Chuyên đề Đại số lớp 8 - Phân tích đa thức thành nhân tử

 CHUYÊN Đề
 Phân Tích đa thức thành nhân tử
 Đ1: PP đặt nhân tử chung
Đ2: PP dùng hằng đẳng thức. (đã học trong SGK)
 Đ3: PP nhóm nhiều hạng tử
 Đ4: PP tách hạng tử hoặc thêm bớt.
 Dạng1: f(x) = ax2 + bx +c	
 VD1: f(x) = x2 + x - 6	
 C1, = x2 + 3x - 2x - 6 	
 = x(x + 3) - 2(x + 3)	 	 = (x+ 3)(x - 2)
 C2, = x2 - 9 + x + 3
 =(x - 3)(x + 3) +(x + 3)
 =(x +3)(x - 2)
 C3, = (x2 + 6x + 9)- 5x - 15
 =(x + 3)2 - 5(x + 3)
 =(x +3)(x + 3 - 5)
 =(x + 3)(x - 2) 
 1 1 1
 C4, =x2 + 2.x.--- + --- - --- - 6
 2 4 4
 1 25 
 =(x + ---)2 - ---- 
 2 4 
 1 5 1 5
 =(x + --- - ----)(x + --- + ----)
 2 2 2 2
 =(x - 2)(x - 3)
 C5, =x2 - 4x + 4 + 5x - 10
 =(x - 2)2 + 5(x - 2)
 =(x - 2)(x - 2 + 5)
 =(x - 2)(x + 3)
 Nhận xét: * Mục đích làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
 * Có nhiều cách tách hoặc thêm bớt hạng tử.
 * Cách 1 và cách 4 dể phát hiện.
 Tổng quát: f(x) = ax2 + bx + c
 C1, Tách b = b1 + b2 Thoả mản b1.b2 = a.c
 C2, B1, Đưa f(x) về dạng: x2 + bx + c
 b b b2
 B2, f(x) = x2 + 2.x.--- +(----)2 - ---- + c
 2 2 4
 b b2 - 4c b2 - 4c
 = (x + ---- )2 - -------- (Nếu --------- = m2)
 2 4 4
 b b
 = (x + --- - m)(x + --- + m)
 2 2
 Chú ý: Nếu mọi (b1,b2) không thoả mãn b1.b2 = ac
 b2 - 4c
 Hoặc ---------- không viết được dưới dạng m2 thì f(x) không pt được
 4
VD2: Ptđt x2 + 4x - 5
 C1, = x2 + 5x - x - 5 C2, = x2 + 2.2x + 4 - 9
 = x(x + 5) - (x + 5) = (x + 2)2 - 32
 = (x + 5)(x - 1) = (x + 5)(x - 1)
PVD: f(x) = x2 + 4x - 3 
 C1, Có ac = 1.(- 3) = -1.3 C2, = x2 + 4x + 4 - 7
 Nhưng 1 + (-3) = -2≠ 4 = b = (x + 2)2 - 7
 - 1 + 3 = 2 ≠ 4 = b Số 7 không phải số chính phương
 Nên f(x) không pt được trên Q
Dạng2: f(x) là đa thức bậc cao (kết hợp với pp khác)
 Bài tập: 
Ptđt thành nhân tử:
a, x2 - 2x - 3 	= (x – 3)( x + 1)
b, 4x2 - 4x – 3 	= (2x – 3)(2x + 1)
c, 6x2 - 11x + 3 	= (3x – 1)(2x – 3) 
d, 2x2 + 3x - 27 	= (x – 3)(2x + 9) 
e, 3x2 - 8x + 4 	= (x – 2)(3x – 2)
g, 2x2 -5xy + 3y2 	= (x – 3y)(2x – y) 
h, 2x2 - 5xy - 3y2 	= (x – 3y)(2x + y)
i, 2x2 + 5xy - 7y2	= (2x + 7)(x – y)
 Đ5: PP đổi biến.
 VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 Đặt : x2 = t
 f(t) = t2 - 8t + 12
 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x2
 f(x) = (x2 - 2)(x2 - 6)
 VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12 
 = (x2 + x)2 + 4(x2 +x) - 12 Đặt x2 + x = t
 f(t) = t2 + 4t - 12
 = ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2 + x
 f(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 6)
 VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 
 C1, Đặt x2 + x = t
 f(t) = (t + 1)(t + 2) -12
 = t2 + 3t + 2 - 12
 = t2 + 5t - 2t - 10
 = t(t + 5) - 2(t + 5)
 = (t + 5)(t - 2)
 f(x) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)
 C2, Đặt x2 + x + 1 = y
 f(t) = t(t +1) - 12
 = t2 + t -12 
 = (t - 3)(t + 4)
 f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
 = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)
 Tổng quát:
 B1, Viết f(x) = f(g(x)) = f(t) Với t = g(x) 
 B2 Ptđt f(t) Thành nhân tử
 B3, Thay t = g(x) vào f(t), rồi pt f(x)
 Bài tập:
 Phân tích đa thức thành nhân tử
a, (x2 + 3x + 1)2 + 2x2 + 6x – 13	
= (x2 + 3x + 1)2 +2(x2 + 3x + 1) – 15
= t2 + 2t – 15
= (t + 5)(t – 3)
= (x2 + 3x + 6) (x2 + 3x - 2)
b, x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 
= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) +128
= t (t + 24) + 128
= t2 + 24t + 128
= t2 + 16t + 8t + 128
= (t + 16)(t + 8)
= (x2 + 10x + 16) (x2 + 10x + 8)
= (x + 8)(x + 2)( x2 + 10x + 8)
c, (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 3
= t (t + 2) – 3
= t2 + 2t – 3
= (t + 1)2 – 4
= (t + 3)(t – 1)
= (x2 + 5x + 7)(x2 + 5x + 3)
d, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
C1, 
Đặt = t 
ị t2 = - 2
= x2 (t2 + 6t + 9) = x2 (t + 3)2
= 
C2, ( thêm bớt dùng hằng đẳng thức (a + b + c)2 )
	 = x4 + 9x2 + 1 + 6x3 – 2x2 – 6x 
 Đ6: Phân tích đa thức thành nhân tử 	 bằng cách nhẩm nghiệm 
 Kiến thức liên quan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
 (có thể áp dụng đ/v bậc cao hơn)
*1, f(x) có nghiệm x = α ⇔ f(α) = 0 " f(x) = (x - α).g(x)
*2, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện được với ∀ x ẻ R )
x
a
b
c
d
α
a1
= a
b1
= a α +b
c1
= b1 α +c
d1
= c1 α +d
 	 Ư(d)
*3, Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng -------- 
 	 Ư+(a)
*4, Đặc biệt:
 	f(x) có tổng các hệ số bằng không ⇔ f(1) = 0
	f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ
 ⇔ f(- 1) = 0
 VD1: f(x) = x3 + 3x2 - 4
 F(x) có tổng các hệ số bằng 0 f(x) có nghiệm x = 1
x
1
3
0
- 4
1
1
4
4
0
 Vậy f(x) = (x - 1)(x2 + 4x + 4)
 = (x - 1)(x + 2)2
Trình bày:
 C1, x3 + 3x2 - 4 C2, x3 + 3x2 - 4
 = x3 - x2 + 4x2- 4 	= x3 - 1 + 3x2 -3
 = x2(x - 1) + 4(x2 - 1) 	= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2-1)
 = (x - 1)(x2 + 4x + 4) 	= (x - 1)(x2 + x + 1 + 3x + 3)
 = (x - 1)(x + 2)2 	= (x - 1)(x + 2)2
VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3
 Ư(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }
 Ư(2) = { 1 ; 2 } 1 3
 Nghiệm hữu tỉ nếu có là: ± 1 ; ± --- ; ± 3 ; ± ----
2
 Thử nghiệm: f(1/2) = 0 " f(x) có nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1)
Trình bày:
 f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3
 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3
 = x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)
 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
	Bài tập 
Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử
a, x3 - x2 - 4 	= ( x – 2 )( x2 + x + 2 ) 
b, 2x3 – 5x2 – x + 6	= ( x + 1 )( x – 2 )( 2x – 3 )
c, 3x3 + 5x2 - 5x + 1	= ( 3x – 1 )( x2 + 2x – 1 )
d, 2x4 - 3x3 + 2x2 – 1 	= ( x – 1 )( 2x + 1 )( x2 – x + 1 )
e, 2x4 + x3 - 4x2 + x – 6	= ( x + 2 )( 2x – 3 )( x2 + 1 )
f, x5 - 6x3 + x2 + 8x – 4	= ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x2 + x + 1)
g, x4 + 2x3 + x2 + x + 1	= ( x + 1 )( x2 + x - 1 )
h, 2x3 – 3x2 + 3x - 1	= ( 2x – 1 )( x2 - x + 1 )
i, 3x3 – 14x2 + 4x + 3	= ( 3x + 1 )( x2 - 5x + 3 )
 Đ7 : PP hệ số bất định
Tổng quát : dạng bậc ba
 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (1)
 = (x + m)(ax2 + b' x + c' ) (*)
 = ax3 + (am + b' )x2 + (b' + c' )x + c'm (2)
 Đồng nhất hai đa thức (1) và (2) ta có :
 am + b' = b
 b' + c' = c " b'= ? , c'= ? , m = ?.
 c'm = d
 Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích.
Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trước giá trị của c’ và m sao cho c’m = d
 VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 (1)
 = (x + m)(x2 + b'x + c' )
 = x3 + (m + b')x2 + (b'm + c' )x + c'm (2)
 m + b' = 4 m = 1 m = 2
 Từ (1) và (2) " b'm + c' = 5 " b' = 3 Hoặc c’ = 1
 c'm = 2 c' = 2 b’ = 2
 f(x) = (x + 1)(x2 + 3x + 2) Hoặc 	f(x) = (x + 2)(x2 + 2x + 1) 
 = (x + 1)2(x + 2) 	 = (x + 1)2(x + 2)
Trình bày : f(x) = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2
 = x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1)
 = (x + 1)(x2 + 3x + 2)
 = (x + 1)2(x + 2)
 ( Bài này có thể dùng pp nhẩm nghiệm.)
VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1
 Đa thức không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng :
 (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ( Nên chọn b = 1 , d = 1 )
 = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 Đồng nhất đa thức ta có :
 a+c = 6	 
 ac + b + d = 7 " a = b = d = 1 ; c = 5
 ad + bc = 6
 bd = 1
Trình bày : f(x) = x4 + x3 + x2 + 5x3 + 5x2 + 5x + x2 + x + 1
 = x2(x2 + x + 1) + 5x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)(x2 + 5x +1)
 Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trường hợp bất đắc dĩ
 Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt .
 	 Bài tập
Bài 1: Pt đt thành nhân tử 
a, x4 + 324	= ( x2+ 6x + 18 )( x2- 6x + 18 )
b, 4x4 + 4x3 +5x2 + 2x + 1	= ( 2x2+ x + 1)2
c, x4 - 8x + 63	= ( 1x2+ 4x + 9 )( 1x2- 4x + 7 )
d, 3x2 + 22xy +11x +37x +7y2 + 10
	= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )
	Hướng dẫn : d, dạng pt là : (ax + by + c)(a'x + b'y + c' )
Bài2: Pt đt thành nhân tử
a, 4x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1	= (x2 + 3x + 1)2 
b, 3x2 – 22xy – 4 x + 8y + 7y2 + 1
	= (3x – y – 1)(x – 7y – 1)
c, 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
	= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1)
 Đ8 : PP giá trị riêng.
Tổng quát: B1, Đoán nghiệm của đt f(x) chẳng hạn x = a, b, ...
 B2, f(x) = k(x - a)(x - b)..... (1)
 B3, Chọn x = m (bất kì ) Thay vào (1) tìm được k "dạng pt.
VD1: f(x) = x3 - 19x + 30 
 Nhẩm nghiẹm được x = 2 ; 3 ; - 5
 F(x) = k(x - 2)(x - 3)(x + 5)
 Thay x = 0 vào (1) ta có 30 = k.(-2)(-3)( 5)
 30 = 30 k " k = 1
 f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 5)
VD2: P = ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a)
 Nếu thay a = b " P = 0 " P có nhân tử (a - b)
 b = c " P = 0 " P .............. (b - c)
 c = a " P = 0 " P ................ (c = a)
 " P = k(a - b)(b - c)(c - a) (1)
 Thay (a; b; c) = (0; 1; 2) vào (1) 
 " 0 + (-2) + 0 = k(-1)(-1).2 " k = -1
P = - (a - b)(b - c)(c - a)
 VD3: P = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
 Thay a = - b " P = 0 " P chứa nhân tử (a + b) 
 Tương tự P chứa nhân tử (b + c)(c + a)
 P = k(a + b)(b + c)(c + a)
 Đa thức đúng với mọi (a; b; c ) nên cũng đúng với (1; 0; 1)
 " 6 = k.2 " k = 3
 " P = 3(a + b)(b + c)(c + a) 
Chú ý: PP này thường dùng đối với đa thức nhiều biến và các biến có vai trò tương đương. 
	Bài tập : 
Bài1: Pt đt thành nhân tử 
a, a(b + c - a)2+ b(c + a - b)2+ c(a + b - c)2+ (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) 
	= 4abc 
b, a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c 
	= - 2(m – a)(m –b)(m – c)
	= (a – b – c)(b – a – c)(c – a – b)
c, x2(y – z) + y2(z – x) + z2 (x – y) 
	= (y – z)( x – y)( x – z)
d, 
Bài 2
Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ac + bd = 0 . C/m : ab + cd = 0
	Giải
Ta có : ab + cd = ab.1 + cd.1 = ab(c2 + d2) + cd(a2 + b2) 
	= abc2 + abd2 +a2cd + b2cd = (ac + bd)(ad + bc) = 0. (ad + bc) = 0
	Bài tập tổng hợp 
Pt đt thành nhân tử 
	( Sử dụng hằng đẳng thức, hoặc pp hệ số bất định )
a, x4+ 4 	= ( x2 + 2 )2 – 4x2 
	= ( x2+ 2x + 2 )( x2- 2x + 2)
b, x4+ 64	= ( x2 + 8 )2 – 16x2 
	= (x2+ 4x + 8 )( x2- 4x + 8)
c, ( x2 – 8 )2 + 36	= x4 – 16x2 + 100
	= ( x2 + 10 )2 – 36x2
	= ( x2+ 6x + 10 )( x2- x + 10 )
d, 64x4 + 1	= ( 8x2 + 1)2 – 16x2
	= ( 8x2+ 4x + 1 )( 8x2- 4x + 1)
e, (1 + x2)2 – 4x(1 – x2)	= (1 - x2)2 + 4x2 – 4x(1 – x2)
	= [(1 – x2) – 2x]2
	= (x2 + 2x – 1)2
 ( e, Có thể khai triển thành đa thức đối xứng )
Tài liệu tham khảo : Phát triẻn ĐS 8 _ BDHS giỏi ĐS 8