Chuyển đề Dãy số cách đều Đại số Lớp 6 - Tạ Phạm Hải - Trường THCS thị trấn Hưng Hà

Chuyên đề toán 6 : d·y sè c¸ch ®Òu
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên trường THCS thị trấn Hưng hà Thái bình
A.Lý thuyết cần nhớ 
Xét bài tập : Hãy liệt kê 10 phần tử liên tiếp đầu tiên của tập hợp :
A = { x ϵ N / x = 2n + 1 , n ϵ N }
B = { x ϵ N / x = 3n + 1 , n ϵ N }
Giải :
	Ta có A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; ... }
	B = { 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; 28 ; ... }
 Cách viết tập A , B liệt kê như trên ta được một dãy số. Khi đó x = 2n + 1 là
công thức để viết tập A ; x = 3n + 1 là công thức để viết tập B , chúng được gọi là số hạng tổng quát của dãy A , B . Vì hiệu giữa hai số hạng liên tiếp bất kì của mỗi dãy (số lớn trừ số nhỏ ) luôn là một số không đổi , nên các dãy trên được gọi là các dãy số cách đều . Hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy gọi là khoảng cách của dãy , kí hiệu là d.
 1 ) Ví dụ : Các dãy số sau đây gọi là các dãy số cách đều h÷u h¹n
D·y sè 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,  , n cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ n víi n ϵ N , d = 1
D·y sè 1 , 4 , 7 , 10 , 13 ,  , 3n + 1cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ 3n + 1 víi n ϵ N , d = 3
D·y sè cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ víi n ϵ N , d = 1/2 
 v . v .
2 ) Một số công thức của dãy cách đều :
Xét dãy cách đều h÷u h¹n tổng quát : a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ... ; an 
kho¶ng c¸ch lµ d = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...
 n lµ sè sè h¹ng cña d·y 
an là sè h¹ng cuèi cïng cña d·y
 Ta có một số công thức sau đây ( đã học ở tiểu học )
Số hạng thứ n của dãy được tính bằng công thức : an = a1 + ( n – 1)d
	Số số hạng của dãy được tính bằng công thức : 
 Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: . Ta viết:
 Do đó ta có công thức tính tổng của dãy cách đều là : 
Chó ý : Nếu c¸c sè h¹ng cña d·y lµ c¸c sè tù nhiªn th× d·y cßn ®­îc gäi lµ d·y ®ång d­ 
B. BÀI TẬP
Bài 1 : trong các dãy số sau đây dãy số nào là dãy số cách đều
1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; ...
1; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; 16 ; ...
1 ; 4 ; 9 ; 25 ; 36 ; 49 ; ...
Bài 2 : Viết các dãy số biết số hạng tổng quát của nó là :
an = 3n + 2 , n ϵ N
an = 5n + 1 , n ϵ N
Bài 3 : a) Tính tổng các số tự nhiên lẻ có hai chữ số
	 b) Tính tổng các số tự nhiên chẵn có hai chữ số
	 c) Tính tổng 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 2008
Bài 4 : Cho tổng S = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2009
Tổng trên có bao nhiêu số hạng ?
Tính giá trị của tổng S
Để viết tất cả các số hạng của tổng trên thì dùng hết bao nhiêu chữ số ?
Bài 5 : Cho dãy số 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; ... 
Tìm số hạng tổng quát và viết thêm ba số hạng tiếp theo của dãy
Tính tổng của 100 số hạng liên tiêp đầu tiên của dãy
 Tính tổng 1 + 5 + 9 + 13 + ... + 9999 
Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy thì dùng bao nhiêu chữ số ?
Chữ số thứ 1000 khi viết liên tiếp các số hạng của dẫy trên là chữ số nào ?
Bài 6 : Cho dãy số 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; ...
Tìm số hạng tổng quát và viết tiếp ba số hạng tiếp theo của dãy
Số hạng thứ 2008 của dãy bằng bao nhiêu ?
Tính tổng 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy
Viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy phải dùng hết bao nhiêu chữ số ?
Bài 7 : TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10
Lêi gi¶i
Ngoµi c¸ch gi¶i b×nh th­êng theo c«ng thøc , ta cã thÓ gi¶i nh­ sau :
Ta ®­a c¸c sè h¹ng cña tæng trªn vÒ d¹ng sè tù nhiªn b»ng c¸ch nh©n c¶ hai vÕ víi 100, khi ®ã ta cã: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 . 
VËy : E = 4954,05
Bài 8 : Cho dãy số 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ... với n Î Z+ 
Số hạng thứ 200 của dãy là số nào ?
Để viết 100 số hạng liên tiếp đầu tiên của dãy thì cần bao nhiêu chữ số ?
Tính tổng 300 số hạng liên tiêp đầu tiên của dãy
Ch÷ sè thø 1000 cña d·y lµ ch÷ sè nµo ?
Bài 9 : Tìm số tự nhiên x biết rằng 
(x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) + + ( x + 100 ) = 5750
1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +  + ( 2x + 1 ) = 225
Bài 10 : a ) Hãy viết số 108 thành tổng của 9 số tự nhiên liên tiếp
	 b ) Hãy viết số 100 thành tổng của 10 số hạng liên tiếp của dãy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ...
 c ) Ph©n tÝch sè 8030028 thµnh tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp.
Lêi gi¶i câu c :
Gäi a lµ sè tù nhiªn ch½n, ta cã tæng cña 2004 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp lµ: 
S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = .
 Khi ®ã ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 a + 2003 = 4007 ⟺ a = 2004
 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010 
Bài 11: Tìm chữ số thứ 1000 khi viét liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy : 1; 3; 5; 7;...
Giải :
	Dãy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 có 5 chữ số
	Dãy 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; ... ; 97 ; 99 có : ( + 1 ).2 = 45.2 = 90 chữ số
	Dãy 101 ; 103 ; 105 ; 107 ; ... ; 997 ; 999 có : ( + 1 ).3 = 450.3 = 1350 c/số
	Như vậy viết từ 1 đến 99 dùng hết 5 + 90 = 95 chữ số nên còn lại 999 – 95 = 904 chữ số nữa là đến chữ số thứ 1000 cần tìm . Ta thấy viết từ 101 đến 999 dùng hết 1350 chữ số nên chữ số thứ 1000 cần tìm phải nằm trong các số hạng có 3 chữ số của dẫy đã cho.
	Vì 904 chia cho 3 bằng 301dư 1 nên chữ số thứ 1000 của dẫy đã cho là chữ số thứ 2 của số hạng thứ 302 của dẫy 101 ; 103 ; 105 ; ... ; 997 ; 999.
Đó là số : 101 + ( 302 – 1).2 = 703 ( theo công thức )
	Vây chữ số thứ 1000 của dẫy 1 ; 3 ; 5 ; 7 ;... là 0 
Bài 12 : Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không?
1 ; 1 + 2 ; 1 + 2 + 3 ; 1 + 2 + 3 + 4 ; ...
H­íng dÉn: V× c«ng thøc tæng qu¸t ®Ó tÝnh tæng 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n lµ : 
Sè h¹ng thø n cña d·y ®· cho b»ng: 
NÕu sè h¹ng thø n cña d·y cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 2 th× n(n + 1) tËn cïng b»ng 4. §iÒu nµy v« lÝ v× n(n + 1) chØ tËn cïng b»ng 0, hoÆc 2, hoÆc 6. 
Bài 13: a) Viết liên tiếp các số hạng của dãy số tự nhiên từ 1 đến 100 tạo thành một số A. Tính tổng các chữ số của A
	b) Cũng hỏi như trên nếu viết từ 1 đến 1000000
Hướng dẫn: a) ta bổ sung thêm chữ số 0 vào vị trí đầu tiên của dãy số (không làm thay đổi kết quả). Tạm chưa xét số 100. Từ 0 đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp: 0 và 99; 1 và 98; 2 và 97; mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 18. Tổng các chữ số của 50 cặp bằng: 18.50 = 900. Thêm số 100 có tổng các chữ số bằng 1. ĐS: 901
b) Tương tự: ĐS: 27000001 
 Bµi 14 : ( Viết dẫy số biết tổng của nó )
H·y viÕt sè 108 thµnh tæng cña mét d·y c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp 
H·y viÕt sè 100 thµnh tæng cña mét d·y c¸c sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp 
 c. Hãy viết số 5050 dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp
Gi¶i
Gi¶ sö 108 viÕt ®­îc thµnh tæng cña k sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ :
( n + 1 ) + ( n + 2 ) + ( n + 3 ) +  + ( n + k ) = 108 ,víi n Î N .
¸p dông c«ng thøc tÝnh tæng vÕ tr¸i ta cã 
[( n + 1) + ( n + k )].k : 2 = 108 hay ( 2n + k + 1)k = 216. VËy 2n + k + 1 vµ k ®Òu lµ c¸c ­íc cña 216 víi k < 2n + k + 1.
	Ta cã : 216 = 1.216 = 2.108 = 3.72 = 4.54 = 6.36 = 8.27 = 9.24 = 12.18 = 24.9 = 
Ta l¹i thÊy nÕu k ch½n th× 2n + k + 1 lÎ vµ nÕu k lÎ th× 2n + k + 1 ch½n nªn chØ cÇn xÐt nh÷ng ph©n tÝch 216 thµnh tÝch hai thõa sè ch½n lÎ kh¸c nhau .
NÕu k = 1 th× kh«ng tháa m·n v× lêi gi¶i kh«ng cã ý nghÜa
NÕu k = 3 th× 2n + k + 1 = 72 Û 2n + 4 = 72 Û 2n = 68 Û n = 34 vµ ta cã ph©n tÝch lµ : 108 = 35 + 36 + 37 ®óng
NÕu k = 8 th× 2n + k + 1 = 27 Û 2n + 9 = 27 Û 2n = 18 Û n= 9 vµ ta cã ph©n tÝch lµ : 108 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 ®óng
NÕu k = 9 th× 2n + k + 1 = 24 Û 2n + 10 = 24 Û 2n = 14 Û n =7 vµ ta cã ph©n tÝch lµ : 108 = 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 ®óng 
VËy bµi to¸n cã 3 ®¸p sè nh­ trªn
Gi¶ sö 100 viÕt ®­îc thµnh mét d·y c¸c sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp lµ : 
(n +2) + (n + 4) + (n + 6) +  + (n + 2k) = 100 , víi n lµ sè nguyªn lÎ vµ n > - 2 , k Î N
Û kn + 2.( 1 + 2 + 3 + 4 +  + k ) = 100 Û kn + 2.k.(k + 1 ) : 2 = 100 
Û nk + k.(k + 1 ) = 100 Û k.( n + k + 1 ) = 100 . VËy k vµ n + k + 1 lµ c¸c ­íc cña 100 víi n + k + 1 > k > 1. 
Ta cã 100 = 2.50 = 4.25 = 5.20 = 10.10
NÕu k = 2 th× n + k + 1 = 50 Û n = 47 vµ ta cã ph©n tÝch lµ 100 = 49 + 51
NÕu k = 4 th× n + k + 1 = 25 Û n = 20 . Lo¹i v× n ch½n
NÕu k = 5 th× n + k + 1 = 20 Û n = 14 .Lo¹i v× n ch½n
NÕu k = 10 th× n + k + 1 = 10 Û n = - 1. Vµ ta cã ph©n tÝch lµ : 
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 ®óng
Vµ ta cã hai ®¸p sè nh­ trªn .
Bài 15 : Cho
 Tính ?
Hướng dẫn: Số số hạng của S1,..., S99 theo thứ tự bằng 2; 3; 4; 5; 100
ĐS: S100 = 515100
Bài 16 : Viết dãy số 1 , 2 , 3 , 4 , , hết m chữ số . Biết m . Tìm 
Bài 17 : Tìm n và a biết 1 + 2 + 3 + 4 +  + n = 
Bài 18 : 
 Cho 2009 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thảng hàng . Cứ nối hai điểm bất kì ta được một đường thẳng . Hỏi nối được bao nhiêu đường thẳng với 2009 điểm đã cho ?
Bµi 19 : Trªn b¶ng cña líp häc cã viÕt d·y sè tù nhiªn lµ :
	1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,..., 1969 , 1970
	H·y xãa 2 sè h¹ng bÊt k× cña d·y vµ thay vµo ®ã bëi hiÖu cña chóng . Chøng minh r»ng cã lµm nh­ vËy bao nhiªu lÇn th× còng kh«ng bao giê ®¹t ®­îc kÕt qu¶ lµ sè cßn l¹i trªn b¶ng chØ lµ ch÷ sè 0
Bµi 20 : Hai ng­êi ch¬i mét trß ch¬i nh­ sau : Ng­êi thø nhÊt ®äc lªn mét sè bÊt k× trong c¸c sè tõ 1 ®Õn 10 ; ng­êi thø 2 céng thªm vµo sè ®ã mét sè nµo ®ã kh«ng lín h¬n 10 råi ®äc lªn tæng t×m ®­îc ; tiÕp theo ng­êi thø nhÊt l¹i céng thªm vµo tæng ®ã mét sè nµo ®ã trong nhãm tõ 1 ®Òn 10 råi l¹i ®äc lªn tæng t×m ®­îc ; vµ cø nh­ thÕ tiÕp tôc m·i . Ng­êi th¾ng cuéc ch¬i lµ ng­êi ®äc lªn sè 100 tr­íc . Hái ng­êi thø nhÊt ph¶i ®äc lªn sè nµo ®Ó ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ?