Chuyên đề Những bài toán cực trị trong chương trình THCS - Trần Hùng Hậu

a - đặt vấn đề
I – Lý do chọn đề tài 
 1 – Cơ sở lý luận 
 Trong chương trình toán THCS thì khái niệm cực trị không được xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình thành từng bước cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhưng các bái toán cực trị lại là một vấn đề thường gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng năm . Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và việc giải quyết các bài toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại .
 Vận dụng phương pháp giải một số dạng bài toán cực trị vào giải toán ngoài việc học sinh được rèn luyện các kỹ năng táon học học sinh còn được nâng cao về mặt tư duy toán học như các thao tác tư duy : phân tích , tổng hợp , so sánh , khái quát hoá , đắc biệt hoá Các thao tác này được thường xuyên rèn luyện.
 Thông qua việc giải các bài toán cực trị ta có thể ôn lại cho học sinh các kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử , biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, biểu thức chứa căn thức bấc hai, cách áp dụng một số bất đẳng thức như BĐT Cauchy , BĐT Bunhiacôxki  , cách lập bảng xét dấu các tam thức bậc hai
 2 – Cơ sở thực tiễn
 Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở , xuất phát từ những kinh nghiệm có được của bản thân qua thực tế giảng dạy , tôi nhận thấy khả năng vận dụng phương pháp giải các dạng bài toán cực trị vào việc giải các bài toán cực trị cụ thể của học sinh gặp rất nhiều khó khăn.
 Việc vận dụng các kỹ năng biến đổi đại số cũng như hình học còn lúng túng hay mắc sai lầm.
 Khả năng vận dụng bài toán này cho các bài toán khác , kỹ năng chuyển đổi bài toán , khai thác bài toán theo hướng đắc biệt hoá , khái quát hoá chưa cao.
 Học sinh chưa có thói quen tổng hợp và ghi nhớ những tri thức phương pháp qua từng bài toán , dạng toán.
 3 – Kết luận 
 Nhận thức rõ được vị trí và tầm quan trọng của chuyên đề “ Những bài toán cực trị bậc THCS “ , từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình đại học toán và sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo , đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các Thầy , Cô giáo , tôi mạnh dạn chọn đề tài : “ Những bài toán cực trị trong chương trình Trung học cơ sở “ làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.
 II – Mục đích nghiên cứu:
 Qua đề tài , tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vần đề này , tự phân loại được một số dạng toán về cực trị , nêu lên một số phương pháp giải cho từng dạng bài tập . Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các kiến thức về dạng toán này . Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo , khả năng phân tích , tổng hợp , khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
 III - Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
 1 - Đối tượng nghiên cứu :
 Đối tượng nghiên cứu và thực hiện đề tài này là họpc sinh lớp 8 , 9.
 2 – Phạm vi nghiên cứu:
 Trong phạm vi nghiên cứu đề tài này tôi nêu ra một số dạng bài tập về cực trị mà học sinh thường gặp . Mỗi bài đều có định hướng chung về cách giải , mỗi ví dụ đều có hướng dẫn giải sau đó có bài tập áp dụng tương tự.
 Do trong điều kiện thực tế khi học về chuyên đề này học sinh đã được học về một số chuyên đề có liên quan như : Phân tích đa thức thành nhân tử , bất đẳng thức . biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đốinên trong đề tài này tôi không nhắc lại về kiến thức cơ bản để giải các dạng toán đó mà học sinh được vận dụng các kiến thức đó vào giải toán.
 IV – Phương pháp nghiên cứu
 Các phương pháp nghiên cứu chủ yếu là :
 - Phương pháp thực nghiệm .
 - Phương pháp phân tích – tổng hợp.
 - Phương pháp đặc biệt hoá - khái quát hoá
B – Nội dung và phương pháp
phần I
khái quát chung
 A – Mục đích yêu cầu :
 1 / Đối với giáo viên :
Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị .
Tuyển chọn phân loại được các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phương pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị .
Dự đoán được các sai sót của học sinh , nêu được những điểm cần chú ý khi giải các bài toán về cực trị .
2 / Đối với học sinh :
Hiểu được bản chất của khái niệm cực trị và nắm được các bước giải của bài toán cực trị .
Nhận dạng được từng loại bài toán cực trị , vận dụng sáng tạo các phương pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể , từ dễ đến khó.
Bước đầu ứng dụng được các bài toán cực trị vào đời sống.
B – Lý thuyết chung :
Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xưa trong lịch sử toán học . Nó bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn của con người , ngày nay các bài toán cực trị được nghiện cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật . Chúng góp phần hình thành lên các ngành củat toán học hư quy hoạch tuyến tính , lý thuyết điều khiển tối ưu.
Trong bài viết này tôi chỉ đề cập đến ngững bài toán cực trị giải không dùng phương pháp đạo hàm.
 Xét hàm số n biến : F (x,y,z...) liên tục trên miền đóng D ẻ Rn 
 Nếu F (x,y,z...) Ê A với mọi (x,y,z... ) ẻ D = const
 Đồng thời $ ( x0 , y0 , z0 ...) sao cho F( x0 , y0 , z0 ...) = A thì A gọi là già trị lớn nhất của F (x,y,z...) trên D . Ký hiệu max F(x0 , y0 , z0...) =A
 Tương tự nếu F(x0 , y0 , z0...) ³ a (a= const) "(x,y,z ...) ẻ D và 
$ (x0 , y0 , z0...) ẻ D sao cho F(x0 , y0 , z0...) = a thì a là giá trị nhỏ nhất của 
F (x,y,z...) trên D . Ký hiệu min F (x,y,z...) = a
 Trong chương trình Trung học cơ sở , thông thường n= 1; 2;3. Như vậy để giải một bài toán cực trị , thông thường ta tiến hành theo 2 bước :
 Bước 1 : Chỉ rõ F (x,y,z...) ³ a (hoặc Ê A ) 
 ( với a ; A là hằng số ) "(x,y,z ...) ẻ D
 Bước 2 : Chỉ ra được (x0 , y0 , z0 ...) ẻ D sao cho F(x0 , y0 , z0...) = a (hoặc =A )
Phần II
một số bài toán cực trị trong đại số
 I – Cực trị của hàm đa thức một biến :
– Phương pháp :
Đưa về dạng f (x) = k ± g2 (x) (k = const) 
Nếu f (x) = k + g2 (x) thì min f (x) = k Û g (x) = 0 
Nếu f (x) = k – g2 (x) thì max f (x) = k Û g (x) = 0 
Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = ( x + 2)2 + ( x - 1)2
Giải :
 Ta có : ( x + 2)2 ³ 0 dấu “ =” xảy ra Û x = - 2
 ( x - 1)2 ³ 0 dấu “ =” xảy ra Û x = 1
 Nên A > 0
Nhưng không thể kết luận được min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng thức .
 Do vậy ta phải giải như sau:
 A = ( x + 2)2 + ( x - 1)2 
 = x2 + 4x + 4 + x2 – 2x + 1
 = 2x2 + 2x +5 = 2( x2 + x + )
 = 2[(x2 + 2x. + ) + ]
 = 2( x + )2 + 
 Do đó min A = khi x = - 
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
 B = - ( x – 1 )( x + 2 )( x + 3 )( x + 6 ) 
 GiảI : 
 Ta có : B = - ( x2 +5x – 6 )( x2 +5x + 6 )
 Đặt x2 +5x = t 
 Ta có : B = - ( t – 6 )( t + 6 )
 = - ( t2 – 36 )
 = 36 – t2
 B = 36 – t2 ≤ 36
 x = 0
 Vậy B = 36 khi x2 +5x = 0 
 x = - 5
 x = 0
 Do đó : max B = 36 
 x = - 5
1.2 – Một số nhận xét :
 - Dựa vào tình biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai ta có kết quả mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị ( hoặc giá trị lớn nhất , hoặc giá trị nhỏ nhất ).
 - Trong bài toán cực trị ta có thể đổi biến . Cụ thể ở ví dụ 1 ta có thể đặt y = x + 2 khi đó A = y 2 + ( y – 3 )2
1.3 – Một số bài tập tương tự :
 Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = x4 – 6x3 + 10x2 -6x + 9
 B = x4 – 2x3 + 3x2 - 2x + 1
 C = ( x + 1 ) 2 + ( x + 3 )2
 D = x( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
 E = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2
 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
 A = 4x – x2 + 1
 B = 5 – 8x – x2
 C = - 5x2 – 4x + 1
 D = 1 – x – x2
 II / Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số 
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức :
 P = 19x2 + 54y2 + 16z2 – 16xz -24yz + 36x + 5
 Giải :
 P = (9x2 + 36xy + 36y2)+(18y2 – 24yz + 8z2)+(8x2 – 16xz + 8z2)+2x2 + 5
 = 9( x + 2y )2 + 2( 3y – 2z )2 + 8( x – y )2 + 2x2 +5 
 Ta thấy P ≥ 5 
 Với x = y = z = 0 thì P = 5
 Do đó min P = 5 khi x = y = z = 0 
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của đa thức :
 Q = 15 – 10x – 10x2 + 24xy – 16y2
 Giải :
 Q = - ( x2 + 10x + 25) – ( 9x2 – 24xy + 16y2 ) + 40
 = 40 – ( x + 5 )2 – ( 3x – 4y )2 ≤ 40
 X = - 5
 Vậy maxQ = 40 
 Y = - 
 Nhận xét :
 + Ta vận dụng kiến thức cho F = F1 + F2 thì maxF = maxF1 + maxF2 hay ( minF = minF1 + minF2 )
 Trong đó F1 , F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng một biến thì cùng đạt max ( min ) tại một bộ giá trị xác định của biến ( Với đa thức nhiều biến )
 + Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến
Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 M = a2 – 4ab + 5b2 + 10a – 22b + 28
 Giải :
 Cách 1 : 
 M = ( a2 – 4ab + 4b2 ) + ( b2 – 2b + 1 ) + 27 + 10a – 20b
 = ( a – 2b )2 + ( b – 1 )2 + 27 + 10( a – 2b )
 Đặt a – 2b = t ta được 
 M = t2 + ( b – 1 )2 + 27 + 10t
 = ( t + 5 )2 + ( b – 1)2 + 2 ≥ 2 
 t + 5 = 0 a – 2b + 5 = 0 a = - 3
Dấu “ = “ xảy ra khi 
 b – 1 = 0 b = 1 b = 1
Vậy minM = 2 b = 1 ; a = - 3
 Cách 2 : Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu 
 ( a1 + a2 ++ an)2 = a12 + a22 ++ an2 + 2a1a2 ++ 2an-1an + 2an a1
 M = a2 – 4ab + 5b2 + 10a – 22b +28
 = ( a2 + 4b2 +25 – 4ab + 10a – 20b ) + ( b2 – 2b + 1 ) + 2
 = ( a – 2b +5 )2 + ( b – 1 )2 + 2
 Vì ( a – 2b +5 )2 ≥ 0 ; ( b – 1 )2 ≥ 0 a , b R
 ( b – 1 )2 = 0 b = 1
 M ≥ 2 min M = 2 
 ( a – 2b +5 )2 = 0 a = -3
 áp dụng phương pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4.
Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 A = ax2 + by2 + cx + dy + e ( a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)
 = a( x2 +x + ) +d( y2 + y + ) - - + e
 = a( x + )2 + b( y + )2 + 
Vì a,b > 0 ; ( x + )2 ≥ 0 ; ( y + )2 ≥ 0 x,y R
 A ≥ 
 x + = 0 x =- 
 min A = 
 y + = 0 y =- 
Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 N = ( x – 2y + 1)2 + ( 2x + ay + 5 )2 ( a là hằng số )
 Giải :
 ( x – 2y + 1)2 = 0 
 Dấu đẳng thức xảy ra có nghiệm
 ( 2x + ay + 5 )2 = 0 
 x – 2y + 1 = 0
 có nghiệm ≠ a ≠ - 4 
 2x + ay + 5 = 0
Nếu a = - 4 ta có N = ( x – 2y + 1)2 + ( 2x + ay + 5 )2 
 =( x – 2y + 1)2 + 2
 =( x – 2y + 1)2 + 4( x – 2y + 1)2 + 12 ( x – 2y + 1) +9
 =5 + 
 =5[ x- 2y +]2 + ≥ 
Dấu đẳng thức xảy ra x- 2y + = 0
 Mmin = 0 x- 2y + ≠ 0
Bài tập tương tự :
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
 A = 1 – 4x – 5x2
 B = xy – x2 – y2 + 4x +5
 C = x2 + y2 – 6x – 2y + 17
Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = 5x2 – 12xy + 9y2 – 4x + 4 
 B = x2 + xy + y2 -3x – 3y + 2003
 C = 10x2 + 12xy + 4y2 + 6x + 7
 D = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y +2004
 E = x2 – 2xy + 6y2 -12x + 12y + 45
 F = ( x + 2y )2 + ( x – 4 )2 + ( y – 1 )2 – 27
 G = x4 – 8xy – x3y + x2y2 – xy3 + y4 + 2001
 H = ( x – y )2 + ( x+ 1)2 + ( y – 5)2 + 2006
 I = x2 + 2y2 + 3z2 – 2xy + 2xz – 2x - 2y - 8z +2000
 III/ Cực trị của phân thức đại số
 3 .1 – Một số kiến thức cần lưu ý:
 Cho P = với A > 0:
 - Nếu m = 0 P =0 
 - Nếu m > 0 ... t = x thì x ³ 0.
ị ak+1 = x + y với y ³ 0 và xk ³ a1 a2ak (Do giả thiết quy nạp ) ta có:
 = (x+)k+1 ³ xk+1 + (k+1)xk = xk+1 + xk.y
 = xk (x+y) ³ a1a2akak+1.
ị 
Vậy mệnh đề luôn đúng với n ³ 2.
Đẳng thức xảy ra Û a1 = a2 == an
b. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôxki:
Đặt A = 
 B =
 C = 
Ta cần phải chứng minh AB ³ C2
Nếu A = 0 thì a1 = a2 = ==an = 0 bất đẳng thức được chứng minh.
Nếu B = 0 ta cũng có b1 = b2 = ==bn ị bất đẳng thức luôn đúng.
Với A ạ 0 và B ạ 0, x bất kỳ ẻ R
Ta có: (a1x - b1)2 ³ 0 ị 
	(a2x - b2)2 ³ 0 ị 
.
(anx-bn)2 ³ 0 ị 
Cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta có:
ị Ax2 - 2Cx + B ³ 0 (*)
Vì (*) đúng với mọi x nên thay c = vào (*) ta có:
A. - 2 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a1x = b1; a2x = b2; anx = bn.
9.2 - Các ví dụ:
Ví dụ 24: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy):
Cho a, b, c là ba số dương có tích abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = (1 + a) (1 + b) (1 + c).
Giải: Vì a, b, c dương áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 + a ³ 2
	 x
1 + b ³ 2
ị y ³ 8 vậy min y = 8 khi a = b =c = -1
Ví dụ 25: Cho a > 1; b > 1 tìm giá trị nhỏ nhất của:
Giải: Vì a > 1; b > 1 ị 
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Û 
Ta chứng minh: thật vậy: Vì a > 1 ị 
Bình phương hai vế ta có: a2 ³ 4 (a - 1) Û (a - 2)2 ³ 0 đúng:
Do đó: từ đó ta cũng có: 
Vậy từ (*) ta có: 
Vậy P > 8 do đó min P = 8 khi a = b = 2.
Ví dụ 26: (áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky)
Cho hai số dương x, y luôn nghiệp đúng với hệ thức:
tìm giá trị nhỏ nhất của x + y.
Giải: Ta thấy 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopsky cho hai cặp số () và ().
Ta có: 
(x + y) ³ 
Dấu "=" xảy ra khi:
Tức là x, y là nghiệm hệ trên từ đó ta có: x = , 
Vậy min (x + y) = khi x = , 
Ví dụ 27:
a. Tìm giá trị lớn nhất của: 	A = (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2)
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 	B = với x > 0
Giải: a, Xét (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2) = 22 không đổi
	x1 = 5 khi đó A = 11.11 = 121
Û x2 - 3x + 10 = 0
	x2 = -2
Vậy max A = 121 	x = 5 hoặc x = -2
b. Viết: B = 
Xét 8. (do x > 0) không đổi nên tổng của nó nhỏ nhất khi và chỉ khi: 8x = Û 16x2 = 1 Û x = (vì x 0)
Vậy min B = 
9.3 - Nhận xét:
a. Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
b. Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau:
+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất Û hai số đó bằng nhau.
+ x, y ẻ R, xy = const ị (x + y) min Û x = y (Như ở ví dụ 24).
9.4 - Bài toán tương tự:
Bài tập 12: 	a, Cho x, y sao cho 0 Ê x Ê 4; 0 Ê y Ê 4.
	 Tìm giá trị lớn nhất của Q = (3-x) (4-y) (2x+3y).
	b, Giả xử x, y, z, t thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1; 1 Ê t Ê 2.
 Tìm giá trị lớn nhất của R = xyz + txy + txz + tyz + tx + ty + tz.
	c. Cho 2 số x, y thoả mãn x2 + y2 = 1.
	 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của H = 3x + 4y
	d. Biết x + y + z = 1.
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
X - Sáng tạo bài toán cực trị:
Ví dụ: Từ một số phương pháp đi tìm cực trị ta có thể vận dụng và khái quát thành một số bài tập mới.
Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳ theo yêu cầu của một số bài toán.
Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 28:	a. Tìm giá trị lớn nhất của A = x3 (16 - x3) với (0 < x3 < 16).
	b. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = với > 0
Giải: 	a. Ta có: x3 + (16 - x3) = 16 (không đổi).
	Nên x3 (16-x3) lớn nhất khi và chỉ khi.
x3 = 16 - x3 hay x3 = 8 Û x = 2
	Vậy max A = 23 (16 - 23) = 16 khi x = 2.
b. B = 
x và đạt giá trị nhỏ nhất khi x = (không đổi).
Nên tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi x = hay x = 1998
Vậy min B = 3.1998 khi x = 1998.
Ví dụ 29: Cho biểu thức M = x2 + y2 + 2z2 + t2	Với x, y, z, t ẻ N
Tìm giá trị nhỏ nhất của M là các giá trị tương ứng của x, y, z, t biết rằng:
x2 - y2 + t2 = 21	(1)
x2 + 3y2 + 4z2 = 101	(2)
(Thi học sinh giỏi toàn quốc 1985)
Giải: Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta được:
2 (x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122
Û M = 61 + 
ị min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (1) ta có: x2 - y2 = 21 Û (x + y) (x - y) = 21
	x - y = 1	x = 12 (loại không thoả mãn (2))
Vậy 	Û
	x + y = 21	y = 10
	x = 5	 thay x = 5, y = 2 vào (2) ta có z = 4
	y = 2
Vậy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t = 0.
Ví dụ 30: 	Cho x, y ẻ R thoả mãn x2 + y2 = 1
	Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của x + y
Giải: Từ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 < 2 (do x2 + y2 = 1)
Do đó: max (x + y) = Û x = y = 
Do đó: max (x + y) = -Û x = y = -
Từ bài toán trên ta có thể thành bài toán khác như sau:
1, x2 + ay2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + 2y
2, 4x2 + 9y2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = 2x + 3y nếu x ³ 0, y ³ 0.
Ví dụ 31: (áp dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giải phương trình).
Giải phương trình:
	(1)
Giải: Ta có: 	
 VT ³ 3 + 2 = 5.
Mà 4 - 2x - x2 = 5 - (x+ 1)2 Ê 5 vậy VP Ê 5.
Vậy để phương trình có nghiệm thì VP = VT = 5
Hay 5 - (x + 1)2 = 5 Û (x + 1)2 = 0 Û x = 1.
Ví dụ 32: Giải phương trình: 
(Điều kiện 2 Ê x Ê 10
Ta có: 
Û 8 + 2 (Vì hai vế cùng không âm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: x - 2 và 10 - x
Ta có: 2
ị 8 + 2 
Mặt khác: (x2 + 12x + 40)2 [(x - 6)2 + 4]2 ³ 16
x là nghiệm của phương trình Û VT = VP = 16 
 x - 2 = 10 - x	 x = 6
Û	 Û	 Û x = 6 (Thoả mãn điều kiện). 	 x - 6 = 0	 x = 6
 Vậy tập nghiệm của phương trình: S = {6}
Ví dụ 33: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
x4 - 2x3 + 4x2 - 3x + 2 = 0
Giải: Ta có: x4 - 2x3 + 4 x2 - 3x + 2 = 0
Û (x4- 2x3 + x2) + 3 (x2- x + ) + 
	Û (x2-x)2 + 3 (x - )2 + 
Vì (x2 - x)2 ³ 0 ; 3 (x - )2 ³ 0 "x ẻ R
ị (x2 - x)2 + 3 (x - )2 + 
ị Không tồn tại x ẻ R thoả mãn (1)
ị Phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập: 	1, Giải phương trình:
a. 
b. 
2. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:
a. x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0
b. 2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5 = 0
Chú ý: Ta vận dụng linh hoạt việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức vào việc xét phương trình và tìm nghiệm.
XI - Một số sai sót thường gặp trong việc giải toán tìm cực trị:
11.1 - Sai lầm trong điều kiện 1:
Ví dụ 34: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2x + 3y biết x2 + 3y2 Ê 5
a. Lời giải sai:
Gọi B = 2x2 + 3y2 ta có B < 5
Xét A + B 	= 2x + 3y + 2x2 + 3y2
	= 2 (x2 + x) + 3 (y2 + 3).
	= 2 (x + )2 + 3 (y + )2 - ³ - 	(1)
Ta lại có: B Ê 5 nên - B ³ - 5 	(2)
Cộng (1) với (2): A ³ - Vậy min A = 
b. Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ với x = y = thì chỉ xảy ra dấu "=" ở (1) còn dấu "=" ở (2) không xảy ra. Thật vậy với x = y = - thì:
B = 2 (-)2 + 3 (-)2 = 
Do đó - B ạ - 5
c. Lời giải đúng: Ta xét biểu thức phụ A2 = (2x + 3y)2
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski.
(am + bn)2 Ê (a2+ b2) (m2 + n2) 	(3)
Nếu áp dụng (3) với a= 2, b = 3 m = x, n = y ta có:
A2 = (2x + 3y)2 Ê (22 + 32) (x2 + y2) = 13 (x2 + y2).
Với cách trên ta không chỉ ra được hằng số a mà A2 Ê a
Bây giờ ta viết A dưới dạng:
A2 = () rồi áp dụng (3) ta có:
A2 Ê [()2 + ()2 [(x.)2 + (y. )2]
= (2 + 3) (2x2+ 3y2) Ê 5 . 5 = 25.
A2 = 25 Û 
Do A2 Ê 25 nên - 5 Ê A Ê 5
	 x = y
Min A = - 5 Û 	Û x = y = - 1
	2x + 3y = -5
	x = y
Max A = 5 Û 	Û x = y = 1
	2x + 3y = 5
11.2 - Sai lầm trong điều kiện 2:
Ví dụ 35: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 + y2 biến x + y = 4
a. Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2 ³ 2xy
Do đó A nhỏ nhất Û x2 + y2 = 2xy Û x = y = 2
Khi đó min A = 22 + 22 = 8
b. Phân tích sai lầm:
Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được f (x, y) ³ g (x,y) chứ chưa chứng minh được f(x, y) ³ m với mà hằng số.
Ta đưa ra một ví dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng:
x2 ³ 4 x - 4 sẽ ị x2 nhỏ nhất:
Û x2 = 4x - 4 Û (x-2)2 = 0 Û x = 2
đi đến min x2 = 4 Û x = 2
Dễ thấy kết quả đúng phải là min x2 = 0 Û x = 0
c. Cách giải đúng:
Ta có x + y = 4 ị x2 + 2xy + y2 = 16	(1)
Ta lại có: (x - y)2 ³ 0 ị x2 + 2xy + y2 ³ 0	(2)
Từ (1) và (2): 2 (x2 + y2) ³ 16 ị x2 + y2 ³ 8
Min A = 8 Û x = y = 2
XII - Vài chú ý khi tìm cực trị:
12.1 - Chú ý 1:
Khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể đổi biến.
Ví dụ 36: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = (x-1)2 + (x-3)2.
Ta có thể đặt x - 2 = y khi đó A 	= (y + 1)2 + (y - 1)2
	= y2 + 2y + 1 + y2- 2y + 1.
Vậy min A = 2 Û y = 0 Û x = 2.
12.2 - Chú ý 2:
Khi tìm cực trị của biểu thức nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị. Chẳng hạn:
- A lớn nhất Û A nhỏ nhất
lớn nhất Û B nhỏ nhất với B > 0.
C lớn nhất Û C2 lớn nhất với C > 0.
Ví dụ 37: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
A = 
Giải: * Ta có: 
Vì 2x2 ³ 0 x4 + 1 > 0 nên 
Min do đó max A = 1 Û x = 0
* Ta có 2x2 Ê x4 + 1 mà x4 + 1 > 0 nên 
Max do đó min A = 
12.3 - Chú ý 3:
Nhiều khi ta cần tìm cực trị của biểu thức trong từng khoảng của biến, sau đó so sánh cực trị đó để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ tập xác định của biểu thức.
Ví dụ 38: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Với x, y là các số tự nhiên.
Giải: + Xét x + y Ê 4
Nếu y = 0 thì A = 0
Nếu 1 Ê y Ê 3 thì 
Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
+ Xét x + y ³ 6 thì A = 
+ So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 Û x = 0, y = 4
12.4 - Chú ý 4:
Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức người ta thường sử dụng các bất đẳng thức đã biết.
Ví dụ 39: Cho x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất của A = ẵ2x+3yẵ
Giải: Ta thấy 2x + 3y và x2 + y2 là các thành phần của bất đẳng thức Bunhiacôpski (ax + by)2 Ê (a2 + b2) (x2 + y2) với a = 2, b = 3
Vậy áp dụng ta có: (2x + 3y)2 Ê (22 + 32) 52
	(2x + 3y)2 Ê 13.13.4
	ẵ2x + 3yẵÊ 26
Max A = 26 Ûthay y = vào x2 + y2 = 52 ta được x = ± 4
Vậy Max A = 26 Û x = 4, y = 6 hoặc x = -4, y = - 6.
12.5 - Chú ý 5:
Trong các hằng bất đẳng thức của ta chú ý đến hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Như đã trình bày ở ví dụ 24).
Ví dụ 40: Tìm giá trị lớn nhất của A = (x2 - 3x + 1) (21 + 3x - x2)
Giải: Ta thấy: x2 - 3x + 1 + 21 + 3x + x2 = 22 (không đổi)
 Nên tích của chúng ta đạt giá trị lớn nhất khi x2 - 3x + 1 = 21 + 3x - x2
 x1 = 5
 Û x2 - 3x - 10 = 0 Û
	x2 = -2
Khi đó: A = 11 . 11 = 121
 Vậy Max A = 121 Û x = 5 hoặc x = -2
12.6 - Chú ý 6:
Trong các ví dụ trên chỉ ra tất cả các giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức. Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm cực trị không đòi hỏi như vậy. Chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
Ví dụ 41: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = ẵ11m - 4nẵ với m, n là các số nguyên dương.
Giải: Ta thấy 11m tận cùng bằng 1, còn 5n tận cùng bằng 5.
Nếu 11m > 5n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11m < 5n thì A tận cùng bằng 4.
Ta chỉ ra một trường hợp A = 4 với m = 2, n = 3.
Thì A = ẵ121 - 125ẵ= 4.
Như vậy min A = 4 khi chẳng hạn m = 2, n = 3.