Ta có (*)
Nếu thì (*) .
Nếu thì (*) .
Đối với các dạng khác () ta cũng thực hiện tương tự.
Các bài bập sau là minh họa cho việc giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.
(b) Ví dụ minh họa
Bài 1. Giải các bất phương trình sau 
 (a); (b) ; 
 (c); (d) . 
Hướng dẫn Đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc biến đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân) để suy ra nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a) .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
(b) .
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
 (c) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
(d) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
	Ngoài việc học sinh giải được bất phương trình thì việc biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số là một kĩ năng rất quan trọng nên trong phần tiếp theo chúng tôi đưa thêm một số ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số.
I.2. Dạng toán về giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn trên trục số
Bài 2. Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
 (a); (b) ; 
 (c) ; (d) . 
 Hướng dẫn. Ở câu (c) và (d) học sinh sẽ lúng túng hoặc không giải được nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu) về dạng hoặc , rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm. Khi biểu diễn nghiện trên trục số cần lưu ý các trường hợp lớn hơn “>” và lớn hơn hoặc bằng “”, hoặc nhỏ hơn “<” và nhỏ hơn hoặc bằng “”.
Lời giải. (a) .
.
0
)
-4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b) 
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
(
6
(c) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
[
3
(d) 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
.
0
]
(c) Bài tập tự luyện
Bài 3. Giải các bất phương trình và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; 	(b) ;	(c) ; 
(d);	(e); (f); 
(g) ; (h) ;	 (i). 
ĐS: (a). ; (b). ; (c). ; (d). ; (e). ; (f). ;
 (g). ; (h). ; (i). .
II. Dạng toán về bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất một ẩn 
(a) Phương pháp giải
Để học sinh giải tốt các dạng này giáo viên cần cho học sinh nắm vững các qui tắc biến đổi tương đương. Ngoài ra học sinh cần nắm được các quy tắc nhân chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, qui đồng mẫu. 
Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này. 
(b) Ví dụ minh họa
Bài 4. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; (b) . 
Hướng dẫn. Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình.
Lời giải. (a) 
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
)
5
(b) 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
.
0
(
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
Bài 5. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) ; 	
(b) ;
 (c) ; 
(d) . 
Hướng dẫn. Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bất phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn. 
Lời giải. (a) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình ta được 
	Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
.
0
)
-1
(b) Tương tự như câu (a) ta quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình rồi khử mẫu. 
 Ta có 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
.
0
[
(c) Ta cần quy đồng mẫu vế trái của bất phương trình, sau đó quy đồng mẫu hai vế
 suy ra 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
.
0
[
1
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
(d) Ở bài này để tránh mắc sai lầm khi giải giáo viên nên cho học sinh quy đồng mẫu chung từng vế của bất phương trình sau quy đồng mẫu chung vế. 
 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
)
-115
.
0
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
Bài 6. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a) (b) 
 (c) (d) 
Hướng dẫn. Dùng hằng đẳng thức để khai triển.
 Nhân đa thức với đa thức, đặt nhân tử chung.
 Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, nhân.
Lời giải. (a) Dùng hằng đẳng thức khai triển ở vế trái và áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức ở vế phải của bất phương trình ta có
 .
.
0
[
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
(b) Tương tự câu (a) ta có 
 .
.
0
(
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Khai triển hằng đẳng thức và nhân đa thức với đa thức ta có
 	.
Ta nhận thấy là một số không âm nên là một số không dương, do đó bất phương trình luôn có nghiệm với mọi .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
.
0
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
(d) Tương tự câu trên ta có
 .
Không có giá trị nào của làm cho nên bất phương trình trên vô nghiệm.
.
0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Bài tập tự luyện
Bài 7. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
(a) ; 	
(b) ;
(c) ; 	
(d) ; 
(e) ; 	
(f) . 
ĐS: (a) ; (b) ; (c) ;
 (d) ; (e) ; (f) .
III. Dạng toán về bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối
(a) Phương pháp giải
Ở đây chúng tôi chỉ đề cặp đến hai dạng đơn giản và cách giải của từng dạng như sau
Dạng 1. trong đó là đa thức hoặc là một hằng số.
Đối với loại này, ta đưa về một bất đẳng thức kép do đó ta giải hai bất phương trình .
Tập nghiệm của bất phương trình là giao của các tập hợp nghiệm của hai bất phương trình trên.
Dạng 2. trong đó là đa thức hoặc là một hằng số. 
Đối với loại này ta đưa về hai bất phương trình hoặc .
Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai tập hợp nghiệm của mỗi bất phương trình trên.
Ta có một số ví dụ minh họa sau
(b) Ví dụ minh họa
Bài 8. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số
 (a); (b) ;
 (c); (d) . 
Lời giải. a) Áp dụng quy tắc chuyển vế ta có ta nhận thấy đây là dạng nên từ ta có được .
.
0
)
1
(
-1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(b) Bất phương trình đã cho có dạng với và 
do vậy ta có 
Giải hai bất phương trình trên, kết hợp nghiệm, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho.
 (1) .
 (2) .
(
4
.
0
)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số
(c) Bất phương trình đã cho có dạng .
 Ta có	 .
Vậy ta cần giải hai bất phương trình 
Tuy nhiên để gọn hơn ta có thể trình bày như sau (dùng quy tắc chuyển vế)
(
)
.
0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
(d) .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
.
0
)
3
(
-3
Biểu diễn nghiệm trên trục số 
(c) Bài tập tự luyện
Bài 9.Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số
(a) ; 	 (b) ;
(c) ; 	(d); 
(e) ; 	(f).
ĐS: (a); (b) hoặc ; (c) hoặc ; (d) ; (e) hoặc ; (f) .
IV. Dạng toán về bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số 
	Trong những phương pháp giải các dạng bài tập ở phần này, chúng tôi chỉ đề cặp đến bất phương trình dạng . Đối với ba trường hợp bất phương trình dạng có cách giải tương tự. Điều quan trọng cần nhớ là khi chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình. 
Từ những kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất một ẩn số ta có thể chia các bài tập về bất phương trình bậc nhất chứa tham số thành các dạng sau
IV.1. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm
(a) Phương pháp giải
 Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình có nghiệm có thể giải như sau
Bước 1: Xét . Suy ra giá trị tham số. Thay vào bất phương trình đã cho. Nếu nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì nhận tham số đó, ngược lại không nhận giá trị tham số đó.
Bước 2: Bất phương trình có nghiệm khi . 
Bước 3: Kết hợp Bước 1 và Bước 2 ta có kết luận.
Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này.
(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 10. Tìm điều kiện của để các bất phương sau có nghiệm
(a) ; 	(b) .	
Lời giải. (a) Ta nhận thấy có chứa tham số .
Xét hay . Thay vào bất phương trình đã cho ta được
 	. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Vậy với thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
Bất phương trình có nghiệm khi hay .
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi .
(b) Để giải được bài này giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng qui tắc biến dổi tương đương (qui tắc chuyển vế) đưa bất phương trình về dạng hoặc , sau đó phải xác định được hệ số . 
Ta có kết quả biến đổi như sau 
Ta nhận thấy .
Xét hay . Thay vào bất phương trình cuối ta được 
. Bất phương trình này vô nghiệm.
Vậy không nhận .
Bất phương trình có nghiệm khi
 hay 
Vậy bất phương trình có nghiệm khi .
IV.2. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm
(a) Phương pháp giải
Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình vô nghiệm có thể giải theo hai cách như sau
Cách 1: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm. Từ đó suy ra phần bù của tham số là điều kiện để bất phương trình vô nghiệm.
Cách 2: Ta nhận thấy bất phương trình có thể vô nghiệm khi . Do đó xét , tìm giá trị của tham số, thay vào bất phương trình rồi kết luận. Nếu nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì không nhận giá trị tham số đó, nếu ngược lại thì nhận giá trị tham số đó
	Ta có ví dụ minh họa như sau
(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 11. Tìm điều kiện của tham số để các bất phương trình sau vô nghiệm 
(a) ; 	(b) .
Lời giải. (a) Ta nhận thấy có chứa tham số . 
Cách 1: Trước hết tìm điều kiệm của để bất phương trình vô nghiệm.
Xét hay . Thay vào bất phương trình đã cho ta nhận được 
. Bất phương trình này vô nghiệm.
Vậy không nhận .
Bất phương trình có nghiệm khi hay .
Vậy bất phương trình có nghiệm khi . 
Suy ra bất phương trình vô nghiệm khi .
Cách 2: Xét hay . Thay vào bất phương trình đã cho ta nhận được . Bất phương trình này vô nghiệm.
Vậy với thì bất phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét Ta nhận thấy giải theo cách 1 phức tạp hơn, do đó giáo viên nên khuyến khích học sinh làm theo cách 2.
(b) Trước hết phải đưa bất phương trình về dạng . Sử dụng qui tắc biến đổi tương đương ta được
.
Xét hay . Thay vào bất phương trình cuối ta nhận được
. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Vậy không có giá trị nào của để bất phương trình đã cho vô nghiệm.
IV.3. Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình nhận làm một nghiệm
(a) Phương pháp giải
Ta nhận thấy là một nghiệm của bất phương trình khi
 . 
Do đó, để giải dạng bài tập này chúng ta tiến hành như sau
Bước 1: Thay vào bất phương trình, ta nhận được bất phương trình theo tham số.
Bước 2: Giải bất phương trình theo tham số.
Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
(b) Ví dụ minh họa
Bài 12. Tìm điều kiện của để các bất phương trình 
(a) nhận là một nghiệm.
(b) nhận là một nghiệm. 
Lời giải. (a) Thay vào bất phương trình đã cho ta được
 .
Giải bất phương trình này theo ta được
Vậy với thì bất phương trình nhận làm một nghiệm. 
(b) Ta có thể thay vào bất phương trình tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi bất phương trình trên về dạng đơn giản sau đó mới thay vào bất phương trình vừa nhận được.
 Ta có .
Thay vào bất phương trình vừa nhận được, ta được
.
Giải bất phương trình này theo ta được
 	 hay .
Vậy với thì bất phương trình nhận làm một nghiệm. 
IV.4. Dạng toán về giải và biện luận bất phương trình theo tham số
(a) Phương pháp giải 
	Dạng bài tập giải và biện luận bất phương trình theo tham số được thực hiện theo các bước sau
	Bước 1 : Xét . Suy ra giá trị tham số. Thay giá trị tham số vào bất phương trình. Nếu nhận được bất đẳng thức đúng thì kết luận bất phương trình nghiệm đúng với mọi , ngược lại kết luận bất phương trình vô nghiệm.
	Bước 2 : Xét . Bất phương trình trở thành .
Bước 3 : Xét . Bất phương trình trở thành .
Bước 4 : Tổng hợp các bước 1,2, 3 ta có kết luận.
Để minh họa cho dạng này chúng tôi có một số ví dụ sau.
(b) Ví dụ minh hoạ
Bài 13. Giải và biện luận theo tham số của các bất phương trình sau
 	(a) ; 	(b) . 
Lời giải. (a) Ta cần đưa bất phương trình trên về dạng hoặc .
Ta có .
Với hay thì bất phương trình có dạng . Ta thấy không có giá trị nào của nhân với lớn hơn nên bất phương trình vô nghiệm.
Nếu hay thì bất phương trình có nghiệm là .
Nếu hay thì bất phương trình có nghiệm là .
Kết luận : Nếu thì tập nghiêm của bất phương trình là .
Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình là 
Nếu thì bất phương trình vô nghiệm hay .
(b) Giáo viên nên hướng dẫn học sinh biến đổi bất phương trình (áp dụng qui tắc chuyển vế, sau đó phân tích đa thức thành nhân tử) về dạng hoặc .
Ta có 
 .
Nếu hay thì .
Nếu hay thì .
Với hay thì bất phương trình có dạng . Ta thấy không có giá trị nào của nhân với nhỏ hơn nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình là .
Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình là .
Nếu thì bất phương trình vô nghiệm hay .
(c) Bài tập tự luyện
Bài 14. Tìm điều kiện của tham số để các bất phương trình
(a) nhận làm một nghiệm;
(b) nhận làm một nghiệm.
ĐS: (a) , (b) .	 
Bài 15. Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số 
(a) ; 	(b);
(c) ; 	(d). 
Bài 16. Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số .
(a) ; 
(b) , a 0. 
V. Dạng toán về giải bài toán bằng cách lập bất phương trình một ẩn số
(a) Phương pháp giải 
Các bước giải bài toán bằng cách lập bất phương trình.
Bước 1: Lập bất phương trình
Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập bất phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải bất phương trình.
Bước 3: Kết luận: Chọn nghiệm và trả lời. 
(b) Ví dụ minh họa	
Bài 17. Một người đi bộ một quãng đường dài trong khoảng thời gian không nhiều hơn giờ. Lúc đầu người đó đi với vận tốc , về sau đi với vận tốc . Xác định đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc .
Hướng dẫn. Đây là bài toán chuyển động và các đại lượng tham gia trong bài toán là quãng đường, vận tốc (đã biết) và thời gian (chưa biết) vậy ta cần lập bất phương trình biểu thị mối liên quan giữa quãng đường, vận tốc và thời gian (do đó giáo viên cần cho học sinh nhắc lại công thức biểu thị mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian). Giải bất phương trình ta tìm được đáp án bài toán. 
	Nếu ta gọi là đoạn đường người đó đi với vận tốc thì thời gian đi được biểu diễn như thế nào? Từ đó ta có suy ra được thời gian đi với vận tốc không? Thời gian đi hết đoạn đường không quá giờ, như vậy ta có được bất phương trình nào?
Lời giải. Gọi đoạn đường đi với vận tốc là (, tính theo ).
Khi đó thời gian người đó đi quãng đường với vận tốc là , thời gian người đó đi quãng đường với vận tốc là .
Do đó thời gian người đó đi hết quãng đường là .
Vì thời gian đi hết quãng đường không nhiều hơn giờ nên ta có bất phương trình sau .
Giải bất phương trình trên ta được . Giá trị này thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy đoạn đường người đó đi với vận tốc dài ít nhất 10km.
Bài 18. Trong một cuộc thi bắn cung, nếu bắn trúng đích sẽ được điểm còn bắn trượt đích thì bị trừ điểm, người nào bắn được từ điểm trở lên sau một đợt bắn mũi tên sẽ được công nhận là xạ thủ giỏi. Hỏi cần bắn trúng đích bao nhiêu lần trong một đợt bắn thì đạt danh hiệu xạ thủ giỏi. 
Hướng dẫn. Ta thấy rằng tổng số lần mũi tên bắn trượt và trúng là , do đó số lần mũi tên bắn trượt bằng trừ đi số lần mũi tên bắn trúng và số điểm bắn trúng bằng số lần bắn trúng nhân cho , số điểm bắn trượt bằng số lần bắn trượt nhân cho . Vậy nếu ta gọi là số lần mũi tên bắn trúng thì số lần mũi tên bắn trượt, số điểm bắn trúng, số điểm bắn trượt được biểu diễn như thế nào theo , và cần phải có điều kiện gì? Từ dữ kiện bài toán (bắn được từ điểm trở lên sau một đợt bắn mũi tên sẽ được công nhận là xạ thủ giỏi) ta lập được bất phương trình nào?
Lời giải. Gọi số tên bắn trúng đích của xạ thủ là ().
Khi đó số lần bắn trượt đích là (lần).
Số điểm bắn trúng đích là (điểm)
Số điểm bắn trượt đích là (điểm)
Để được công nhận là một xạ thủ giỏi thì người đó bắn được từ điểm trở lên nên ta có được bất phương trình . 
Giải bất phương trình này ta được .
Từ điều kiện ban đầu nên ta chỉ nhận . Do đó để được công nhận là một xạ thủ giỏi, người đó phải bắn trúng đích ít nhất là lần.
(c) Bài tập tự luyện
Bài 19. Một người có số tiền không quá đồng gồm tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá loại đồng và loại đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại đồng.	 
ĐS: Có nhiều nhất tờ giấy bạc loại đồng.
Bài 20. Một người đi xe máy quãng đường dài trong khoảng thời gian không nhiều hơn giờ. Lúc đầu đi với vận tốc về sau đi với vận tốc . Xác định độ dài đoạn đường đã đi với vận tốc . 
ĐS: Đoạn đường đi được dài ít nhất là 
Bài 21. Hai người bạn cùng đi xe máy từ Biên Hòa về thành phố Hồ Chí Minh. Người thứ nhất đi với nữa thời gian đầu với vận tốc và trong nữa thời gian sau đi với vận tốc . Người thứ hai thì trong nữa đoạn đường đầu đi với vận tốc còn trong nửa đoạn đường sau đi với vận tốc, biết. Hỏi ai đến thành phố Hồ Chí Minh trước? 
ĐS: Người thứ nhất đi đến thành phố Hồ Chí Minh trước.
Bài 22. Một vận động viên bơi lội hằng ngày tập bơi trên một dòng sông, bơi theo dòng chảy một đoạn theo quy định rồi lại bơi ngược dòng chảy để về nơi xuất phát. Liệu thời gian bơi tập có thay đổi không nếu vận động viên đó bơi trên một hồ nước (nước không chảy), biết vận tốc bơi ( không kể vận tốc của dòng chảy) của vận động viên là không đổi. 
ĐS: Thời gian bơi trên sông lớn hơn thời gian bơi trên hồ.