Chuyên đề – Các bài toán về biểu thức hữu tỉ

CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ
Ngày soạn:
A. Nhắc lại kiến thức:
Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ
a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0
b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung 
B. Bài tập:
Dạng 1: Biểu thức không có tính quy luật
Bài 1: Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn A
b) tìm x để A = 0
c) Tìm giá trị của A khi 
Giải
a)Đkxđ : 
 x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0
(x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 
Tử : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) 
= (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) 
Với x 1; x 3 thì 
A = 
b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2
c) 
* Với x = 4 thì A = 
* Với x = - 3 thì A không xác định
2. Bài 2:
Cho biểu thức B = 
a) Rút gọn B
b) Tìm x để B > 0
Giải 
a) Phân tích mẫu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) 
= (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1)
Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 và x 
b) Phân tích tử, ta có:
 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15)
= (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5)
Với x 3 và x 
Thì B = = 
c) B > 0 > 0 
3. Bài 3 
Cho biểu thức C = 
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên
Giải
a) Đkxđ: x 1
C = 
b) B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì có giá trị nguyên 
 2x – 1 là Ư(2) 
Đối chiếu Đkxđ thì chỉ có x = 0 thoả mãn
4. Bài 4
Cho biểu thức D = 
a) Rút gọn biểu thức D
b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên
c) Tìm giá trị của D khi x = 6
Giải
a) Nếu x + 2 > 0 thì = x + 2 nên 
D = = 
Nếu x + 2 < 0 thì = - (x + 2) nên
D = = 
Nếu x + 2 = 0 x = -2 thì biểu thức D không xác định
b) Để D có giá trị nguyên thì hoặc có giá trị nguyên
+) có giá trị nguyên 
Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2
+) có giá trị nguyên 
c) Khia x = 6 x > - 2 nên D = = 
Bài tập về nhà
Bài 1:
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 0; A > 0
Bài 2:
Cho biểu thức B = 
a) Rút gọn B
b) Tìm số nguyên y để có giá trị nguyên
c) Tìm số nguyên y để B 1
* Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật
Bài 1: Rút gọn các biểu thức
a) A = 
Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm ra quy luật
Ta có = Nên
A = 
b) B = 
Ta có Nên
B = 
c) C = = 
 = 50.
d) D = = 
 = 
Bài 2: 
a) Cho A = ; B = . Tính 
Ta có
A = 
 = = n
b) A = ; B = 1 + 
Tính A : B
Giải
A = 
Bài tập về nhà
Rút gọn các biểu thức sau:
a) b) 
c) 
* Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện của biến
Bài 1: Cho . TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
Bài 2: Cho (1); (2). 
 Tính giá trị biểu thức D = 
Từ (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)
Từ (2) suy ra 
 (4)
Thay (3) vào (4) ta có D = 4 – 2.0 = 4
Bài 3
a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A = 
Ta có : 
A = 
 = 
b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = 
Từ a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự ta có: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên
B = (1)
a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc 
 a3 + b3 + c3 = 3abc (2)
Thay (2) vào (1) ta có B = (Vì abc 0)
c) Cho a, b, c từng đôi một khác nhau thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Rút gọn biểu thức C = 
Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0
 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c)
Tương tự: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b)
C = 
 = 
* Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện của biến
1. Bài 1: Cho (1); (2).
Chứng minh rằng: a + b + c = abc 
Từ (1) suy ra 
 a + b + c = abc
2. Bài 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn . 
Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. 
Tõ ®ã suy ra r»ng :.
 Ta cã : Û Û 
Tõ ®ã suy ra : 
 Þ .
3. Bài 3: Cho (1)
chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau
Từ (1) 
 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 đpcm
4. Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 và a b
 Chứng minh rằng: 
Từ GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2
 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b)
 (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) 
5. Bài 5: Cho a + b + c = x + y + z = ; Chứng minh rằng: ax2 + by2 + cz2 = 0
Từ x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2
 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = 
 = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)
Từ a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2)
Từ ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vào (1); ta có: 
ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0
6. Bài 6: Cho ; 
chứng minh: 
Từ 
 (1) (Nhân hai vế với )
Tương tự, ta có: (2) ; (3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
7. Bài 7: 
Cho a + b + c = 0; chứng minh: = 9 (1)
Đặt 
(1) 
Ta có: (2)
Ta lại có: 
= (3)
Tương tự, ta có: (4) ; (5)
Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có: 
 + = 3 + (a3 + b3 + c3 ) (6)
Từ a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ?
Thay (7) vào (6) ta có: + . 3abc = 3 + 6 = 9
Bài tập về nhà:
1) cho ; tính giá trị biểu thức A = 
HD: A = ; vận dụng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = 
3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: 
4) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; . 
Chứng minh xy + yz + xz = 0