Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này
- Cách 1 : Truy toán
- Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát
- Cách 3 : Dùng quy nạp toán học
- Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình
- Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học
Chuyên đề đại số 9 dãy số có quy luật ******************* Người biên soạn : Tạ Phạm Hải Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng hà , Thái bình Chú ý : Có bốn cách thông thường để làm loại toán này Cách 1 : Truy toán Cách 2 : Phân tích đánh giá số hạng tổng quát Cách 3 : Dùng quy nạp toán học Cách 4 : Đưa về tính ngiệm của một phương trình Cách 5 : Vận dụng tổng hợp các cách đã học Ví dụ 1 : Cho có 100 dấu căn Chứng minh A không phải là một số tự nhiên Giải : Dễ tháy A > 1 .Sau đây ta chứng minh A < 2 Thật vậy < < ..... < Do vậy ta có 1 < A < 2 , chứng tỏ Aẽ N ( dpcm ) Cách giải này thường được gọi là truy toán Ví dụ 2 : Rút gọn dẫy tính sau Với n là số tự nhiên lớn hơn 1 Giải : Xét số hạng tổng quát Vậy : Trang 2 = = Như vậy cứ cho n một giá trị cụ thể ta lại được một bài toán Cách giải này gọi là cách phân tích đánh giá số hạng tổng quát Ví dụ 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có < 2 Giải : Xét số hạng tổng quát ta có : < = = . Từ đây tiếp tục giải bài toán dễ dàng Ví dụ 4 : Tính giá trị của biểu thức Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn lần Giải : Nhận xét B > 2 Ta thấy : ( B2 – 5 )2 = 13 + B B4 – 10 B2 + 25 = 13 + B B4 – 10 B2 – B + 12 = 0 B4 – 9 B2 – B2 + 9 – B + 3 = 0 B2 ( B – 3 )( B + 3 ) – ( B – 3)( B + 3) – ( B – 3) = 0 ( B – 3)[ B2( B + 3) – ( B + 3) – 1 ] = 0 ( B – 3)[ ( B + 3)( B2 – 1 ) – 1 ] = 0 Vì B > 2 nên B2 – 1 > 3 và B + 3 > 4 nên ( B + 3)( B2 – 1) – 1 > 11 do đó B – 3 = 0 . Vậy B = 3 Trang 3 Cách giải của ví dụ 4 gọi là đưa về tính ngiệm của một phương trình Ví dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức Giải : Xét số hạng tổng quát : với k là số nguyên dương , ta có : Vì : Vậy : Nên : áp dung vào bài Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có < 3 Giải : Ta chứng minh bằng quy nạp toán học Với n = 1 ta có D1 = < 3 Đúng Trang 4 Giả sử bài toán đúng với n = k , tức là ta có : < 3 là đúng Ta c/m bài toán cũng đúng với n = k + 1 = Vì Bk < 3 ( Giả thiết quy nạp ) , nên Bk+1 = < < 3 Vậy bài toán đúng với n = k + 1 . Do đó bài toán đúng với mọi n Ví dụ 7 : Cho biểu thức ở đó trên tử có 100 dấu căn , dưới mẫu có 99 dấu căn . Chứng minh A > Giải : Đặt : có biểu thức có n dấu căn Ta có : ị và Vậy : Sau đây ta c/m < 2 bằng truy toán Ta có < 2 đúng < < ..... < 2 Trang 5 Vậy : Từ đó A > ( dpcm ) Bài toán trên đã giải bằng vận dụng tổng hợp các kiến thức đã học Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : < 3 Giải : Đặt : Với n > k và n và k là những số nguyên dương . Ta chứng minh Phản chứng : Giả sử thì theo cách đặt trên ta có : mà nên với mọi số nguyên dương k , tức là phải đúng . điều này vô lý . Vậy là sai . Vậy là đúng . Do đó . Ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 9 : Tìm ngiệm tự nhiên của phương trình Giải : Dễ thấy x = 0 là một ngiệm Nếu x = 1 , ta có : Trang 6 Vậy x = 1 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 2 , ta có : Vậy x = 2 không phải là ngiệm của phương trình Nếu x = 3 , xét căn trong cùng ta có : do x = 3 nên Căn tiếp theo sẽ là : và quá trình như vậy cứ lặp lại cho đến căn ngoài cùng , ta có : đúng . Vậy x = 3 là một ngiệm của phương trình Nếu x > 3 , thì x2 = x + 2x x2 – 3x = 0 x = 0 hoặc x = 3 Nhưng do x > 3 nên trong trường hợp này phương trình vô ngiệm Vậy phương trình chỉ có hai ngiệm là 0 và 3 Trang 7 Bài tập luyện tập dãy tính có quy luật Bài 1 : Tính giá trị các biểu thức sau a ) vô hạn dấu căn b ) vô hạn dấu căn Bài 2 : Chứng minh rằng : a ) b ) Bài tập 3 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : ; Với n ẻ Z+ Bài tập 4 : Chứng minh rằng với mọi số nguyen dương n Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương và n > 1 , ta đều có Bài 6 : Rút gọn các biểu thức sau a ) b ) Bài 7 : Chứng minh rằng không phải là một số tự nhiên . Trang 8 Bài 8 : Dùng quy nạp toán học chứng minh rằng : , với mọi n ẻ Z+ Bài 9 : Cho 100 số : là 100 số tự nhiên sao cho ta có : Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau Bài 10 : Chứng minh bất đẳng thức Bài 11 : Chứng minh rằng : Bài 12 : Chứng minh rằng : , " n ẻ N và n > 1 không phải là một số nguyên . Bài 13 : a ) Chưng minh rằng " n ẻ Z+ ta đều có b ) áp dụng chứng minh Bài 14 : Tìm ngiệm nguyên của phương trình vế trái có y dấu căn
Tài liệu đính kèm: