Chuyên đề Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lý Thales Hình học Lớp 8 - Đào Tam

CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 
NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES 
 ĐÀO TAM 
( GV khoa Toán, ĐH Vinh) 
1. Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng. 
Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bước sau: 
- Vẽ đường thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là 
đường thẳng a. 
- Vẽ các đường thẳng BM và CN song song với nhau sao cho M, N thuộc a. 
- Chứng minh: ( )1BM AM
CN AN
= 
Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh bằng cách sau: 
C1
N
A
C
B
M
 Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM //C1NB nên theo định 
lí Thales trong tam giác AC1N ta có ( )
1
2BM AM
C N AN
= . 
 Từ các hệ thức (1) và (2) suy ra: 
1
BM BM
CN C N
= . Từ đó CN = C1N suy ra hai 
điểm C và C1 trùng nhau. Tức là A, B, C thẳng hàng. 
Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bước sau: 
- Vẽ đường thẳng a đi qua điểm B sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng 
khác nhau với bờ là a. 
- Vẽ AM , AN song song với nhau sao cho các điểm M, N thuộc a. 
- Chứng minh AM BM
CN BN
= . 
N
A
C
B
M
Bạn đọc có thể kiểm tra tính đúng đắn của cách 2 bằng cách sử dụng định lí 
Thales. 
2. Một vài ví dụ áp dụng 
Bài 1: Cho tam giác ABC . Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N lần 
lượt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của đoạn MN 
và BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng. 
Lời giải: 
J
I
N
A
B
C
M
Do I, J nằmg về một phía của đường thẳng AB và MI // BJ nên hai bước đầu của 
của cách 1 đã thỏa mãn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng chỉ cần 
chứng minh MI AM
MJ AB
= . Thật vậy, do MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng 
cho tam giác ABC ta có: 
1
2
1
2
MNAM MN MI
AB BC BJBC
= = = (đccm). 
Chú ý: Có thể diễn đạt bài toán 1 như bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN, 
các cạnh bên cắt nhau tại A; Các điểm I, J là các trung điểm cùa hai cạnh đáy thì 
A, I, J thẳng hàng. 
Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm các đường phân giác trong của tam 
giác đó; O1 là giao điểm của AO với phân giác ngoài của góc B. Giả sử các điểm 
H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là điểm đối xứng của K Qua 
tâm O. Chứng minh rằng A, I, H thẳng hàng. 
Lời giải: 
S
I
HK
O
O1
A
B C
Do các điểm I, H nằm cùng vể một phía đường AO và OI // O1H nên theo cách 1 
để lập luận A, I, H thẳng hàng thì cần chứng tỏ 
1 1
OI AO
O H AO
= . Thật vậy, gọi các 
điểm M và N là các hình chiếu của O và O1 lên đường thẳng AB. Khi đó: 
1 1 1 1
AO AM OM OK OI
AO AN O N O H O H
= = = = ( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N và 
tính chất đường phân giác. 
3. Một vài bài toán làm thêm 
Bài 3 : Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và tâm đường 
tròn ngoại tiếp tam giác đó thẳng hàng. ( Đường thẳng đi qua ba điểm đó được gọi 
là đường thẳng Euler). 
Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I) 
và có các đường chéo cắt nhau tại P. Chứng minh rằng các điểm P, O, I thẳng 
hàng. 
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm thuộc nửa 
đường tròn. Tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại P. Gọi H là hình chiếu của 
M trên AB. Chứng minh rằng P, B và trung điểm N của MH thẳng hàng. 
Bài 6: Cho hình vuông ABCD . Vẽ tia Cx là tia đối của tia CD. Vẽ tia Cy là phân 
giác của góc BCx. Trên tia Cy lấy điểm O bất kì ( O khác C), vẽ đường tròn bán 
kính OC (OC > OB) cắt các tia Cx, Cy, CB tại H, M K. Gọi Q là giao điểm của 
CB và DM. Chứng minh rằng A, Q, H thẳng hàng.