Chuyên đề Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ.
I) Nhân đơn thức với đa thức:
1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính nhân:
	a) 3x(5x2 - 2x - 1);	b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
	c) x2y(2x3 - xy2 - 1);	d) x(1,4x - 3,5y);
	e) xy(x2 - xy + y2);	f)(1 + 2x - x2)5x;
	g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;	h) x2y(15x - 0,9y + 6);
	i) x4(2,1y2 - 0,7x + 35);	
Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng.
	a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)	với a = .
	b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)	với x = 2,1.
	c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2	với a = -0,2.
	d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)	với b = 
Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
	a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
	b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
	c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
	d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bài 4. Đơn giản các biểu tức:
	a) (3b2)2 - b3(1- 5b);	b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
	c) (-x)3 - x(1 - 2x - x2);	d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
	a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
	b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;
	a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
	b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Tính giá trị biểu thức:
	a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +.+ 80x + 15	với x = 79.
	b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 với x = 9.
	c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1	với x = 31.
	d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x 	với x = 14.
Bài 8. Chứng minh rằng :
	a) 356 - 355 chia hết cho 34	b) 434 + 435 chia hết cho 44.
Bài 9. Cho a và b là các số nguyên. Chứng minh rằng:
	a) nếu 2a + b 13 và 5a - 4b 13 thì a - 6b 13;
	b) nếu 100a + b 7 thì a + 4b 7;
	c) nếu 3a + 4b 11 thì a + 5b 11;
II) Nhân đa thức với đa thức.
1. Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bài tập áp dụng:
Bài 1. Thực hiện phép tính:
	a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);	b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
	c) x2y2(2x + y)(2x - y);	d) (x - 1) (2x - 3);
	e) (x - 7)(x - 5);	f) (x - )(x + )(4x - 1);
	g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
	h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
	i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bài 2.Chứng minh:
	a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;	b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bài 3. Thực hiện phép nhân:
	a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
	b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
	c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
	d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
	e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức:
	a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
	b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
	c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
	d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:
	a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);	b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bài 6. Tìm x, biết:
	a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
	b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
	c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
	d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
	e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bài tập nâng cao
Bài 7. Chứng minh hằng đẳng thức:
	a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bài 8. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với :
	M = a(a + b)(a + c);
	N = b(b + c)(b + a);
	P = c(c + a)(c + b);
Bài 9. Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ?
	HD: Trước hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì dư 0 hoặc 2. Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 dư 2 ( tự chứng minh). Số 350 + 1 chia cho 3 dư 1 nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài 10. Cho A = 29 + 299. Chứng minh rằng A 100
	HD: Ta có A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - -2.277 + 288)
III) Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Kiến thức cơ bản:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2). 
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính
	a) (x + 2y)2;	b) (x - 3y)(x + 3y);	c) (5 - x)2.
	d) (x - 1)2; 	e) (3 - y)2 	f) (x - )2.
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
	a) x2 + 6x + 9;	b) x2 + x + ;	c) 2xy2 + x2y4 + 1.
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau;
	a) (y - 3)(y + 3);	b) (m + n)(m2 - mn + n2);
	c) (2 - a)(4 + 2a + a2);	d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
	e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3;	f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau:
	a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)	b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
	c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b);	d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
	a) x2 - y2 tại x = 87 	với y = 13;
	b) x3 - 3x2 + 3x - 1	Với x = 101;
	c) x3 + 9x2 + 27x + 27 	với x = 97;
	d) 25x2 - 30x + 9	với x = 2;
	e) 4x2 - 28x + 49 	với x = 4.
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:
	a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)	với x = - 5, y = -3;
	b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)	với a = -4, b = 4.
Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
	a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
	b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
	c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
	d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
	e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bài 9. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;	b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau:
	a) 192; 282; 812; 912;	b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
	c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bài 11. Chứng mih các hằng đẳng thức sau:
	a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;	b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
	c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2];	d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
Các bài toán nâng cao
Bài 12. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
	X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bài 13. Hãy viết các biểu thức dưới dạng tổng của ba bình phưong:
	(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bài 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b.
Bài 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c.
Bài 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c.
Bài 17. Cho a + b + c = 0	(1)
	a2 + b2 + c2 = 2	(2)
	Tính a4 + b4 + c4.
Bài 18. cho a + b + c = 0. Chứng minh đẳng thức:
	a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
	b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
	c) a4 + b4 + c4 = ;
Bài 19. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến.
a) 9x2 - 6x +2;	b) x2 + x + 1;	c) 2x2 + 2x + 1.
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
	a) A = x2 - 3x + 5;
	b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	a) A = 4 - x2 + 2x;
	b) B = 4x - x2;
Bài 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x3 + y3.
Bài 23. Cho x + y = a; xy = b.
	Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b:
	a) x2 + y2;	b) x3 + y3;	c) x4 + y4;	d) x5 + y5;
Bài 24. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy.
	 b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy.
Bài 25. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bài 26. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bài 28. Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
	b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bài 29. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bài 30. Chứng minh rằng:
	a) nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n cũng là tổng của hai số chính phương.
	b) nếu 2n là tổng hai số chính phương thì n cũng là tổng của hai số chính phương.
	c) nếu n là tổng của hai số chính phương thì n2 cũng là tổng của hai số chính phương.
Bài 31. a) Cho a = 111(n chữ số 1), b = 10005(n - 1 chữ số 0). Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phương.
	b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước :
	16, 1156, 111556, 
	Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Bài 32. Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phương với a = 1112(n chữ số 1), 
b = 1114(n chữ số 1).
Bài 33. Cho a gồm 2n chữ số 1, b gồm n + 1 chữ số 1, c gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.	
Bài 34. Chứng minh rằng các biểu thức sau là số chính phương:
	a) A = 	b) B = 
Bài 35. Các số sau là bình phương của số nào ?
	a) A = ;	b) B = ;
	c) C = ;	d) D = .	
chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử
I) Phương pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử
*) Bài 1: Phân tích thành nhân tử
II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dung hằng đẳng thức:
1) Phương pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bài tập:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 - 9;	b) 4x2 - 25;	
c) x6 - y6	d) 9x2 + 6xy + y2;	
e) 6x - 9 - x2;	f) x2 + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;	h)10ab + 0,25a2 + 100b2
i)9x2 -24xy + 16y2	j) 9x2 - xy + y2 
k)(x + y)2 - (x - y)2	l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
n) x3 + y3 + z3 - 3xyz.
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 8;	b) 27x3 -0,001
c) x6 - y3;	d)125x3 - 1
e) x3 -3x2 + 3x -1;	f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
b) M = 	
Bài 4	 Tính nhanh:	
a) 252 - 152;	b) 872 + 732  ... phân thức và , ta nói = nếu A.D = B.C
 2) Bài tập:
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
	e);	f) ;
	g) ;	h) ;
	i) .
Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
Bài 3. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa sai cho đúng.
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
Bài 5. Ba phân thức sau có bằng nhau không?
	.
Bài 6. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d).
Bài 7. tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) .
Bài 8. Tìm các giá trị nguyên của biến để các phân thức sau nhận giá trị nguyên:
a) ;	b) ;	c) ;
II) Tính chất cơ bản của phân thức đại số:
1) Kiến thức cơ bản:
 a) Tính chất: 
- Tính chất 1: (M là đa thức khác đa thức 0).
- Tính chất 2: (M là nhân tử chung khác 0).
b) Quy tắc đổi dấu: .
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f).
Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước.
	a) ;	b) ;
Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức.
	a) và ;	b) và ;
Bài 4. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
	a) và ;	b) và ;
	c) và ;	d) và ;
Bài 5. Các phân thức sau có bằng nhau không?
	a) và ;	b) và ;
	c) và ;	d) và ;
Bài 6. Hãy viết các phân thức sau dưới dạng một phân thức có mẫu thức là 1 - x3;
	a) ;	b) ;	c) .
Bài 7. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
Bài 8. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
	a) và ;	b) và ;
	c) và ;	d) và .
Bài 9. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức:
	a) và ;	b) và ;
	c) và ;	d) và ;
III) Rút gọn phân thức
1) Phương pháp:
- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
2) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:
	a);	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;
	i) .	J) ;
	k) ;	l) ;
	n) ;	m) ;
	o) ;	ơ) ;
	p) ;	q) ;
	v) ;	u) ;
	ư) ;	x) ;
	y) ;	z) .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ;	b) .
Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:
	a) ;	b) .
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) với a = 3, x = ;	b) với x = 98
	c) với x = ;	d) với x = ;
	e) với a = , b = ;	f) với a = 0,1;
	g) với x + 2y = 5;	h) với 3x - 9y = 1.
Bài 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = .
Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.
	a) ;	b) ;
Bài tập nâng cao.
Bài 7. Rút gọn các biểu thức.
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
i) ;	j) ;
k) ;	l) .
n) ;	m) ;
o) ;	ơ) ;
p) ;	q) ;
u) ;	ư) .
Bài 8. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0.
	a) ;	b) .
Bài 9. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức.
	A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
 HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau
Bài 10. Rút gọn biết rằng x + y + z = 0.
Bài 11. Tính giá trị của phân thức A = , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0.
	HD
Ta có A2 = 
Do 2y < 3x < 0 . vậy A = .
Bài 12. Rút gọn biểu thức: P = .
	HD
Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
Do đó P = 
Bài 13. Cho phân số A = (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân.
	HD
Ta có A = . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được:
A= 
(Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số).
Bài 14. Cho phân thức: M = 
	a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
	b) Rút gọn biểu thức M.
	HD:
	a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.
Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0	a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
 a + b = b + c = c + a
 a = b = c.
vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, 
tức là a2 + b2 c2 0.
	b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a2 + b2 + c2 = x; 
ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y.
Ta có M = 
(Điều kiện là a2 + b2 c2 0)
IV) Quy đồng mẫu thức.
1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần).
- Lập tích các nhân tử bằng số và chữ:
	+) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu.
	+) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất.
2) Bài tập áp dụng 
Các bài tập cơ bản và nâng cao.
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) 
g) ;	h) .
Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
i) ;
j) ;	k) ;
l) .
Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) .
Bài 4. Quy đồng mẫu thức các phân thức (có thể đổi dấu để tìm MTC cho thuận tiện).
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) .
Bài 5. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.
a) ;	b) ;
c) ;
d) .
Bài 6. Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức 
	a) Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu của hai phân thức đã cho.
	b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.
Bài 7. Cho hai phân thức: . Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức
 x3 - 7x2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức.
V) Phép cộng các phân thức đai số.
1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu
2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng).
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Cộng các phân thức cùng mẫu thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) .
Bài 2. Cộng các phân thức khác mẫu thức:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
Bài 3. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) .
Bài 4. Cộng các phân thức:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Bài 5. Làm tính cộng các phân thức.
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
i) ;	
Bài 6. Cho hai biểu thức:
	A = ,	B = 
Chứng tỏ rằng A = B.
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức :
a) A = với x = 10;
b) B = với x = -99
Các bài tập nâng cao
Bài 8. Tìm các số a và b sao cho phân thức viết được thành 
	HD: Dùng một trong hai phương pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng.
Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) ;	b) .
Bài 10. Cộng các phân thức :
	.
(Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980)
Bài 11. Rút gọn biểu thức :
	A = .
Bài 12. Tìm các số A, B, C để có :
	.
Bài 13. Chứng minh hằng đẳng thức :
	.
VI) Phép trừ các phân thức đại số.
1) Phân thức đối:
- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Công thức: và .
2) Phép trừ:
- Quy tắc: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng với phân thức đối của 
- Công thức: 	
3) Bài tập áp dụng:
Bài 1. Làm tính trừ các phân thức:
a) ;	b);
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
i) ;	j) ;
k) ;	l) ;
n) ;	m) .
Bài 2. Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết
	.
áp dụng điều này để làm các phép tính sau:
	a) ;	b) .
Bài 3. rút gọn các biểu thức :
	a) ;	b) ;
	c) .
Bài 4. Thực hiện phép tính:
	a) ;
	b) .
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức:
	a) A = với x = 99;
	b) B = với x = .
Các bài toán nâng cao
Bài 6. Rút gọn các biểu thức :
	a) A = ;
	b) B = ;
	HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta được 3.B = 
Từ đó ta có 
Xét từng số hạng cụ thể : 
..
= 
Hay 3.B = 
c) C = .
HD : Thực hiện như phần trên
Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z.
	.
Bài 8. Thực hiện phép tính :
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
Bài 9. Xác định các số hữu tỷ a, b, c sao cho:
	a) ;
	Đáp số: Dùng phương pháp đồng nhất ta được a = , c = , b = .
	b) ;	(ĐS : )
	c) . 	(ĐS: a = -1; b = 1; c = 1)
Bài 10. Cho abc = 1	(1)
	(2)
Chứng minh trong 3 số a, b, c tồn tại một số bằng 1.
	HD
Từ (2) :
Do abc = 1 nên a + b + c = ab + bc + ca 	(3)
Để chứng minh trong 3 số a, b, c có một số bằng 1 ta chúng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
Xét (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
	= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồn tại một trong ba số a, b, c bằng 1.
Bài 11. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức :	A = .
	HD : A =.
Bài 12. Tìm x, y, z biết : .
	HD: 
Từ suy ra : 
Bài 13. Tìm x, y biết:	.
	HD
Ta có 
Có bốn đáp số như sau:
x
1
1
-1
-1
y
1
-1
1
-1
Bài 14. Cho biết : (1), (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc.
	HD
Từ (1) suy ra : 
Do (2) nên : 
Bài 15. Cho (1) (2). Tính giá trị biểu thức: .
	HD
Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0	(3)
Từ (2) suy ra : 
Do đó : 
Bài 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 và a, b, c khác 0. CMR: .
	HD
Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0.
Do đó : 
Sau đó chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz.
Bài 17. Cho . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
	HD
Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b 
Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0. Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 18. Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên :
a) ;	(ĐS : )	
b) ; (ĐS : )
c) . (ĐS : 
Bài 19. Rút gọn biểu thức :
	HD
Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một :
	=
Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Bài 20. Rút gọn biểu thức :
	B = 
	HD 
Ta tách từng phân thức thành hiệu của phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được :
Do đó B = 
VII) Phép nhân các phân thức đại số.
1) Kiến thức cơ bản: .
2) Tính chất cơ bản:
 - Giao hoán: 
 - Kết hợp: 
 - Phân phối đối với phép cộng: .
3) Bài tập cơ bản: 
Bài 1. Làm tính nhân phân thức :
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ; 	f) ;
	g) .	h) ;
	i) ;	j) ;
	k) ;	l) .
Bài 2. Rút gọn biểu thức (chú ý thay đổi dấu để thấy được nhân tử chung).
	a) ;	b) ;
	c) .
Bài 3. Phân tích các tử thức và mẫu thức (nếu cần thì dùng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử hoặc tách một số thành hai số hạng) rồi rút gọn biểu thức :
	a) ;	b) ;
	c) .
Bài 4. áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để rút gọn biểu thức:
	a) ;
	b) .
	c) ;
Bài 5. Rút gọn biểu thức :
a) ;	b) .
c) ;	
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức :
	 với x = 15, y = 5.
Bài 7. Chứng minh rằng :
	.