Chuyên đề Hẳng đẳng thức đáng nhớ - Hà Tiến Khởi

Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ
Thầy giáo : Hà Tiến Khởi 
A/ Kiến thức 
1) Giới thiệu bẩy hằng đẳng trong sgk 
2) Bổ sung thêm các hằng đẳng thức 
a) (a + b+ c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ca 
b)( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) 
c)An – Bn = (A – B)(An-1+ A.Bn-2 + ..+ A.Bn-2 + Bn-1) ( Với n , n > 1) 
3) Khai thác phát triển thêm các hằng đẳng thức khác từ bảy hằng đẳng thức trong sgk 
4) Giới thiệu tam giác Pascal
B/Bài tập 
Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức 
Rút gọn các biểu thức sau
1)(3x + )2 2) 3)(2a + b – 5)(2a – b + 5) 
4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - )3 
7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1) 
9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 
11)( )( 12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 ) 
13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1) 
15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2 
16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac 
17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2 
18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1) 
19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 
20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 
21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) 
22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) 
23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3 
24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a) 
Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.
Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức 
1)4x2 – 2x + 2)25a2 + 
3)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)
Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau:
A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1
Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:
 x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2
Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phương.
Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu.
a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1 
c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6 
Bài6:Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương
a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)
Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 
1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4 
3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4 
5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2 
7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 
9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028 
10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 
Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999 
c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15 
d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59 
e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 
Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5 
d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5 
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x) 
Bài4:So sánh hai số sau:
a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1) 
b)a = 2004.2006 và b = 20052 
Bài5:
a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y 
b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 với mọi x 
c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 với mọi x, y 
d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 Với mọi x, y 
e)- 4x + > 0 với mọi x 
g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 với mọi x 
Bài6: So sánh hai số A và B. 
a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1 
b)A = 12(52 + 1)(54 +1)(5128 + 1) và B = 5256 – 1 
Bài7:Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2 
Bài8:Chứng minh các BĐT sau:
1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z 
2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0 
3)x2 +9y2 + z2 + > 2x + 12y + 4z 
4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1 
5)(a2 + b2)(x2+y2)(ax+ by)2 
6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2)(ax+ by +cz)2 
Bài9:Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhât?
S = 1 - + (3x – 1)2 
Dạng4: Tính giá trị của biểu thức 
Bài1: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732 
4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + + 22 – 12 
Bài2:
a) Rút gọn biểu thức : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2
b)Cho x + y = 1. Tính giá trị của B = x3 +y3 + 3xy 
Bài3:Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x2 – y2 – 4x với x + y = 2 
b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 với x + y = 4 
c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) với x + y = 1
d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) với x + y = 1 
e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3 với x3 + y3 = 1.
g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1) 
Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10. Tính a4 + b4 + c4 
Bài5:Cho ba số a, b, c thoả mãn các điều kiện sau :
a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính ab + bc + ca 
Bài6:Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Tính giá trị của biểu thức sau :
P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005 
Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4. Tính 
1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5 
Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước 
Bài1:Tìm x,biết:
1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49 
2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42 
3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56 
4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3 
5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30 
6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42 
Bài2:Tìm x, y, z thoả mãn :
a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 
b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + +26=0
c)x2 + y2 + x – xy + 
d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0 
e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0 
Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:
a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0 
Bài4:Tìm số tự nhiên n để:
a)n2 – 4n + 7 là số chính phương b) n2 – 3n – 1 là số chính phương 
Dạng6:Chứng minh đẳng thức 
Bài1:Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài2:Chứng minh đẳng thức sau:
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a) 
Bài3:Chứng minh các hệ thức sau:
a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 
b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2) 
c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca) 
Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng:
(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2 
Bài5:Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0 
Bài6:Cho a + b – c = 0. Chứng minh rằng : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 ) 
Bài7:Chứng minh rằng nếu: và a+ b + c = abc thì 
.
Bài8:Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng : 
(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2 
Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab. 
a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz 
b)Cmr: x + y + z 0. Với điều kiện nào của a, b, c thì x + y + z = 0.
Bài10: Cmr nếu : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2 với x, y khác 0 thì:
Bài11:Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 vỡi, y, z khác 0 thì 
Bài12:Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 
b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2
Bài13:Chứng minh rằng: a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau :
a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)
c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca) 
Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học
Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; .; 
đều là lập phương của một số tự nhiên.
Bài2:Với a, b Z; chứng minh rằng:
a)(a + b) 2 (a2 + b2) 2 b)(a + b)6 (a3 + b3) 6 
Bài3:Với x = và y = . Chứng minh rằng x + y + 1 bao giờ cũng là một số chính phương.
Bài4:Chứng minh rằng :
a) Nếu p và p2 +8 là các số nguyên tố thì P2 + 3 cũng là số nguyên tố.
b)Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố 
Bài5:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ
Thầy giáo : Hà Tiến Khởi 
Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức 
Rút gọn các biểu thức sau
1)(3x + )2 2) 3)(2a + b – 5)(2a – b + 5) 
4)(3x +2)3 5)(- x2 – 2y)3 6)(x2 - )3 
7)(3x – 4)(9x2 + 12x + 16) 8) (4x – 1)2 – (x + 1)(x – 1) 
9) (5x + 8)2 + (5x – 8)2 10) (x + 2)(x- 2)(x2 + 4)- (x2 + 1)(x2 – 1) 
11)( )( 12)(5x – y)(25x2 + 5xy + y2 ) 
13)(x + 1)3 – x(x- 2)2 – 1 14) (x + 1)(x2 + x + 1)(x – 1)(x2 – x + 1) 
15) 2x(2x- 1)2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1)2 
16)(a – b+ c)2 – (b – c)2 + 2ab – 2ac 
17)(3x + 1)2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5)2 
18)(3 +1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1) (316 + 1)(332 + 1) 
19)(a + b – c)2 + (a – b + c)2 – 2(b – c)2 
20) (a + b + c)2 + ( a – b – c)2 + (b – c – a)2 + (c – a – b)2 
21) (x – 2)3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) 
22)(x – 2)(x2 – 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) 
23)(a + b + c)3 – (b + c – a)3 – (a + c – b)3 – (a + b – c)3 
24)( a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 – 3(a + b)(b +c)(c + a) 
Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu.
Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức 
1)4x2 – 2x + 2)25a2 + 
3)(x3 – x + 1)2 + (x2 – 3)2 – 2(x2 – 3)(x3 – x + 1)
Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau:
A = 2x2 – 3x + 5 và B = 3x2 + 7x – 1
Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:
 x2 + 2(x + 1)2 + 3(x + 2)2 + 4(x + 3)2
Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phương.
Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu.
a) A = 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 b)B = x3 +3x2 + 3x + 1 
c) C = x3 – 3x2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y2 + 9y4 + y6 
Bài6:Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương
a)(a+b+c)2 + a2 + b2 +c2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c)
Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN.
Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 
1) A = x2 + 10x + 25,01 2)B = 3x2 – 6x + 4 
3)C= x2 – 4x + 7 4)D = 2x2 + 3x + 4 
5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1)2 + (2x – 1)2 
7)G = x4 – 2x3 + 3x2 – 4x + 2005 8)H = x6 – 2x3 + x2 – 2x + 2 
9)M =2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2028 
10) N = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 
Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) P = x2 + y2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 1999 
c)R = 2x2 + 2xy + y2 – 2x + 2y + 15 
d)S = x2 + 26y2 – 10xy + 14x – 76y + 59 
e)T = x2 – 4xy + 5y2 + 10x – 22y + 28 
Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4 – 2x2 b)B = - x2 + 10x – 5 c)C = - 3x2+ 2x – 5 
d)D = - 9x2 + 24x – 18 e)E = - 2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + 5 
g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x) 
Bài4:So sánh hai số sau:
a) x = 216 và y = 3(22 +1)(24 + 1)(28 + 1) 
b)a = 2004.2006 và b = 20052 
Bài5:
a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x2 + 4y2 + 9 2xy + 3x + 6y 
b)Cmr: x2 – 8x + 18 > 0 với mọi x 
c)x2 – 4xy + 4y2 + 0,1 > 0 với mọi x, y 
d)x2 + y2 – 2x + 4y + 5 0 Với mọi x, y 
e)- 4x + > 0 với mọi x 
g)- 9x2 + 12x – 5 < 0 với mọi x 
Bài6: So sánh hai số A và B. 
a) A = (3 + 1)(32 + 1)(34+ 1)(38 + 1)(316 + 1) và B = 332 – 1 
b)A = 12(52 + 1)(54 +1)(5128 + 1) và B = 5256 – 1 
Bài7:Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
A = 4a2b2 – (a2 +b2 – c2)2 
Bài8:Chứng minh các BĐT sau:
1) x2 + 4y2 + z2 + 14 2x + 12y + 4z 
2)(x +1)(x +2)(x +3)(x +4) + 1 0 
3)x2 +9y2 + z2 + > 2x + 12y + 4z 
4)(x -1)(x -3)(x-4)(x -6) +10 1 
5)(a2 + b2)(x2+y2)(ax+ by)2 
6)(a2 + b2 + c2)(x2+y2+z2)(ax+ by +cz)2 
Bài9:Với giá trị nào của x thì biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhât?
S = 1 - + (3x – 1)2 
Dạng4: Tính giá trị của biểu thức 
Bài1: Tính giá trị của các biểu thức sau :
1) A = 2012 2)B = 4982 3)C= 1272 + 146.127 + 732 
4)D = 93.107 5)E = 20062 – 20052 + 20042 – 20032 + + 22 – 12 
Bài2:
a) Rút gọn biểu thức : A = (x2 +y2+2)3 – (x2 + y2 – 2)3 – 12(x2+y2)2
b)Cho x + y = 1. Tính giá trị của B = x3 +y3 + 3xy 
Bài3:Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A = x2 – y2 – 4x với x + y = 2 
b)B = x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y – 3 với x + y = 4 
c)C = x3 + y3 + 3xy (x2 +y2) + 6x2y2(x +y) với x + y = 1
d)D = 2(x3 +y3) – 3(x2 + y2) với x + y = 1 
e)E = 2x6 + 3x3y3 + y6 + y3 với x3 + y3 = 1.
g)G =a2 (a +1) – b2(b - 1) + ab – 3ab(a – b + 1) 
Bài4:Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 10. Tính a4 + b4 + c4 
Bài5:Cho ba số a, b, c thoả mãn các điều kiện sau :
a + b + c = 6 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính ab + bc + ca 
Bài6:Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Tính giá trị của biểu thức sau :
P = (x -1)2003 + y2004 + (z +1)2005 
Bài7:Cho a + b = 10 và ab = 4. Tính 
1) A = a2 +b2 2)a3 + b3 3)a4 + b4 4) a5 + b5 
Dạng5: Tìm giá trị của biến thoả mãn một điều kiện cho trước 
Bài1:Tìm x,biết:
1) (x – 2)3 – (x- 3)(x2 + 3x + 9) + 6(x +1)2 = 49 
2)x(x +5)(x-5) – (x+2)(x2- 2x + 4)= 42 
3)(x +3)3 – (x +1)3 = 56 
4)x3 + ( x – 1)3 = (2x- 1)3 
5)(3x- 5)(5-3x) + 9(x +1)2 = 30 
6)x(x +5)(x-5)- (x+2)(x2-2x+4) = 42 
Bài2:Tìm x, y, z thoả mãn :
a)9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 
b)x2 + 5y2 – 4xy + 10x – 22y + +26=0
c)x2 + y2 + x – xy + 
d)x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 2- 4y = 0 
e)5x2 + 5y2 + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0 
Bài3:Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn hệ thức sau:
a) x2 – 4xy + 5y2 = 100 b)4x2 +2y2 – 4xy + 20x – 6y + 29 = 0 
Bài4:Tìm số tự nhiên n để:
a)n2 – 4n + 7 là số chính phương b) n2 – 3n – 1 là số chính phương 
Dạng6:Chứng minh đẳng thức 
Bài1:Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc
Bài2:Chứng minh đẳng thức sau:
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a +b)(b+c)(c+a) 
Bài3:Chứng minh các hệ thức sau:
a) (a +b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 
b)(a + b+ c)2 + (b + c – a)2 + (c +a- b)2 + (a + b – c)2 = 4(a2 +b2 + c2) 
c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2 – ab – bc – ca) 
Bài4:Cho a2 – b2 = 4c2. Chứng minh rằng:
(5a- 3b + 8c)(5a- 3b – 8c)= (3a- 5b)2 
Bài5:Cho a, b, c thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng :
a3 + a2c – abc + b2c + b3 = 0 
Bài6:Cho a + b – c = 0. Chứng minh rằng : (a2 +b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4 ) 
Bài7:Chứng minh rằng nếu: và a+ b + c = abc thì 
.
Bài8:Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng : 
(p – a)2 + (p – b)2 + (p –c)2 + p2 = a2 + b2 + c2 
Bài9:Cho x = a2 – bc, y = b2- ac , z = c2 – ab. 
a) Cmr: ( x + y + z)(a + b + c)=ax + by + cz 
b)Cmr: x + y + z 0. Với điều kiện nào của a, b, c thì x + y + z = 0.
Bài10: Cmr nếu : (a2 + b2)(x2 + y2) = ( ax+ by)2 với x, y khác 0 thì:
Bài11:Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2)(x2 + y2 +z2)=(ax + by + cz)2 vỡi, y, z khác 0 thì 
Bài12:Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a + b+ c)2 + a2 + b2 +c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 
b)x4 + y4 + (x +y)4 = 2(x2 +xy + y2)2
Bài13:Chứng minh rằng: a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau :
a)a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+ c)2 = 3(a2 +b2 + c2)
c)(a + b+ c)2 = 3(ab + bc + ca) 
Dạng7: Các bài toán liên quan đến số học
Bài1:Chứng minh rằng các số dạng: 1331; 1030301; 1003003001; .; 
đều là lập phương của một số tự nhiên.
Bài2:Với a, b Z; chứng minh rằng:
a)(a + b) 2 (a2 + b2) 2 b)(a + b)6 (a3 + b3) 6 
Bài3:Với x = và y = . Chứng minh rằng x + y + 1 bao giờ cũng là một số chính phương.
Bài4:Chứng minh rằng :
a) Nếu p và p2 +8 là các số nguyên tố thì P2 + 3 cũng là số nguyên tố.
b)Nếu p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố thì 2p + 1 cũng là số nguyên tố 
Bài5:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.