Chuyên đề Các bài toán số học và đại số THCS - Chu Văn Thuấn

Các bài toán số học và đại số PTCS
Chương I Số NGUYÊN
I . KIếN THứC CƠ BảN
1 . Chia có dư và chia hết
 a , Cho hai số nguyên a và b (b ≠ 0 ) tất có duy nhất một cặp số nguyên ( ) sao cho
 a = bq + r ,ở đó 0≤ r < b , q gọi là thương , r gọi là số dư trong phép chia a cho b .
 Nếu r = 0 nghĩa là a = b. q thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b
 kí hiệu a b . Ta còn nói b chia hết cho a hay b là ước của a .
b , Một số tính chất cần lưu ý : 
 + Nếu a b và b a thì a ± b 
 + Nếu a b và b c thì a c
 + Nếu a m và b m thì a ± b m
c , Một số dấu hiệu chia hết :
 - Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là chẵn
- Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chỡ số tận cùng là 0 hoặc 5
- Một số chia hét cho 3 ( cho 9 ) khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3 ( cho 9)
2 . Ước chung lớn nhất – Bội chung nhỏ nhất 
a , Số lớn nhất của các ước chung của là ước chung lớn nhất của n số
 Kí hiệu () 
 Ước chung lớn nhất của n số chia hết cho ước số chung bất kì của n số đó
b , Số dương nhỏ nhất trong các bội số chung của gọi là bội chung nhỏ nhất của n số đó 
Kí hiệu 
Bội chung nhỏ nhất của n số là ước của bội chung bất kì của n số đó
c , Các số nguyên gọi là các số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1
d , Một số kết quả cần lưu ý : 
+ Nếu ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của n số bằng phương pháp phân tích ra thừa số 
+ Nếu và (; c ) = 1 thì b c
+ Nếu (a ; c ) = 1 thì (ab; c ) = (b ; c)
Do đó nếu (; c ) ; (; c ) ;  ; (; c ) = 1 thì () = 1
+ 
+ Nếu và ( m ; n ) = 1 ( mọi i ≠ j ) thì 
3 . Số nguyên tố – Hợp số 
a , Số tự nhiên lớn hơn 1 có hai ước là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố . Số tự nhiên lớn hơn 1 không là số nguyên tố gọi là hợp số
b , Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất ( không kể thứ tự các thừa số )
c , Ước nhỏ nhaqát lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố
d , Tích của các thừa số chia hết cho số nguyên tố p thì tất có một thừa số chia hết cho số p
II . Một số bài toán và phương pháp giải :
1 . Chia hết và chia có dư :
Bài toán 1 : Một số chia hết cho 7 thì dư 6 , chia cho 8 dư 5 .Hỏi số đó chia cho 56 thì dư bao nhiêu ?
Phân tích tìm lời giải :
Để tìm số dư r khi chia số nguyên a cho số nguyên b , ta tìm cách biểu diễn 
a = b.q + r với 0 ≤ r < 
Giải : 
Cách 1 : Gọi số bị chia là a 
 Từ giả thiết ta có a = 7.q1 + 6 và a = 8. q2 + 5 ( q1 ; q2 Z ) 
 Do đó 8. a = 56.q1 + 48 và 7. a = 56. q2 + 35
 Suy ra a = 56 (q1 - q2 ) + 13 
 Vậy số dư là 13
Cách 2 : Từ a = 7.q1 + 6 = 8. q2 + 5 ta có 7. q1 - 7. q2 = q2 - 1 7
 Vậy q2 - 1 = 7.t ( t Z ) hay q2 = 7.t + 1 
 Thay vào ta được a = 56.t + 13 
 Suy ra số dư là 13 
Bài toán 2 : Khi chia số nguyên a cho 3 dư 2 ; chia 8 cho dư 4 . Hỏi số dư khi chia số a cho 48 ?
Giải : Theo giả thiết ta có : a = 3.q1 + 2 = 8. q2 + 4
 Do đó q2 - 2 = 9 . q2 – 3. q1 = 3.(3. q2 - q1 )	 3
 Vậy q2 - 2 = 3 .t (( t Z) 
 Hay q2 = 3 .t + 2 . Thay vào a ta được a = 24.t + 20 
 Vì t Z nên có hai khả năng : t = 2.k hoặc t = 2.k + 1 
 Với t = 2k thì a = 48 k + 20 . Số dư là 20 
 Với t = 2k + 1 thì a = 48k + 44 . Số dư là 44
Vậy số dư là 20 hoặc 44
Bài toán 3 : Kí hiệu BSx là một bội số nào đó của số nguyên x .
a , Chứng minh rằng : a = Bsb thì = Bsb + ( a ; r Z )
b , Tìm số dư trong phép chia cho 9
Giải : 
a , Vì a = BS b + r nên a – r = Bs b . 
Ta lại có : -= 
b , Ta có : Theo ý a ta có :
 mà 
Nên hay 
Do đó 
Vậy số dư cần tìm là 1
Bài toán 4 : Chia số 1993 cho một số tự nhiên a ta được thương là 30 .
Tìm số chi a và số dư trong phép chia này ?
Giải : Gọi r là số dư của phép chia . Theo giả thiết ta có : a = 30a + r trong đó 
0 < r < a
Do đó : 0 < 1993 – 30a < a nghĩa là 30a < 1993 và 1993 < 31a 
Hay a 
Vậy a = 65 hoặc 66
Khi a = 65 ta có r = 43
Khi a = 66 ta có r = 13
Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu hai số nguyên a và b chia cho số nguyên c mà cùng cho 
một số dư r thì hiệu a – b chia hết cho c .
Giải : Vì a và b chia cho số c cùng có số dư r nên ta có : 
 a = c.q + r và b = c. t + r 
do đó a – b = c . ( q – t ) c
Bài toán 6 : Chứng minh rằng tồn tại số chỉ gồm chữ số 1 và 0 chia hết cho 1993 . 
Giải : Xét 1994 số sau : 1;11;111; ; 
Trong 1994 số đó tất cả có hai số có hiệu chia hết cho 1993 
Hiệu hai số đó chỉ gồm hai chữ 1 và 0 .
Vậy tồn tại số chỉ gồm hai chữ số 1 và 0 chia hết cho 1993 .
 Khai thác kết quả : Ta thấy hiệu hai số nói trên là số có dạng : 
Tích hai thừa số 111 và chia hết cho 1993 mà (, 1993 ) = 1 
Nên 111 1993 
Vậy ta có kết quả mạnh hơn : tồn tại số chỉ toàn chữ số 1 chia hết cho 1993
Bài toán 7 : Thêm vào bên trái của số 1986 một chữ số và thêm vào bên phải số ấy một chữ số để được số mới chia hết cho 45 
Giải : Gọi chữ số thêm vào bên phải là x và số thêm vào bên trái là y , ta có số là : 45
Vì 45 = 5.9 và ƯCLN(5;9) = 1 Nên 45 khi và chỉ khi 5 và 9 
Để 5 phải có y =0 hoăc y = 5
Với y = 0 để 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 0 9 Vậy x = 3
Với y = 5 để 9 phải có : x + 1 + 9 + 8 + 6 + 5 9 Vậy x = 7 
Do đó số cần tìm là 319860 và 719865
Bài tập tương tự :
Bài tập 1 : Tổng của hai số là 253 . Chia số lớn cho số nhỏ được thương là 5 dư 7 . Tìm hai số đó ?
Bài 2 : Trong một phép chia , số bị chia bằng 155 , và số dư bằng 12 . Tìm số chia và thương ?
Bài 3 : 
2 . Ước chung lớn nhất – Bội chung nhỏ nhất : 
Bài toán 8 : Một xí nghiệp có 3 phân xưởng . Phân xưởng thứ nhất có 99 công nhân , phân xưởng thứ hai có 63 công nhân , phân xưởng thứ 3 có 72 công nhân . Trong đợt học tập chính trị toàn xí nghiệp , công nhân được chia thành từng tổ sao cho mỗi người ở mỗi phân xưởng được chia đều cho mỗi tổ . Có thể chia được bao nhiêu tổ ? 
Giải: Vì số người ở mỗi phân xưởng được chia đều cho mỗi tổ , nên số người ở mỗi phân xưởng đều chia hết cho số tổ . Do đó số tổ là ƯC (99;63 và 72 ) , Số tổ nhiều nhất tương ứng với ƯCLN(99;63 và 72 )
Ta có : 99 = 32.11 ; 63 = 32.7 ; 72 = 23 . 32
Vậy ƯCLN( 63 ; 72 ; 99 ) = 9 
Do đó ta có thể chia được nhiều nhất là 9 tổ 
Bài toán 9 : Có ba chiếc thuyền , thuyền thứa nhất cứ 6 ngày cặp bến một lần , thuyền thứ hai cứ 5 ngày cặp bến một lần và thuyền thứ ba 10 ngày . Nếu ba thuyền cùng cặp bến một lần thì sau mấy ngày thuyền thứ nhất cùng cặp bến với thuyền thứ hai , thuyền thứ nhất với thuyền thứ ba , thuyền thứ hai với thuyền thứ ba và cả ba thuyền cùng cặp bến một lần nữa ? 
Giải: Vì thuyền thứ nhất cứ 6 ngày cặp bến một lần nên số ngày để thuyền thứ nhất cặp bến là B(6)
Tương tự thuyền thứ hai là B(5) , thuyền thứ ba là B( 10)
Do đó số ngày thuyền thứ nhất và thuyền thứ hai lại cùng cặp bến là BCNN(6;5) = 30 
Số ngày của thuyền thứ hai và thuyền thứ ba lại cùng cặp bến là BCNN( 5;10) = 10
Số ngày thuyền thứ nhất với thuyền thứ ba lại cùng cặp bến là BCNN( 6; 10 ) = 30 
Số ngày cả ba thuyền cùng cặp bến lại lần nữa là BCNN( 5;6 Và 10 ) = 30
Bài toán 10 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất , biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 2 , chia cho 4 dư 3 , chia cho 5 dư 4 
Giải : Gọi số cần tìm là x , thì x + 1 chia hết cho 3 ; 4 và 5 
Vì x là số tự nhiên nhỏ nhất nên x + 1 là BCNN ( 3; 4 và 5 ) = 60
Vậy số x cần tìm là 60 – 1 = 59 
Bài toán 11 : Chứng minh rằng nếu các số nguyên a ; b ; q ; r thoả mãn a = b . q + r thì ƯCLN(a;b) = ƯCLN ( b ; r )
Giải : Gọi d = ƯCLN(a ; b ) và d’ = ƯCLN (b ; r ) 
Ta có a d và b d mà a = b . q + r nên r = a – b . q Suy ra r d ( vì a d và b .q d )
Do đó d là ước chung của b và r Suy ra d’ tương đương d
Tương tự ta có d’ là ước chung của a và b Suy ra d tương đương với d’
Suy ra d = d’
Hay ƯCLN( a ; b ) = ƯCLN ( b ; r )
TA Có THể Sử DụNG BàI TOáN TRÊN Để GIảI BàI TOáN SAU :
Tìm ƯCLN của hai số a và b theo thuật toán Ơclit :
Với a ; b là các số nguyên nếu một hai số là ước của số kia chẳng hạn a b thì ƯƠLN ( a;b) = b
Nếu trường hợp trên không xảy ra , ta thực hiên một dãy các phép chia có dư 
 ( sau một số hữu hạn phép chia , số dư )
Ta có ƯCLN (a ; b ) = ƯCLN ( b ; r ) = = ƯCLN() = 
Bài toán 12 : Tìm ƯCLN của hai số a = 2n + 3n và b = 2n+1 + 3n+1 với n là số tự nhiên 
Giải: Gọi d = ƯCLN ( a ; b ) ta có a d và b d nên b – 2a = 2n+1 + 3n+1 – 2 (2n + 3n ) = 3n d 
Tương tự ta có 2n d 
Từ đó suy ra d là ước chung của 2n và 3n mà ƯCLN( 2n ; 3n ) = 1
Vậy d = 1 hay ƯCLN ( a ; b ) = 1 
Bài toán 13 : Tìm hai số nguyên dương a và b biết rằng ƯCLN (a ; b ) = 6 . BCNN ( a ;b ) = 36
Giải : Do ƯCLN (a ; b ) = 6 nên ta có a 6 . m ; b = 6 . n với m , n là ccác số nguyên dương và ƯCLN( m , n ) =1 
Mà a . b = ƯCLN ( a ; b ) . BCNN (a ; b ) do đó 6m . 6n = 36 .6 
Suy ra m.n =6 ( bài toán đưa về tìm hai số nguyên tố cùng nhau biết tích của chúng bằng 1)
Ta có 6 = 6 .1 = 2 .3 
Bởi vậy , với m < n thì m = 1 ; n = 6 hoặc m = 2 ; n = 3 
Vậy hai số cần tìm là 6 và 36 hoặc 12 và 18 .
3 . Số nguyên tố :
Bài toán 14 : Số nào gồm 4 chữ số giống nhau mà chỉ có hai ước nguyên tố 
Giải : Gọi số có 4 chữ số giống nhau có dạng là ( 1 a 9 )
Mà = a . 1111 = a . 101 . 11
Vì 11 và 101 là hai số nguyên tố lớn hơn 9 nên số chỉ có hai ước số nguyên tố khi và chỉ khi a = 1 
Vậy số cần tìm là 1111
Bài toán 15 : Tìm tất cả các ước số của 100 
Giải : Phân tích số 100 thành tích các thừa số nguyên tố , ta được 100 = 2.2.5.5 = 22.52
Các ước của luỹ thừa của 2 là 1;2;22
Các ước của luỹ thừa của 5 là 1 ; 5 ; 52 
Lần lượt lấy tích các số 1;5;25 với các số 1;2;4 ta được ước số của 100 là 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 ; 100
Bài toán 16 : Tímố nguyên tố p sao cho p+ 2 ; p + 10 cũng là số nguyên tố 
Giải : Với p = 3 ta có p + 2 = 5 ; p + 10 = 13 đều là các số nguyên tố 
Vậy p = 3 là một nghiệm 
 Với p và p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 
Vậy p chia cho 3 dư1 hoặc 2
Nếu p cho 3 dư 1 thì p + 2 chia hết cho 3 mà p+ 2 > 3 nên p + 2 không là số nguyên tố ( tráI với điều kiện giả thiết ) 
Nếu p chia cho 3 dư 2 thì p + 1 chia hết cho 3 do đó p + 10 chia hết cho 3 và p + 10 > 3 nên p + 10 không là số nguyên tố , không thoả mãn điều kiện
Vậy bài toán có một nghiệm duy nhất là p = 3 
Bài toán 17 : Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì số n4 + 4 là hợp số 
Giải : Ta có : n4 + 4 = ( n4 + 4.n2 + 4 ) – (2.n)2 = ( n2 + 2 )2 – ( 2n)2 = ( n2 – 2 n + 2 )( n2 + 2n + 2 )
Với n > 1 thì n2 + 2n + 2 > n2 – 2n + 2 > 1`
Do đó n4 + 4 có nhiều hơn hai ước số ( dương )
Vậy n4 + 4 là hợp số
Bài toán 18 : Tìm số nguyên tố p sao cho 2p + 1 là lập phương của một số tự nhiên 
Giải: Gỉa sử có số nguyên tố p thoả mãn 2p + 1 = n3 ( n N ) khi đó : 2p = n3 – 1 = ( n – 1 )( n2 + n + 1 ) chia hết cho 2 
Nếu n chẵn thì n – 1 lẻ và n 2 + n + 1 lẻ do đó 2p = ( n – 1 )( n2 + n + 1 ) lẻ ( vô lí )
Vậy n lẻ Suy ra ( n – 1 ) chia hết cho 2 
Tứ đó ta có p = có hai ước số  ... 
để x nguyên dương phải có = t với t nguyên , hay y = 2t 
Thay vào x ta có : x = -4t + 24 – t hay x = 24 -5t 
Ta được nghiệm nguyên của phương trình là 
Để được nghiệm nguyên dương phải có 
Vậy t = 1; 2 ; 3 ; 4 . Tương ứng với 4 nghiệm là (19 ; 2 ) ; ( 14 ; 4 ) ; ( 9 ; 6 ); ( 4 ; 8 )
Bài toán 20 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 6 = xy – y
Giải : x2 + 6 = xy – y 
Vì 7 là số nguyên tố nên các ước của 7 là -1 ; 1 ; - 7 ; 7 . Do đó có 4 trường hợp xảy ra : 
Giải các hệ phương trình trênta có 4 nghiệm : ( 2 ; 10 ) ; ( 10 ; -6 ) ; ( 8 ; 10 ) ; ( -6 ; -6 )
Bài toán 21 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 4x2 + 5y2 = 145
Giải: Từ phương trình ban đầu ta có : 4x2 = 145 – 5y2 =5( 29 – y2 ) chia hết cho 5
Mà CLN( 4 ; 5 ) = 1 do đó x2 chia hết cho 5 vì 5 là số nguyên tố nên x chia hết cho 5
Vậy x = 5t ( t Z ) 
Thay vào phương trình ban đầu ta được 100t2 + 5y = 145 
Suy ra 100t2 145 do đó t2 1
Vậy t2 =0 hoặc t2 = 1 
Với t2 = 0 thì 5y2 = 145 hay y 2 = 29 phươngtrình này không có nghiệm nguyên 
Với t 2 = 1 thì ta được x = - 5 và 5 ; y = -3 và 3
Phương trình trên có 4 nghiệm nguyên : ( 5 ; 3 ) ; ( 5 ; - 3 ) ; ( -5 ; 3 ) ; ( -5 ; - 3 )
Bài toán 22 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình :
Giải: Từ (2) ta có xy = 1+ z2 > 0 Suy ra x ; y cùng dấu 
 Mà x + y = 2 > 0 nên x > 0 ; y > 0 
Do đó x = y = 0
Thay vào (2) ta được z2 = 0 hay z = 0 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1 ; y = 1 ; z = 0
Bài toán 23 : Tră m trâu trăm cỏ ;Trâu đứng ăn năm trâu nằm ăn ba ; lụ khụ trâu già ba con ăn một bó . Hỏi số trâu mỗi loại ? 
Giải: Gọi x ; y ; z tương ứng là số trâu nằm , trău đứng , trâu già ( x ; y ;z là nguyên dương ) , ta có hệ phương trình sau :
 Từ (1) ta có z = 100 – x – y , thế vào (1) ta được : 14x + 8y = 200 hay 7x + 4y = 100(3)
Bài toán đưa về phương trình nghiệm nguyên dương của phương trình (3) 
Từ (3) ta có 7x = 100 – 4y = 4( 25 – y) 4
Vì ƯCLN (7 ; 4 ) = 1 hay x = 4t ( với t nguyê dương ) 
Thay vào (3) ta được 28t + 4y = 100 hay y = 25 -7t 
Để y nguyên dương thì t =1 ; t = 2 ; t = 3 
Tương ứng có 3 nghiêm ( x ; y ;z ) là ( 4 ; 18 ; 78 ) ; ( 8 ; 11 ; 81 ) ; ( 12 ; 4 ; 84 )
5 . Một phương pháp đăc biệt :
5.1 Phương pháp giả thiết tạm :
Bài toán 24 : Vừa gà vừa chó , bó lại cho tròn : ba mươi sáu con , một trăm chân chẵn . Tính số gà , số chó ? 
Giải: 
Cách 1 : Gỉa sử tất cả ba mươi sáu con đều là gà thì số chân là 2 .36 = 72 (chân )
 Số chân bị thiếu hụt là 100 – 72 = 28 (chân ) 
 Số chân này là của chó , mỗi con còn thiếu 2 chân 
 Vậy số chó là 28 : 2 = 14 (con ) và số gà là 36 – 14 = 22 (con ) 
Cách 2 : Gỉa sử tất cả 36 con đều là chó 
Thì số chân của 36 con là 36 . 4 = 144 ( chân )
 Số chân thừa ra là 144 – 100 = 44 (chân)
Số chân thừa ra là của gà , vì mỗi con tính thừa ra 2 chân 
Vậy số con gà là 44 : 2 = 22 ( con ) và số con chó là 36 – 22 = 14 ( con ) 
Bài toán 25 : Có 40 tờ giấy bạc gồm 4 loại : 10 nghìn ; 5nghìn ; 2 nghìn ; 1 nghìn ; với tổng số tiền là 110 nghìn đồng .Tính số tờ mỗi loại ? Biết rằng số tiền của loại 10 nghìn đồng gấp đôi loại 1 nghì đồng , còn số tiền loại 5 nghìn đồng bằng số tiền loại 2 nghìn đồng .
Giải: Vì số tiền loai 10 nghìn đồng gấp số tiền loại 1 nghìn đồng nên số tiền loại 1 nghìn gấp 5 lần loại 10 nghìn . Dođó ta có các nhóm , mỗi nhóm gồm 5 tờ 1nghìn và 1 tờ 10 nghìn ta gọi là nhóm I . Tương tự có ccá nhóm , mỗi nhóm gồm 2 tờ 5 nghìn và 5 tờ 2 nghìn gọi là nhóm II . Mỗi nhóm I có 6 tờ gồm 15 nghìn và nhóm II Có 7 tờ gồm 20 nghìn trung bình mỗi tờ nhóm I là nghìn . Ta giả sử mỗi tờ nhóm II là nghìn , thế thì 40 tờ ứng với số tiền là nghìn .
Số tiền thiếu hụt là 1100 nghìn – 100 nghìn = 10 nghìn .Số thiếu này là của nhóm II .
Mỗi nhóm được yính 7 . = nghìn .
Vậy thiếu mỗi nhóm là 20 nghìn - nghìn = nghìn 
Do đó số nhóm II là 10 nghìn : nghìn = 4 tờ 
Từ đó số tờ loại 5 nghìn là 4 .2 = 8 tờ 
Số tờ loại 2 nghìn là 4 .5 = 20 tờ
Số tiền nhóm II là 20 . 4 = 80 nghìn 
Số tiền nhóm I là 30 nghìn 
Suy ra số tiền loại 10 nghìn là 20 nghìn và của 1 nghìn là 10 nghìn 
Nên số tờ loại 10 nghìn là 2 , số tờ 1 nghìn là 10 , số tờ loại 5 nghìn là 8 , số tờ loại 2 nghìn là 20
Bài tập tương tự :
Bài 1 : Khối học sinh lớp 6 gồm 480 em đI tham quan thuỷ điện Sông Đà ,có hai loại xe ôtô : loại 1chở được 50 người và loại chở được 40 người . Các em xếp vào 10 xe ôtô thì vừa đủ . Hỏi có bao nhiêu xe ôtô mấy loại ? 
Bài 2 : Toán cổ : Quýt ngon mỗi quả chia ba 
Cam ngon mỗi quả chia ra làm mười 
Mỗi người một miếng trăm người 
Có mười bảy quả không nhiều đủ chia .
Hỏi có bao nhiêu cam ? có bao nhiêu quýt ?
Bài 3 : Cùng một lúc một ôtô đi từ A và một xe máy đi từ B ngược chiều nhau đến một địa điểm C ở giữa AB . C cách A 300 km và cách B 260 km . Vận tốc của ôtô là 60 km/h ;vận tốc của xe máy là 35 km/h . Hỏi sau bao lâu thì : 
a , Ôtô và xe máy cùng cách C một khoảng như nhau ?
b , Khoảng cách từ xe máy đến C gấp đôI khoảng cáh từ ôtô đến C ? 
Bài 4 : Một xe ôtô chở 2180 kg gạo đựnh trong 37 bao . Có ba loại bao : 62 kg ; 60 kg ;và 50 kg . Số bao 62 kg nhiều gấp đôI số bao 60 kg . Hỏi số bao mỗi loại ? 
5.2 Phương pháp lựa chọn :
Bài toán 26 : Tìm số có hai chữ số , biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp đôI chữ số hàng chục và nếu lấy chữ số đó cộng với 7 thì sẽ được số có hai chữ số giống nhau .
 Giải : Số có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục chỉ gồm 4 số : 12 ; 24 ; 36 ; 48 . Đem số đó cộng với 7 ta được : 12 + 7 = 21 ; 24 + 7 = 31 ; 36 + 7 = 43 ; 48 + 7 = 55
Vậy số cần tìm là 48
Bài toán 27 : Điền chữ số thích hợp vào dấu * trong các phép tính sau :
1* . * = **1
Giải: Vì tích có chữ số tận cùng là 1 nên các chữ số đơn vị của hai thừa số chỉ có thể là 1 và 1 hoặc là 3 và 7 hoặc là 9 và 9
ứng với mỗi trường hợp ta có : 
11 . 1 = 11 ; 13 . 7 = 91 ; 17 . 3 = 51 ; 19 . 9 = 171
Do tích là một số có ba chữ số nên chỉ có trường hợp cuối là thích hợp 
Bài toán 28 : Có 30 tờ giấy bạc gồm 4 loại : loại tờ 10 nghìn đồng ; loại tờ 5 nghìn đồng ; loại tờ 2 nghìn đồng ; loại tờ 1 nghìn đồng . Biết rằng số tờ loại 1 nghìn đồng gấp đôI số tờ loại 2 nghìn đồng ; số tờ loại 2 nghìn đồng gấp 3 loại tờ 5 nghìn đồng ; và số tờ loại 10 nghìn đồng không nhiều hơn loại 1 nghìn đồng . Hỏi số tờ mỗi loại ? 
Giải: Theo giả thiết ta có số tờ loại 1 nghìn đồng gấp 6 lần loại 5 nghìn đồng 
Do đó tổng số tờ 1 nghìn đồng , 2 nghìn đồng , 5 nghìn đồng gấp 10 lần số tờ 5 nghìn đồng ; số này nhỏ hơn 30 
Suy ra số tờ 5 nghìn đồng chỉ là 1 hoặc 2 
Nếu số tờ 5 nghìn đồng là 1 thì số tờ 2 nghìn đồng là 3 ; số tờ loại 1 nghìn đồng là là 6 ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 – ( 1 + 3 + 6 ) = 20 nhiều hơn số tờ 1 nghìn đồng ( không thoả mãn )
Nếu số tờ 5 nghìn đồng là 2 thì số tờ 2 nghìn đồng là 6 và số tờ 1 nghìn đồng là 12 ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 – ( 2 + 6 + 12 ) = 10 ( kết quả này thoả mãn đầu bài ) 
Vậy : loại 1 nghìn đồng là 12 tờ ; loại 2 nghìn đồng là 6 tờ ; loại 5 nghìn đồng là 2 tờ ; loại 10 nghìn đồng là 10 tờ 
Bài tập tương tự :
Bài 1 : Cho một số có hai chữ số . Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số đó thì được số mới lớn hơn số đã cho 1995 đơn vị . Hãy tính số đã cho và hai chữ số viết thêm đó ?
Bài 2 : Tìm một số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục gấp đôI chữ số hàng đơn vị và tích của hai số đó chia hết cho tổng của chúng .
5 . 3 Phương pháp vận dụng nguyên tắc Đi - rích - lê :
Bài toán 29 : Chứng minh rằng trong 7 số nguyên bất kì tất cả có 3 số đôi một có hiệu chia hết cho 3 .
Giải: Xem 7 số nguyên là 7 ‘ chú thỏ ’
Xét 3 cái lồng :
 lồng { 0 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 dư 0 
 lồng { 1 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 dư 1
lồng { 2 } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho 3 dư 2
Vì một số nguyên chia cho 3 thì số dư là một trong ba số : 0 ; 1 ; 2 nên chú thỏ nào cũng bị nhốt 
Có 7 chú đem chia vào 3 lồng phải có ít nhất 1 lồng chứa 3 chú thỏ tương ứng có ít nhất ba số chia cho 3 cùng có số dư 
Ba số đôi một chia hết cho 3
Bài toán 30 : Chứng minh rằng : trong 52 số nguyên bất kì tất cả có 2 số có hiệu hoặc tổng chia hết cho 100
 Giải: Xem 52 số là 52 chú thỏ và xét 51 cái lồng:{0};{1;99};{2;98};;{49;51};{50}
Đem nhốt mỗi chú thỏ vào cáI lồng có một số bằng số dư của chú thỏ đó chia cho 100 
Ví dụ : lòng {0} chứa các số chia hết cho 100 ; {1;99} chưa các số chia hết cho 100 dư 1 hoặc 99 Ta thấy mỗi số đều được nhốt vào 1 lồng 
Vì có 52 chú thỏ mà chỉ có 51 cái lồng nên phải có ít nhất 2 chú thỏ bị nhốt cùng một lồng . Hai chú thỏ bị nhốt một lồng hay là hai số nguyên tương ứng khi chia cho 100 có cùng số dư hoặc tổng của hai số dư bằng 100 . 
Vậy tổng và hiệu của hai số đó chia hết cho 100
Bài tập tương tự :
Bài 1 : Năm nay trường có 1200 sinh viên . Chứng minh rằng có ít nhất 4 bạn cùng một ngày sinh .
Bài 2 : Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương để cho 2n – 1 chia hết cho 1991
Bài 3 : Viết năm số nguyên bất kì thẳng hàng . Chứng minh rằng có một số hoăc hai số lion nhau có tổng chia hết cho 5 
Bài 4 : Chứng minh rằng tồn tại số có 4 chữ số tận cùng là 1992 chia hết cho 1993
5 . 4 Một số phương pháp khác :
Bài toán 31 : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các số nghịch đảo của chúng bằng 2
Giải : Goị 3 số cần tìm là x ; y ; z ; số lớn nhất là x ; số nhỏ nhất là z 
Ta có : x y z (1)
Theo giả thiết : (2)
Do (1) nên 
Vậy x = 1 
Thay vào (2) ta được : 
Vậy y = 2 từ đó z = 2
Ba số cần tìm là 1 ; 2 ; 2
Bài toán 32 : Chứng minh rằng phương trình : x2 + y2 =3 ( z2 + t2 ) không có nghiệm 
Giải : Gỉa sử phương trình có nghiệm nguyên dương khi đó tồn tại nghiệm mà có giá trị của x2 + y2 là nhỏ nhất 
Ta gọi nghiệm đó là 
Vì nên 3
Ta thấy nếu hay không chia hết cho 3 thì hay chia cho 3 dư 1 
Do đó chia cho 3 dư 1 hoặc 2 ( không chia hết cho 3 )
Vậy 3 thì 3 và 3
đặt ; thay vào (1) ta được : 
Do đó là nghiệm dương của phương trình
Nhưng đều này mâu thuẫn với nghiệm có nhỏ nhất 
Suy ra phương trình không có nghiệm nguyên dương
Bài toán 33 : Gọi a là tổng các chữ số của số 91993 , b là tổng các chữ số của a và c là tổng các chữ số của b. Tìm c ?
Giải : Ta có 91993 < 101993 nên 91993 có ít hơn 1994 chữ số 
 Mỗi chữ số không vượt quá 9 nên : a 9 . 1993 = 17937 
 Vì a 17937 < 19999 nên tổng các chữ số của a là b < 1 + 9 . 4 hay b < 37 
Các số nhỏ hơn 37 có tổng các chữ số nhỏ hơn 3 + 9 = 12 do đó c < 12 
Vì 91993 9 nên a 9 do đó b 9 kéo theo c 9
Kết hợp với 0 < c < 12 ta được c = 9
Bài tập tương tự : 
Bài 1 : Cho một bàn cờ có những ô vuông bằng nhau , trong các ô vuông người ta viết một số tự nhiên sao cho mỗi một số bằng trung bình cộng những số lân cận được viết ở ô vuông phía trên , dưới , bên phảI , bên tráI . Chứng minh tất cả các số ấy đều bằng nhau .
Bài 2 : Tìm 5 số tự nhiên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng