Chuyên đề Dạy tự chọn môn Toán Lớp 8

CHUYÊN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN MƠN TỐN 8
CHUYÊN ĐỀ 1 : ĐƠN THỨC – ĐA THỨC.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số : xn . xm = xn+m.
Quy ước : x1 = x ; x0 = 1 (x≠ 0).
2. Nhân đơn thức với đa thức :
 A.(B + C) = (B + C).A = A.B + A.C
3. Nhân đa thức với đa thức :
 (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG :
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
A = tại x = 16.
B = tại x = 14.
C = tại x = 9
D = tại x = 7. 
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
M = 
N = 
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
A = với x = 2; .
M.N với .Biết rằng:M = ; N = .
Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5:
 a. 
 b. 
Bài 5: Tính giá trị của đa thức:
 biết x+ y = -p, xy = q
 Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
 a. ; biết rằng 2x = a + b + c
 b. ; biết rằng a + b + c = 2p
 Bài 7:
Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:
 ; ; 
 Bài 9: Cho biểu thức: M = . 
Tính M theo a, b, c, biết rằng . 
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.
 Bài 12: Chứng minh rằng: 
 a. chia hết cho 405.
 b. chia hết cho 133. 
 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,, , 
 Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương. 
 ______________________________________________________________________________
 CHUYÊN ĐỀ II : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A. MỤC TIÊU:
- Giúp HS nắm chắc cách giải các dạng phương trình :
+ Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình tích 
+ Phương trình cĩ ẩn ở mẫu thức
+ Phương trình cĩ chứa tham số ; cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
- Rèn luyện cho HS khả năng giải pt thành thạo và biết phân tích ; tổng hợp giải các pt một cách linh hoạt – nhanh – chính xác . Nắm vững phương pháp giải từng dạng pt.
- Giáo dục HS tinh thần tự giác, ham học hỏi và yêu thích mơn Tốn. Biết vận dụng tốn học vào các mơn học khác và áp dụng vào đời sống KH kĩ thuật.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
a) Cách giải : Xét pt : A(x) = B(x) .
Để giải pt này thơng thường người ta sử dụng các phép biến đổi đồng nhất và các phép biến đổi tương đương để đưa pt đã cho về dạng C(x) = 0 
+ Nếu C(x) là một đa thức bậc nhất thì pt cĩ dạng: ax + b = 0 ( a ¹ 0 ) đây là một pt bậc nhất một ẩn. Ta dễ dàng thấy rằng pt cĩ một nghiệm duy nhất : x = -b/a 
+ Nếu C(x) = 0 cĩ dạng 0x + b = 0 thì nghiệm phụ thuộc b
Với b = 0 Þ 0x = 0 : PT thỏa mãn với mọi x.
Với b ¹ 0 Þ 0x = -b : Pt vơ nghiệm
+ Nếu C(x) là một biểu thức phức tạp ta sẽ giải theo thứ tự các bước giải sau:
B1: QĐMT và khử mẫu ( nếu cĩ )
B2: Bỏ dấu ngoặc
B3: Chuyển vế ( Đưa các số hạng cĩ chứa ẩn về vế trái )
B4: Thu gọn mỗi vế
B5: Chia hệ số của ẩn cho 2 vế ( Tìm giá trị của ẩn tức là tìm nghiệm của Pt)
b) Bài tốn: Giải các pt sau :
* Lưu ý: Khơng phải bất cứ pt nào ta cũng giải theo trình tự các bước trên mà ta cĩ thế biến đổi để giải đơn giản hơn.
Ví Dụ: Giải các pt sau:
1) 
Giải: Thêm 2 vào 2 vế của pt ta được pt tương đương:
Û 
Û 
Û x + 2006 = 0 Û x = - 2006
2) 
3) 
c) Các bài tập trong SGK và SBT Tốn 8.
II. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
a) Cách giải: A(x) = B(x) Û C(x) = O
 Û P(x).Q(x) = O 
b) Bài tập: Giải các pt sau:
1) x2 + 5x + 6 = 0 2) x2 + 7x + 2 = 0
3) x2 – x – 12 = 0 4) x2 + 2x + 7 = 0 
5) x3 – x2 – 21x + 45 = 0 Û (x-3)( x2 + 2x – 15 ) = 0
6) 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 Û (2x-1)(x2 – 2x + 3 ) = 0 
7) ( x+3)4 + ( x + 5 )4 = 2 . Đặt x + 4 = y . Ta cĩ pt:
( y – 1 )4 + ( y + 1 )4 = 2 Û ( y2 – 2y + 1 )2 + ( y2 + 2y + 1 )2 = 2
 Û 2y4 + 12y2 = 0 
 Û y2 ( y2 + 6 ) = 0 Û y = 0 
8) Giải pt bậc 4 dạng:
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a ¹ 0 )
Ta đưa về dạng: a( x2 + ) + b ( x + ) + c = 0 . Đặt x + = y 
Ta được pt: ay2 + by + c – 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đĩ suy ra x.
9) Giải pt bậc 4 dạng:
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 ( a ¹ 0 )
Ta đưa về dạng: a( x2 - ) + b ( x - ) + c = 0 . Đặt x - = y 
Ta được pt: ay2 + by + c + 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đĩ suy ra x.
Ví dụ: Giải pt sau : x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 
Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của pt . Chia 2 vế của pt cho x2 ¹ 0 , ta được:
( x2 + ) - 3 ( x + ) + 4 = 0 . Đặt y = x + Þ x2 + = y2 – 2
PT trên trở thành:
( y2 – 2 ) – 3y + 4 = 0 Û y2 – 3y + 2 = 0 
Û ( y – 1)( y – 2) = 0 Û y = 1 ; y = 2
* Với y = 1 Þ x + = 1 Þ x2 – x + 1 = 0 : Vơ nghiệm
* Với y = 2 Þ x + = 2 Þ x2 –2x + 1 = 0 Þ x = 1
III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
a) Cách giải:
+ Chú ý cần cĩ tập xác định của pt và thực hiện theo các bước giải pt bậc nhất . Sau khi tìm giá trị của ẩn ta cần kiểm nghiệm cĩ thuộc TXĐ khơng rồi trả lời kết quả.
b) Bài tập: giải các pt sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
IV. PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ
Ta xét cách giải pt cĩ chứa tham số qua một số ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Giải và biện luận pt sau:
1) 3( m + 1)x + 4 = 2x + 5 ( m + 1 )
Û ( 3m + 1 )x = 5m + 1 
+ Nếu 3m +1 ¹ 0 Þ m ¹ - 1/3 thì pt cĩ một nghiệm x = 
+ Nếu 3m +1 = 0 Þ m = - 1/3 . 
PT trở thành 0x = -5/3 + 1 = - 2/3 : Vơ nghiệm
2) ( m + 2 ) x + 4( 2m + 1 ) = m2 + 4 ( x – 1)
3) 
4) 
V. PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a) Cách giải:
Dạng : 1) ½f(x) ½ = k Û f(x) = ± k với k > 0 . Nếu k < 0 thì pt vơ nghiệm
 2) ½f(x) ½ = g(x) với g(x) < 0 : Pt vơ nghiệm
Với g(x) >0 thì pt Û f(x) = ± g(x) 
 3) ½f(x) ½ = ½ g(x)½ Û f(x) = ± g(x) 
b) Ví dụ: Giải các pt sau:
1) ½2x – 0,5 ½ - 4 = 0 
2) ½2x + 3 ½ = ½x - 1½
3) ½ 5 – x ½ = 3x + 2 
4) ½( x – 1 )2 ½ = ½ x – 2 ½
VI. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PT
a) Giải BT bằng cách lập pt ta cĩ thể làm theo các bước sau:
B1: Lập phương trình:
+ Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số. Đặt điều kiện và đơn vị thích hợp cho ẩn ( nếu cĩ).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Giải phương trình
B3: Kiểm nghiệm và trả lời kết quả.
b) Các dạng tốn:
* Loại tốn Chuyển động: Để làm tốn CĐ cần nắm vững cơng thức:
 S = v.t hoặc V= S / t ; t = S / v 
* Cần phải đọc kĩ đề để hiểu được là CĐ cùng chiều hay ngược chiều ; xuất phát cùng một lúc hay khơng cùng lúc . Cĩ thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng hoặc tĩm tắt dưới dạng đẳng thức để hình dung và giải bài tốn dễ dàng hơn.
b) Ví dụ: 
1) Một người đi ơ tơ khởi hành từ A lúc 6h 15 phút với vận tốc 50km/h . Đến B nghỉ lại 1h30 phút rồi trở về A với vận tốc 40km/h . Về đến A lúc 14h30 phút . Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu ?
Giải: 
Gọi quãng đường AB là x ( x > 0 ; km )
Thời gian lúc đi là: x/50 giờ ; lúc về là: x / 40 giờ.
Vì tổng thời gian lúc đi và về là: 14h30 – ( 6h15 + 1h30) = 6h45 = 6h
Nên ta cĩ pt: Û x = 150 ( Thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB dài 150km.
* Dạng tốn về năng suất ( Tốn về cơng việc đồng thời ; hoặc các vịi nước chảy).
+ Năng suất làm việc = (KL cơng việc làm được): (thời gian tương ứng)
Ví dụ:
1) Hai vịi cùng chảy vào bể thì sau 10h sẽ đầy bể . Nếu mở vịi thứ nhất trong 6h , khĩa lại rồi mở vịi thứ hai trong 3h thì đầy được 2/5 bể.
 Hỏi nếu để mỗi vịi chảy riêng một mình thì sau bao lâu mới đầy bể.
Giải: Gọi thời gian vịi I chảy một mình đầy bể là x ( x > 10 ; giờ )
Năng suất của vịi I là 1/x và của vịi II là: 1/10 – 1/x 
Theo đề bài ta cĩ pt: 6/x + 3( 1/10 - 1/x) = 2/5 Û x = 30
Vậy vịi I chảy một mình đầy bể trong 30 h 
Vịi II chảy một mình đầy bể trong 1;( 1/10 – 1/30 ) = 15h.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG :
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN :
Bài 1: CMR nếu thì trong 3 số x, y, z ít nhất cũng cĩ một cặp số đối nhau.
Bài 2: Tìm x biết rằng: .
Bài 3: Tìm giá trị của k để pt: cĩ nghiệm y = 1.
Bài 4: Tìm giá trị của m để :
 a/ Pt: cĩ no gấp 6 lần no của pt: .
 b/ Pt: cĩ no gấp 18 lần no của pt: .
Bài 5: Giải các PT sau: 
 a/ .
b/ .
 c/ .
Bài 6: Giải các PT sau: 
a/ . b/ .
c/ 	d/ .
Bài 7: Giải các PT sau: 
a/ .
b/ .
Bài 8: Giải các PT sau: 
 a/ . b/ .
 c/ .	 d/ .
Bài 9: Giải các PT sau: 
 a/ . b/ .
 c/ .
 d/ .
Bài 10: Giải các PT sau :
 a) ; b) ; c) ;
 d) ; e) ; g) ;
 h) ; i) ;
Bài 11: Giải các PT sau : 
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ; g) ;
Bài 12: Giải các PT sau :
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ; g) ;
Bài 13: Giải các PT sau :
 a) ; b) ; 
 c) ;	 d) ;
Bài 14: Giải các PT sau :
 a) ; b) ;
 c) ; d) ;
 e) ;	 g) ;
 h) ;	 i) ;
 k) ;	 l) ;
 m) ; 
Bài 15: Giải các PT sau :
 a) ; 	 b) ;
 c) ;	 d) ;
 e) ;	 g) ;
 h) ;	 i) ;
 k) ; l) ;
Bài 16: CMR các PT sau vơ nghiệm: 
 a) ; b) ; c) ;
Bài 17: Giải các PT sau: 
 a) ;	 b) ;
 c) ; d); 
 e) ; g) ;
II. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PT.
Loại tốn Chuyển động: 
1) Một người đi xe đạp , một người đi xe máy , một người đi ơ tơ cùng đi từ A đến B . Họ khởi hành từ A theo thứ tự nĩi trên lúc 6h ; 7h ; 8h . Vận tốc trung bình của họ theo thứ tự trên là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hỏi lúc ơ tơ ở chính giữa vị trí xe đạp và xe máy thì ơ tơ đã cách A bao nhiêu km.
Đáp số: 50km.
2) Một ca nơ xuơi dịng từ bến A lúc 5h 30 phút để đến bến B và nghỉ lại đây 2h15phuts để dỡ hàng , sau đĩ lại quay về A. Đến A lúc 13h45 phút . Tính k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nơ khi nước yên lặng là 24,3km/h và vận tốc dịng nước chảy là 2,7km/h. Đáp số: 72km.
Dạng tốn về năng suất ( Tốn về cơng việc đồng thời ; hoặc các vịi nước chảy).
* Các dạng tốn khác:
1) Một phân số cĩ tử kém mẫu số 8 đơn vị , nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thì được phân số mới bằng 3/4 . Tìm phân số ban đầu.
2) Một hình chữ nhật cĩ chu vi 450m . Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng them 25% thì được hình chữ nhật mới cĩ chu vi khơng đổi. Tính chiều dài chiều rộng của vườn.
3) Một tầu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày bắt được 3 tấn cá. Nhưng thực tế mỗi ngày bắt them được 0.8 tấn nên chẳng những hồn thành sớm 2 ngày mà cịn bắt them được 2 tấn cá. Hỏi mức cá dự định bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
4) Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho II. Tính số hàng trong mỗi kho.
5) Hai vịi nước chảy vào một cái bể thì đầy sau 3h20’ . Người ta cho vịi J chảy trong 2h và vịi II chảy trong 2h thì được 4/5 bể . Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy  ...  Biết thời gian máy I làm ít hơn máy II là 3h20’. Tính thời gian mỗi máy đã cày.
CHUYÊN ĐỀ III:	TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
VẤN ĐỀ I: ĐỊNH LÍ TA LÉT TRONG TAM GIÁC
Định lí Talet cho ta các cặp đoạn thẳng tỉ lệ khi cĩ một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác .
Hệ quả của định lí Ta lét cho ta các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ
Định lí đảo Ta lét dùng để nhận biết 2 đường thẳng song song
* BÀI TẬP:
1) Tam giác ABC cĩ AB= 5cm ; AC= 7cm ; đường trung tuyến AM. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE= 3cm . gọi I là trung điểm AM ; F là giao điểm của EI và AC . Tính độ dài AF.
2) Cho tam giác ABC . Một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB ở F. C/Minh : AD2 = AB . AF.
3) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh AC . gọi I là giao điểm của AM và BD . Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD ở K . C/Minh hệ thức IB2 = ID.IK
4)Chứng minh rằng: Nếu trên các cạnh đối diện với các đỉnh A;B;C của tam giác ABC ta lấy các điểm tương ứng A’ ; B’ ; C’ sao cho Â’ ; BB’ ; CC’ đồng quy thì AB’/B’C . CA’/A’B . BC’/ C’A = 1 ( Đ.Lí Xê-Va)
5) Cho hình thang ABCD ( AB// CD) , M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a) C/minh : IK//AB
b) Đường thẳng IK cắt AD , BC theo thứ tự tại E ; F. Chứng minh rằng: 
EI = IK = KF.
VẤN ĐỀ II: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC.
* Đường phân giác của tam giác cho ta các đoạn thẳng tí lệ .
* Bài tập:
1) Cho tam giác ABC vuơng tại A, đường phân giác AD. Biết DB= 15cm ; DC= 20 cm .Tính các độ dài AB ; AC ; AD.
Giải: Vì AD là tpg nên: AB / AC = DB / DC = 15/20 = ¾ . 
Do đĩ: AB = 3/4AC.
Theo Đ.lí Pitago trong tam giác vuơng ABC cĩ: BC2 = AB2 + AC2 
Vậy AC= 35: 5/4 = 28cm ; AB= 3/4.28= 21cm.
Kẻ DH ⊥ AC ; Ta cĩ DH//AB nên theo định lí Talet’ ta được:
DH/AB = DC/BC Þ DH = 20.21 : 35 = 12cm.
Tam giác ABC vuơng cân tại H nên AD = DH = 12 (cm).
2) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Tpg của gĩc AMB cắt AB ở E , tpg của gĩc AMC cắt AC ở F. Biết ME = MF. C/minh rằng : ABC là tam giác cân.
3) Tam giác ABC cân cĩ AB = AC = 5cm ; BC = 6cm . Các đpg AD ; BE ; CF .
a) Tính độ dài È.
b) Tính diện tích tam giác DEF.
4) Cho tam giác ABC cĩ AB = 6cm ; AC = 9cm ; BC = 10 cm ; đpg trong AC , đpg ngồi AE . Tính độ dài DB ; DC ; EB.
5) Cho tam giác ABC cĩ AB = 12cm ; BC = 15cm ; AC = 18cm. Gọi I là giao điểm các đpg và G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) C/minh rằng : IG // BC.
b) Tính độ dài IG.
6) Cho tam giác ABC cĩ AB = 4cm ; AC = 5cm ; BC = 6cm . Các đpg BD và CE cắt tại I.
a) Tính các độ dài AD ; DC.
b) Tính tỉ số diện tích các tam giác DIE và ABC.
VẤN ĐỀ III: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC
* Ghi nhớ:
+ Định nghĩa về hai tam giác đồng dạng.
+ Dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng:
Hai tam giác thường: ( g-g) ; (C- g – C ); ( C – C – C ) 
Hai tam giác vuơng : ( Gĩc nhọn ) ; ( 2 cgv tỉ lệ ) ; ( Cạnh huyền và Cgv tỉ lệ).
* Bài tốn : 
1) Cho tam giác ABC vuơng tại A , AB < AC , đường phân giác AD. Đường vuơng gĩc với DC tại D cắt AC ở E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng
b) DE = BD.
2) Cho tam giác ABC cĩ AB = 15cm ; AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm . C/minh rằng: a) Tam giác ABD và tam giác ACE đồng dạng.
b) Tam giác IBE và tam giác ICD đồng dạng ( I là giao điểm của BD và CE )
c) IB. ID = IC . IE
3) Cho tam giác ABC vuơng tại A , đường cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm .Gọi D là hình chiều của H trên AC , E là hình chiếu của H trên AB.
a) C/mình rằng: Tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng.
b)Tính diện tích tam giác ADE.
4) Cho tam giác ABC cĩ trực tâm H . gọi M ; N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a)C/minh rằng : Tam giác OMN và tam giác HAB đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài của AH và OM
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . C/minh rằng tam giác HAG và tam giác OMG đồng dạng.
d) C/minh 3 điểm H ; G ; O thẳng hàng và GH = 2GO.
5) Cho hình thang vuơng ABCD ( Â = DÂ= 90° ) cĩ hai đường chéo vuơng gĩc với nhau tại O . AB = 4cm ; CD = 9cm.
a) C/minh rằng các tam giác AOB và DAB đồng dạng.
b) Tính độ dài AB.
c) Tính tỉ số diện tích của tam giác OAB và tam giác OCD.
6) Cho tam giác ABC vuơng tại A ; AB = 1 ; AC = 3 . Trên cạnh AC lấy các điểm D ; E sao cho AD = DE = EC .
a) Tính độ dài BD.
b) C/minh ràng các tam giác BDE và CDB đồng dạng
c) Tính tổng: DÊB + DCÂÂB.
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP :
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một cát tuyến song song với AB lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q.
 a/ CMR : MN = PQ.
 b/ Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. CMR : Đường thẳng EF đi qua trung điểm của AB và DC.
 2) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Đường thẳng d qua G cắt AB,AC lần lượt tại M, N. CMR: .
 3) Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD ở E và cắt BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng: 
 a/ b/ 
 c/ Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG cĩ giá trị khơng đổi.
 4) Cho hình thang ABCD (AB// CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a/ CMR: IK // AB.
b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF.
 5) a/ Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh kia, chúng cắt AB, AC theo thứ tự ở H và K. C/m rằng tổng khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh BC.
 b/ Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng khơng thuộc đoạn thẳng BC.
 6) Cho tam giác đều ABC trọng tâm G, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Đường thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A’, B’, C’. C/m rằng 
 7) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N thay đổi trên BC và AB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đỉnh D luơn cách đều các đoạn AM, CN.
 8) Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên BC. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của M lên AB, AC. Chứng minh tổng MI + MK khơng phụ thuộc vào vị trí của M.
 9) Cho tam giác ABC cĩ phân giác AD. Gọi DE, DF lần lượt là các phân giác của gĩc D của các tam giác ABD và ACD.C/m: AE.BD.CF = BE.CD.AF.
 10) Trên cạnh BC của hình vuơng ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE = 2.Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3.Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính .
 11/ Cho hai tam giác đều ABC và DEF mà A nằm trên cạnh DF, E nằm trên cạnh BC. Gọi I là giao điểm của AC và EF, K là giao điểm của AB và DE. CMR: 
 a) và đồng dạng; và đồng dạng.
 b) DB//CF.
 12/ Một đường thẳng song song với cạnh BC của tam giác ABC cắt AC ở E và cắt đường thẳng song song với AB kẻ từ C ở F. Gọi S là giao điểm của AC và BF. CMR: SC2 = SE .SA.
 13/ Gọi O là điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB ở A1, B1, C1 . CMR: .
 14/ Qua điểm O nằm trong tam giác ABC, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC và BC ở D và E, kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB và BC ở F và K, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB và AC ở M và N.CMR: .
15/ Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của . CMR: .
16/ Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn (AB< AC). Gọi BD là đường phân giác trong của tam giác ABC, dựng đường trung trực của đoạn BD cắt đường thẳng AC tại M. 
CMR: Hai tam giác MAB và MBC đồng dạng.
Cho AD = 4cm và DC = 6cm. Tính MD.
17/ Cho ABC cĩ 3 gĩc nhọn, Đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy M và N sao cho . CMR: 
Các tam giác ABD và ACE đồng dạng. 
Tam giác AMN cân.
18/ Từ điểm D trên cạnh huyền BC của tam giác vuơng ABC, vẽ DE vuơng gĩc với AB tai E và DF vuơng gĩc với AC tại F. CMR:
BE2 + ED2 + DC2 = BD2 + DF2 + FC2 . 
b) DB.DC = AE.BE + AF.CF.
19/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD của tứ giác lồi ABCD. CMR: .
20/ Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuơng gĩc với AB và CF vuơng gĩc với AD. CMR: AB.AE + AD.AF = AC2.
21/ Cho hình vuơng ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
CMR: Tam giác DEF vuơng cân.
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, gọi I là trung điểm EF. CMR: O, C, I thẳng hàng.
22/ Cho hình thoi ABCD cĩ gĩc B tù. Kẻ BM, BN lần lượt vuơng gĩc các cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng , tính các gĩc của hình thoi ABCD.
23/ Cho tam giác ABC, đường phân giác trong của C cắt cạnh AB tại D. CMR: .
24/ Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính .
25/ Cho tam giác ABC cân tại A cĩ gĩc ở đỉnh bằng 200; cạnh đáy là a, cạnh bên là b. 
 CMR: a3 + b3 = 3ab2.
26/ Cho hình vuơng ABCD cĩ độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I.
C/m: tam giác CIN vuơng.
Tính diện tích tam giác CIN theo a.
C/m: tam giác AID cân.
27/ Cho hình vuơng ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia phân giác của các gĩc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và CD tại F. C/m: AM vuơng gĩc EF.
28/ Cho tam giác ABC cĩ . Dựng bên ngồi tam giác đều BCD. C/m: AD2 = AB2 + AC2.
29/ Cho tam giác ABC (BC< AB). Từ C vẽ đường vuơng gĩc với phân giác BE tại F và cắt AB tại K, vẽ trung tuyến BD cắt CK tại G. C/m : DF đi qua trung điểm của GE.
30/ Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ chiều dài đường chéo khơng đổi là d. Hãy tìm hình cĩ diện tích lớn nhất?
31/ Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và x, y, z là độ dài các đường phân giác của tam giác đĩ CMR: .
32/ Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuơng gĩc với AC tại H. Gọi M và K lần lượt là trung điểm của AH và CD. C/m: BM vuơng gĩc MK.
33/ CMR: Trong các tam giác vuơng cĩ chiều cao ứng với cạnh huyền khơng đổi, tam giác vuơng cân cĩ chu vi nhỏ nhất.
34/ Cho tam giác ABC vuơng tại A. Từ một điểm M trong tam giác ta kẻ .Tìm vị trí của M sao cho tổng MI2 + MJ2 + MK2 nhỏ nhất.
35/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F là trung điểm của BC và CD. Đường chéo BD cắt AE và AF tại M và N. Tính SBNFC theo diện tích của hình bình hành đã cho.(SABCD = a2).
36/ Cho tam giác ABC. Về phía ngồi tam giác dựng các hình vuơng ABDE và ACFG. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của EB, BC, CG. C/m rằng: Tam giác IHK vuơng.
37/ Trên các cạnh kéo dài của tam giác ABC ta lấy các đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’ = CA. CMR: Các tam giác ABC và A’B’C’cĩ trọng tâm trùng nhau.
38/ Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt cạnh BC kéo dài về phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1. C/m rằng: .
39/ Cho hình thang ABCD (AB // CD), điểm M nằm trong tứ giác ABCD, vẽ các hình bình hành MDPA, MCQB. C/m rằng PQ // CD.