Chuyên đề Giải bất đẳng thức ở Đại số Khối 8,9 - Năm học 2006-2007 - Nguyễn Ngọc Thủy

A – mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
	Ngày nay sự phát triển của tất cả các nghành khoa học cơ bản cũng như ứng dụng vào tất cả các nghành công nghiệp then chốt như : dầu khí , viễn thông , hàng không , đều không thể thiếu toán học. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng của toán học, đưa lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội .
 Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí . Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ năng tư duy lôgic , một phương pháp luận khoa học.
 Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc , hệ thống bài tập , sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh . Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng , rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy , trí tuệ cho học sinh.
 Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến tức rộng đặc biệt là với học sinh THCS . Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:
Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong , ít khai thác , phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được.
Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế , các bài toán bất đẳng thức thường khó , phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như : cực trị , hàm số ...
 Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm giảng dạy thực tế ở trường phổ thông tôi đã tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc độ nhỏ.
2) Mục đích nghiên cứu.
 a. Đối với giáo viên :
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức
b.Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc , sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập .
- Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đăng thức
3) Phương pháp nghiên cứu 
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK , tài liệu tham khảo của học sinh tại trường.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm , học hỏi đồng nghiệp .
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
4) Nhiệm vụ của đề tài.
 Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
	Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng để làm bài tập .
 Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp .
Chọn lọc , hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải , cách đổi biến.
Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cưc trị, giải một số phương trình dạng đặc biệt .
5)Phạm vi đề tài
Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9.
6) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 
Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập , ôn tập cuối kì , cuối năm, kì thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT .
Phương pháp tiến hành : học sinh có kiến thức cơ bản , đưa ra phương pháp giải , bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp , bài tập tư giải ( Học sinh về nhà tự làm )
7) Dụ kiến kết quả của đề tài
Khi chưa thực hiện đề tài này : học sinh chỉ giải được những bài toán đơn giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm bài tập về bất đẳng thức.
Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức.
B – NộI DUNG
Phần I : áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường thcs
I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Định nghĩa : Cho 2 số a và b ta nói :
 	a lớn hơn b, kí hiệu : a>b a- b>0
 	a nhỏ hơn b, kí hiệu : a<b a-b<o
2. Các tính chất của bất đăng thức :
2.1. a>b b<a
2.2.Tính chất bắc cầu: a>b, b>c a>c
2.3.Tính chất đơn điệu của phếp cộng : cộng cung một số vào hai vế của bất đẳng thức:	a>b a+c>b+c.
2.4.Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho:
a>b, c > d a+c > b+d
 * Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5.Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b , c > d thì a-c > b-d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân :
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương .
 	 a > b , c>0 a.c > b.c 
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm 
 	 a >b , c<0 a.c <b.c 
2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm
Nếu a>b ≥0 , c>d≥ 0 thì ac>bd
2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức 
a>b>o an >bn.
a>b an >bn với n= 2k ( k Z)
2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương
Với m > n > 0 :
- Nếu a >1 thì am > an.
 - Nếu a=1 thì am = an.
 - Nếu 0 <a <1 thì am < an
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
 	Nếu a >b >0 hoặc a< b<0 thì :
 	 hoặc 
 *Chú ý : Ngoài các bất đẳng thức chặt ( a>b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a≥ b) tức là a>b hoặc a=b
 Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ >” ( hoặc dấu “<” ) có thể thay bởi dấu “≥” ( hoặc dấu “ ≤ “ )
3.Các bất đẳng thức cần nhớ
3.1	 a2 ≥ 0; - a2≤ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0
3.2 	 ‌│a‌│ ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a=0
3.3 	 - │a‌│ ≤ a ≤ │a‌│ Đẳng thức xảy ra khi a=0
3.4 	│a+b‌│≤ │a‌│+│b‌│ Đẳng thức xảy ra khi ab≥ 0 
3.5 	│a-b‌│≥ │a‌│-│b‌│ Đẳng thức xảy ra khi a≥ b≥ 0 hoặc a≤ b≤ 0
*Chú ý : Một số bất đẳng thức chứng minh đơn giản hay được áp dụng :
a+b ≥2 với mọi a,b ≥ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b 
 (Bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm)
a2 + b2 ≥ 2ab với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b
(a+b)2 ≥ 4ab hay với mọi a,b . Đẳng thức xảy ra khi a=b
1/a + 1/b ≥ 4/a+b với mọi a,b>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b
a/b+ b/a ≥2 với ab>0 . Đẳng thức xảy ra khi a=b 
(a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với mọi a,b ,x,y. Đẳng thức xảy ra khi a/b=x/y.
II- Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
Phương pháp dùng định nghĩa
1.1. Cơ sở toán học: A ≥B A-B ≥ 0
 Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ 0
 Tương tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 0.
1.2. Ví dụ minh hoạ
 Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với mọi x,y
 Giải: Xét hiệu	2(x2+y2) – (x+y)2
	 = 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2
	 = (x-y)2 .Dấu “=” xảy ra khi x=y
	Vậy 2(x2+y2) . Dấu “=” xảy ra khi x=y
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a thì a3 
Giải: Xét hiệu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) 
	Thừa số (a-b) do giả thiết a 
	Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a
	 = (a+)2+
	Do (a+)2 ; nên a2+ab+b2 
	Vậy a3- b3 suy ra a3 b3
Ví dụ 3: Chứng minh 3x2+y2 + z2 +1 2x(y +z+1)
Giải: Xét hiệu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)
	= 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2
	= (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1)
	= (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2
	Vì (x-y)2 
	Vì (x-z)2 
	Vì (x-1)2 
	Nên: 	(x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 
	Hay 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1) 
	Vậy 3x2+y2 + z2 +1 2x(y +z+1) 	
 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) với a>0 ,b>0
2) x3 + 4x + 1 > 3 x2 với x ≥ 3
3) c2 + d2 +cd ≥ 3ab với a+b = c+d
2)Phương pháp biến đổi tương đương
 	2.1 Cơ sở toán học
	Để chứng minh bất đẳng thức A ta biến đổi tương đương( dựa vào các tính chất của bất đẳng thức ) :
	A 	 C D
	Cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên C D 
Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A
Để dùng các phép biến đổi tương đương ta đều chú ý các bất đẳng thức sau:
(AB)2 = A2 2AB+B2
(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC
 	2.2 Ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a,b,c ta luôn có: a2+b2+c2 ab+bc+ca
	Giải: 	Ta có: a2+b2+c2 ab+bc+ca (1)
	2a2+2b2+2c2 2ab+2bc+2ac
	 2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ac 
	 (a2-2ab+b2) + (b2-2bc+c2) + (c2-2ac+a2) 0
	(a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 0 (2)
Vì 	a-b)2 0 ;
(b-c)2 0 ;
(c-a)2 0 
Nên (2) đúng do đó (1) đúng a,b,c
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a4+b4 a3b+ab3 
Giải: 	 a4+b4 a3b+ab3
	( a4 – a3b)+(b4-ab3) 0
	a3(a-b) – b3(a-b) 0
	 (a-b)(a3-b3) 0
	 (a-b)2(a2+ab+b2) 0
	 (a-b)20
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó
	a4+b4 a3b+ab3 
Ví dụ 3: Chứng minh với a>0 ,b>0
Giải:	 (a2 – ab + b2) ≥ .
(vì a>0, b>0 suy ra a+b>0)
Bất đẳng thức cuối đúng suy ra 
2.3 Chú ý :
- Sẽ mắc sai lầm nếu trong lời giả trên thay các dấu “”bằng các dấu “”
Thật vậy ,nếu (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận được bất đẳng thức (1) có đúng hay không 
-Khi sử dụng phép biến đổi tương đương ,học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ .Vì vậy cần lưu ý các phép biến đổi tương đương có điều kiện ,chẳng hạn như ở ví dụ 3
2.4. Bài tập tự giải :Chứng minh rằng
1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 a(b + c + d + e) với mọi a,b,c,d,e 
2,
3) 
3) Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
3.1. Cơ sở toán học
 	- Xuất phát từ các bất đẳng thức đó biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh
 	- Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức (đó đều ở phần ... uôn có :
 +++³ (*). Dấu bằng xảy ra khi nào ?
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có :
( a1+a2++an )2 = (+++)2 Ê ( +
Bài tập tự giải:
Bài 1: Chứng minh với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì ta có:
a) 
b) 
Bài 2: Cho tam giác ABC vớima; mb; mc là 3 đường trung tuyến ứng với 3 cạnh a, b, c. Chứng minh rằng: 
C. Thực nghiệm sư phạm
Để so sánh hiệu quả của hai phương pháp đã tiến hành thực hiện ở 2 lớp 9A và 9B. Dạy theo phương pháp mới ở 9A, dạy theo phương pháp cũ ở 9B
Sau đây là giáo án tiết dạy thực nghiệm:
Luyện tập về chứng minh bất đẳng thức
A. Mục tiêu
- Học sinh vận dụng được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức để giải quyết một số bài tập về chứng minh bất đẳng thức và các bài tập có liên quan.
- Rèn luyện kỹ năng phát hiện, tìm tòi ra những cách giải mới.
- Rèn luyện kỹ năng lập luận chính xác, tư duy linh hoạt, biến đổi chính xác có hệ thống và lôgic.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên
+ Nội dung bài tập
+ Thước kẻ
2. Học sinh
+ Ôn lại một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
+ Tính chất cơ bản của một bất đẳng thức.
+ Thước kẻ.
C. Tiến trình dạy học
Hoạt động giáo viên
Hoạt động học sinh
Ghi bảng
Hoạt động 1:
Kiểm tra bài cũ
+ HS 1: Nêu một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
+ HS 2: Nêu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Viết dạng tổng quát của bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpxki.
Luyện tập về chứng minh bất đẳng thức
Hoạt động 2:
Bài tập 1
+ Giáo viên gọi một học sinh lên bảng làm bài tập 1
- Em dùng phương pháp nào để chứng minh bất đẳng thức này? Tại sao em lại dùng phương pháp biến đổi tương đương?
+ Giáo viên cho HS nhận xét và sửa chữa.
-Ngoài cách chứng minh trên em còn cách chứng minh nào khác không?
- Khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức cần quan sát kĩ đề bài, yếu tố đề bài cho để chọn cách làm phù hợp.
+ HS làm bài tập
+ HS1: Lên bảng, cả lớp cùng làm
+ HS: Dùng phương pháp biến đổi tương đương
+ Nhận xét bài làm của bạn ở trên bảng rồi chữa vào vở nếu làm sai.
+ HS lên bảng trình bày cách 2
Bài 1: Cho a,b,c³ 0. CMR: 
a3 + b3 + c3³ 3abc
Giải
Cách 1: a3 + b3 + c3³ 3abc
Û a3 + b3 + c3- 3abc ³ 0
Û(a+ b + c)[(a-b)2+(b- c2)+ (c-a)2] ³0
Vì a, b, c ³ 0 ị a+ b+ c ³ 0
(a- b)2 ³0; (b- c)2 ³ 0; (c- a)2 ³ 0
(a+ b + c)[(a-b)2+(b- c2)+ (c-a)2] ³0
hay a3 + b3 + c3³ 3abc
Dấu “=” xảy ra Û a= b=c.
Cách 2: vì a,b,c ³ 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số không âm:
a3 + b3 + c3³ 3
a3 + b3 + c3³ 3abc
Dấu “=” xảy ra Û a= b=c.
Hoạt động 3:
- GV cho HS làm bài tập 2
- Em có nhận xét gì về mỗi thừa số ở vế trái?
- Với những thừa số không âm ta thường áp dụng bất đẳng thức nào?
- Bình phương bất đẳng thức (*) ta được bất đẳng thức nào?
- Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta phải có bất đẳng thức phụ nào?
- Gọi 1 HS lên bảng trình bày, HS cả lớp cùng làm
+ Mỗi thừa số là tổng 2 số không âm
+ Bất đẳng thức Côsi.
+ HS cả lớp áp dụng bất đẳng thức Côsi để làm bài tập 2.
+ Ta có :
 (a+ b)2 ³ 4ab
(b+ c)2 ³ 4bc
(c + a)2 ³ 4ca
+ HS lên bảng làm, cả lớp cùng làm.
Bài 2: Cho a,b, c ³ 0. CMR:
(a+ b)(b+ c)(c+ a)³ 8abc. (*)
Giải
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp hai số dương ta được:
a+ b ³ 2 Û(a+ b)2 ³ 4ab
Tương tự ta có:
b + c³ 2 Û (b+ c)2 ³ 4bc
c+ a ³ 2 Û (c+ a)2 ³ 4ac.
Nhân từng vế 3 đẳng thức trên ta được:
(a+ b)2(b+ c)2(c+ a)2³ 64a2b2c2
Û(a+ b)(b+ c)(c+ a)³ 8abc.
Hoạt động 4: 
Bài tập 3
- Hãy dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức (1)
- GV nhận xét, sửa chữa.
- Em nào có cách giải khác?
- GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.
- GV nhận xét, sửa chữa
- Bất đẳng thức (1) có dạng bất đẳng thức Bunhiacôpxki không?
Hãy chỉ ra từng thừa số trong bất đẳng thức này
Như vậy bài toán có thể giải theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki được hay không?
- GV cho HS cả lớp suy nghĩ ít phút rồi gọi 1 HS khá lên trình bày.
+ 1 HS lên bảng làm bài, HS cả lớp cùng làm sau đó nhận xét phần bài làm của bạn.
+ Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi
+ 1 HS lên bảng làm
+ Cả lớp theo dõi nhận xét cách làm của bạn, đồng thời tìm thêm cách giải mới.
+ Bất đẳng thức (1) có dạng bất đẳng thức Bunhiacôpxki và có các thừa số trong bất đẳng thức là :
Vì vậy bài toán có thể giải theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
+ HS lên bảng trình bày
+ Cả lớp theo dõi nhận xét.
Bài 3: cho a>c, b> c, c> 0. CMR:
(1)
Giải
Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương
Cả 2 vế của (1) đều dương nên bình phương 2 vế ta được (1) tương đương với:
c(c-a ) + c(b-c)+ 2c
2c c2 + (a-c)(b-c)
Û [ c -]2 ³ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng.
Dấu “=” xảy ra Û c=
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi
(1)Û 
Û
Do 0 < c < a,b nên: 0< < 1
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
Ê
Ê
Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức trên ta được: + Ê 1
Dấu “=” xảy ra Û c = 
Cách 3: Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Ta có : []2Ê 
 [()2+()2] [()2+()2]= ab
ị điều phải chứng minh
Dấu “=” xảy ra Û c = 
Hoạt động 5: 
Bài tập 4
Em có nhận xét gì về các số:
p-a; p-b;p – c?
- Với p-a > 0, p-b > 0, p-c > 0 ta có thể sử dụng bất đẳng thức nào?
- GV yêu cầu HS sử dụng bất đẳng thức cho từng cặp số p- a, p-b; p -b, p-c; p-c,p-a. Sau đó gọi 3 HS lên bảng trình bày.
- Hãy thảo luận nhóm trong 2 phút để tìm điều kiện xảy ra dấu “=”?
- Sau khi các nhóm báo cáo kết quả, GV nhận xét cho điểm.
+ Có: p-a > 0, p-b > 0, p- c > 0
+ Ta có thể sử dụng bất đẳng thức với x>0; y>0
HS cả lớp cùng làm, 3 HS lên bảng làm theo yêu cầu của GV.
+ Thảo luận nhóm trong 2 phút sau đó đại diện các nhóm trình bày kết quả.
Bài 4: cho ABC có 3 cạnh là a; b;c và chu vi là 2p = a+ b+ c. Chứng minh rằng:
Giải
Ta có :
p- a = ( b+c >a)
Tương tự: p-b > 0; p-c > 0.
áp dụng bất đẳng thức : 
cho từng cặp số p-a, p-b; p-b,p-c; p-c,p-a ta có:
(1)
Tương tự ta cũng có :
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được:
2(
do đó: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở các bất đẳng thức (1)(2),(3) đồng thời xảy ra nghĩa là :
Û ABC đều.
Hoạt động 6: 
Củng cố
- GV nhận xét, sửa chữa rồi rút ra lưu ý cho HS
- Lưu ý:
+ Khi chứng minh bất đẳng thức cần xét kĩ các điều kiện đề bài cho để áp dụng các phương pháp hợp lí.
+ Trong khi chứng minh cần sử dụng phương pháp tương đương trước tiên để giải toán (Nếu biến đổi đơn giản). Sau mới áp dụng phương pháp khác.
+ Khi giải xong một bài toán cần phân tích để nhìn nhận bài toán với cách giải khác.
Hoạt động 7: 
Hướng dẫn học ở nhà:
+Xem lại các bài tập đã giải
+ Làm bài tập 3 theo phương pháp hình học
Kết quả thực nghiệm
Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm ở 2 lớp 9A và 9B kết hợp việc đi thăm lớp, dự giờ của các giáo viên khác để so sánh, đối chiếu rút ra kết luận sau:
Để so sánh hiệu quả của 2 phương pháp dạy học ta dạy theo phương pháp mới của đề tài ở lớp 9A, đồng thời dạy theo phương pháp cũ ở lớp 9B. Kết quả cho thấy điểm trung bình cộng ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Để có kết quả trên tôi làm cụ thể như sau:
Trước hết, ta đề ra giả thiết thống kê, H0 là “không có sự khác nhau giữa 2 phương pháp”. Sau đó tiến hành kiệm nghiệm giả thiết H0 này.
Ta chọn xác suất sai lầm (Hay mức ý nghĩa của việc kiệm định) là số rất bé,thường lấy 
Ký hiệu kích thước của hai mẫu là: n1; n2 (Lớp 9A: n2; lớp 9B: n1) Mỗi giá trị của một phần tử, của mẫu ứng với một số xếp hạng 1 trở đi, tổng các số xếp ở hai mẫu R1; R2, Các tham số phải tìm là:
U1 = R1 - 
U2 = R2 - 
Nếu n1, n2 lớn (lớn hơn 20) thì tính : M= ; 
Đại lượng kiểm định: U= 
Giá trị tối hạng cho trong bảng sau:
0.05
1.64
0.01
2.33
0.001
3.09
Kết luận : Nếu thì chấp nhận H0
 Nếu thì bác bỏ H0.
Tôi đã tiến hành kiểm tra 2 nhóm học sinh. Nhóm 1 tôi dạy theo phương pháp cũ, nhóm 2 dạy theo đề tài.
Kết quả như sau: (thang điểm 20)
- Nhóm 1: Gồm 22 học sinh có số điểm như sau: 10,15, 8, 19, 11, 12, 14, 7, 6, 16, 9, 11, 13, 7, 11, 12, 17, 10, 13, 12, 14, 9.
- Nhóm 2: Gồm 22 học sinh có số điểm như sau:15, 14, 14, 12, 11, 13, 17, 13, 14, 16, 12, 14, 11, 11, 13, 16, 14, 10, 13, 12, 10, 13.
Có kết luận rằng: Nhóm 2 tốt hơn hay không ? ()
Ta tiến hành lập bảng như sau:
Điểm
Xếp hạng
Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 1
Nhóm 2
6
1
7;7
2,5; 2,5
8
4
9;9
5,5; 5,5
10;10;10
10;10
8,5; 8,5; 8,5
8,5; 8,5
11;11;11
11;11;11
13,5; 13,5; 13,5
13,5; 13,5; 13,5
12;12;12
12;12;12
19,5; 19,5; 19,5
19,5; 19,5; 19,5
13;13
13;13;13;13;13
22,5; 22,5
22,5; 22,5;22,5; 22,5
14;14
14;14;14;14;14
32;32
32;32;32;32
15
15
36,5
36,5
16
16;16
39
39;39
17
17
41,5
41,5
Cộng
R1 = 377,5
R2 = 508
Ta có Un = 315,5; M = 220; = 39,7; U = 2,4
Tính Un theo bảng với thì U = 2,4 > 2,33 = nên giả thiết H0 bị bác bỏ.
Nhóm 2 thực hiện tốt hơn nhóm 1.
D. Kết luận
Với đề tài “ Phát triển năng lực tư duy của học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức” thì nội dung tôi đã trình bày ở trên còn rất hạn hẹp so với toàn bộ chuyên đề về bất đẳng thức. Việc áp dụng một số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán THCS là một vấn đề rộng, là nội dung phong phú và đa dạng. Nhưng trên tôi chỉ trình bày được một số phương pháp, một số bài tập cơ bản nhất trong chương trình toán THCS.
Chắc chắn rằng đây là cuốn tư liệu có thể giúp tôi hiểu một cách sâu sắc hơn, cơ bản hơn trong việc giải toán bất đẳng thức. Hy vọng đây cũng là một cuốn tham khảo nhỏ cho đồng nghiệp. Qua việc việc làm đề tài tôi càng cảm thấy giải toán bất đẳng thức là một hoạt động trí tuệ cao và gian khổ. Nhưng đồng thời tôi càng thêm sáng tỏ nhiều vấn đề mới bổ ích, những ứng dụng sáng tạo , vững tin hơn trong việc giải toán THCS.
Đề tài này được hoàn thành với sự giúp đỡ quý báu của thầy và mong tiếp tục được sự phê bình,đánh giá của thầy.Tuy nhiên đã cố gắng tìm tòi ,nghiên cứu nhưng do trình độ và thời gian có hạn chắn chắn đề tài còn có thiếu xót ,hạn chế , em rất mong được sự góp ý của thầy và của đồng nghiệp để nội dung đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
 Em xin chân thành cảm ơn.
Xác nhận của trường
THCS 
Hiệu trưởng
Hưng yên, tháng 2 năm 2007
 Người thực hiện đề tài
 Nguyễn Ngọc Thuỷ 
E. Tài liệu tham khảo
1) Phương pháp giải toán hình –Trần Văn Kì 
2) Toán nâng cao các chuyên đề đại số 9 –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ 
3) 255 Bài toán hình học chọn lọc –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ
4) Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình –TôngThân 
5) 400 Bài toán đại số chọn lọc –Vũ Dương Thuỵ –Trương Công Thành.
6) 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng .
7) 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán đại số –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng .
8) Giúp học tốt hình học 9 –Nguyễn Bá Kim –Nguyễn Tiến Quang.
9) Các bài toán bất đẳng thức hay và khó –Nguyễn Đễ –Vũ Hoàng Lâm 
10) Bài tập xác suất thống kê -Lê Thiên Hương.