Chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán 8 - Bài: Đối xứng trục và đối xứng tâm

 Chuyên đề: 
 ĐỐI XỨNG TRỤC VÀ ĐỐI XỨNG TÂM 
A. Lý do làm chuyên đề: 
Dùng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8 
B. Nội dung chuyên đề: 
I. Đối xứng trục: 
1. Định nghĩa: 
a. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: 
 Cho trước đường thẳng d và một điểm M 
- Nếu M d , vẽ điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn thẳng MM’ khi đó ta nói 
M’ đối xứng với M qua d, M đối xứng với M’ qua d. 
(Hay M và M’ đối xứng nhau qua d) 
- Nếu M d thì điểm đối xứng với M qua d cũng là M. 
b. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: 
Hai hình được gọi là đối xứng qua một đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này 
đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục 
đối xứng của hai hình đó. 
c. Hình có trục đối xứng: 
 Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm 
thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H. 
2. Tính chất của hai hình đối xứng qua một đường thẳng 
a. Tính bảo tồn khoảng cách: 
Nếu hai điểm A’, B’ lần lượt đối xứng với A, B qua đường thẳng d thì A’B’ = AB. 
(Ta viết là: Đd(A)=A’ và Đd(B)=B’ thì A’B’ = AB.) 
b. Hai đoạn thẳng đối xứng qua một đường thẳng: 
Nếu hai điểm A’, B’ lần lượt đối xứng với A, B qua đường thẳng d thì đoạn thẳng 
A’B’ đối xứng với đoạn thẳng AB qua d. 
(Ta viết là: Đd(A)=A’ và Đd(B)=B’ thì Đd(AB) =A’B’). 
c. Hai đường thẳng, hai tia đối xứng qua một đường thẳng: 
Nếu Đd(A)=A’ và Đd(B)=B’ thì đường thẳng A’B’ đối xứng với đường thẳng AB qua 
đường thẳng d. Tia A’B’đối xứng với tia AB qua d. 
d. Hai góc đối xứng qua một đường thẳng: 
Nếu các tia O’x’, O’y’lần lượt đối xứng với các tia Ox, Oy qua đường thẳng d thì 
 x,,, O y đối xứng với xOy qua d và khi đó xOy x,,, O y 
 ,, ,,  ,,,  ,,,
(Ta viết là: Đd Ox =O x ; Đd Oy =O y thì Đd xOy = x O y và xOy x O y ) 
e. Hai tam giác đối xứng qua một đường thẳng: 
 , , , ,,,
Nếu Đd A = A ; Đd B = B ; Đd C =C thì Đd ABC = ABC và khi đó 
 ABC A,,, B C . 
f. Hai đường tròn đối xứng qua đường thẳng: 
Nếu Đd(A)=A’ và Đd(B)=B’ thì đường tròn (A’; A’B’) đối xứng với đường tròn (A; AB). 
g. Nếu hai hình là đối xứng qua một trục thì các yếu tố tương ứng của hai hình nói 
trên cũng đối xứng với nhau qua trục đó (Ví dụ: hai đoạn thẳng đối xứng nhau qua 
một trục thì hai trung điểm của hai đoạn thẳng đó cũng đối xứng qua trục ấy. Nếu hai 
đường thẳng cắt nhau a, b đối xứng với hai đường thẳng a’, b’ qua đường thẳng d thì 
giao điểm của a, b cũng đối xứng với giao điểm của a’, b’ qua d. Nếu hai tam giác là 
đối xứng nhau qua d thì trọng tâm, trực tâm, đường tròn nội, ngoại tiếp của hai tam 
giác cũng tương ứng đối xứng nhau qua d.) 
II. Đối xứng tâm: 
1. Định nghĩa: 
a. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng: 
 Cho trước một điểm O và một điểm M 
- Nếu MO , vẽ điểm M’ sao cho O là trung điểm đoạn thẳng MM’ khi đó ta nói M’ 
đối xứng với M qua O, M đối xứng với M’ qua O. 
(Hay M và M’ đối xứng nhau qua O) 
- Nếu MO điểm đối xứng với M qua O cũng là M. 
b. Hai hình đối xứng qua một điểm: 
Hai hình được gọi là đối xứng qua một điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng 
với một điểm thuộc hình kia qua O và ngược lại. Điểm O được gọi là tâm đối xứng 
của hai hình đó. 
c. Hình có tâm đối xứng: 
 Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc 
hình H qua O cũng thuộc hình H. 
2. Tính chất của hai hình đối xứng nhau qua một điểm: 
 Đối xứng tâm cũng có tính chất tương tự như đối xứng trục. 
*Chẳng hạn: Tính bảo tồn khoảng cách 
Nếu hai điểm A’, B’ lần lượt đối xứng với A, B qua điểm O thì A’B’ = AB. 
(Ta viết là: ĐO(A)=A’ và ĐO(B)=B’ thì A’B’ = AB 
*Đối xứng tâm cũng có các tính chất tương tự tính chất b, c, d, e, f, g ở đối xứng trục 
III. Ví dụ : 
1. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
AB và CD chứng minh rằng MN, AC, BD đồng quy. 
Giải: 
 A M B
 O
 D C
 N
Gọi giao điểm của AC và MN là O. AC đối xứng với BD qua MN mà O thuộc AC nên điểm đối xứng với O qua MN phải 
thuộc BD. 
Do O thuộc MN nên điểm đối xứng với O qua MN cũng là O 
Suy ra O thuộc BD. Vậy AC, BD, MN đồng quy. 
2. Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó. Xác định trên Ox và Oy hai 
điểm A và B sao cho chu vi tam giác MAB là bé nhất. 
Giải: 
 H
 x
 A'
 A
 M
 O
 B B' y
 K
Giả sử A thuộc Ox, B thuộc Oy. 
Vẽ H và K lần lượt đối xứng với M qua Ox, Oy ta có H, K là cố định suy ra HK 
không đổi. 
 MA MB AB HA AB BK HK 
Đẳng thức xảy ra khi H, A, B, K thẳng hàng. Lúc đó AA ' và BB ' 
(A’, B’ là giao điểm của HK với OX, Oy) 
* Lưu ý: Trong cách giải trên ta đã sử dụng đối xứng trục để “ mở ” đường gấp khúc 
khép kín MABM thành đường gấp khúc HABK. 
3. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB. Trên AD và BC ta lấy hai điểm M, N 
sao cho DM = CN. Chứng minh N và M đối xứng nhau qua trục đối xứng của hình 
thang cân ABCD 
Giải: d
 A B
 M E N
 D C
Gọi E là điểm đối xứng với M qua d (trục đối xứng của hình thang cân) (1) 
Do M thuộc AD nên E thuộc BC (Vì BC đối xứng với AD qua d). 
Cũng theo tính chất đối xứng thì CE = DM. 
Nên E trùng N (Vì N cũng thuộc đoạn CB và CN = DM) (2) Từ (1), (2) ta có M và N đối xứng nhau qua d. 
4. Cho Hình thang cân ABCD đáy nhỏ là AB. Trên cạnh AD, CB lần lượt lấy M, N 
sao cho DM = CN. Trên hai đường chéo AC và BD lấy E, F sao cho AE = BF. Gọi 
P,Q là trung điểm của AB, CD. Chứng minh ba đường thẳng ME, CF, PQ đồng quy. 
Giải: 
 O
 A B
 P
 E F
 M N
 D C
 Q
Theo kết quả bài trên thì ĐPQ(M) = N tương tự ĐPQ(E) = F 
Suy ra ĐPQ(ME) = NF. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng ME và PQ thì ta có 
 ĐPQ(O) = O mà O thuộc ME nên O phải thuộc NF. 
Do đó ba đường thẳng ME, NF, PQ là đồng quy. 
5. Cho hình bình hành ABCD có giao điểm hai đường chéo là O. Gọi E, F. G, H lần 
lượt là giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD, 
DOA. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thoi. 
Giải: 
 A B
 E
 H
 F
 O
 G
 D C
ĐO () AOB COD mà E, G là hai điểm tương ứng nên ĐO(E) = G suy ra O là trung 
điểm của EG. Tương tự O cũng là trung điểm của HF nên tứ giác EFGH là hình bình 
hành. 
Lại có OE và OF là hai phân giác của hai góc kề bù nên OE OF do đó GE HF 
Vậy ta có EFGH là hình thoi. 
(*Chú ý nê trong bài toán trên ta thay giao các phân giác bằng trọng tâm, hay trực 
tâm, hay giao ba đường trung trực thì ta vẫn có EFGH là hình bình hành.) 
6. Cho góc vuông xOy, trên Ox có một điểm A cố định. Vẽ nửa đường tròn đường 
kính OA bên ngoài góc vuông xOy. M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn nói trên. 
Vẽ N đối xứng với M qua Ox, E đối xứng với N qua Oy. Chứng minh rằng khi M di 
chuyển thì N di chuyển trên một đường cố định. 
 x
Giải: 
 A 
 M N
 O y
 E
M và N đối xứng nhau qua Ox nên ON = OM 
Tương tự ON = OE nên OM = OE (1) 
Cũng theo tính chất đối xứng ta có MOx NOx và EOy NOy do NOx NOy 900 
Suy ra MOx NOx NOy EOy 1800 do đó M, O, E thẳng hàng (2) 
Từ (1) và (2) ta có O là trung điểm của ME. Vậy ĐO(M) = E 
 Mà M chạy trên nửa đường tròn đường kính OA cho nên E chạy trên nửa đường tròn 
đối xứng với nửa đường tròn trên qua O. 
IV. Bài tập: 
1. Cho tam giác ABC cân tại O, trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN 
trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E, F sao cho BE = CF. AM cắt BF ở P, AN cắt 
CE ở Q. Chứng minh PQ song song với BC. 
2. Chứng minh trong các tam giác ABC có đáy BC cố định và diện tích không đổi thì 
tam giác cân có chu vi bé nhất. 
3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M, N, E thuộc ba cạnh AB, BC, CA. Chứng 
minh rằng chu vi tam giác MNE là bé nhất khi M, N, E là các chân đường cao của tam 
giác ABC. 
4. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Hai đường thẳng bất kỳ qua O là a và b, a 
cắt AB, CD tại E, G còn b cắt BC và AD tại F, H. Chứng minh EFGH là hình bình 
hành. 
5. Dựng tam giác ABC biết đỉnh A, trọng tâm G. Hai đỉnh B, C nằm trên hai đường 
thẳng cho trước. 
6. Cho hai điểm A và B nằm hai phía so với đường thẳng d. Tìm trên d một điểm M 
sao cho một đường phân giác của tam giác AMB thuộc d. 
Phương pháp giảng dạy: 
 MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG DẠY-HỌC CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG 
 MÔN TOÁN 
 (Theo một vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán THCS 
 của Tôn Thân – Phan Thị Luyến – Đặng Thị Thu Thủy 
 xuất bản năm 2008 - nhà xuất bản giáo dục) 
1. Các hoạt động dạy và học khái niệm, định nghĩa: 
Dạy- học khái niệm, định nghĩa thường được tiến hành qua các bước: 
a. Tiếp cận khái niệm: 
Qua các con đường quy nạp hoặc suy diễn, cho học sinh hoạt động để dẫn đến hiểu 
biết về khái niệm. Hoạt động này có thể thực hiện bằng cách đưa ra một số ví dụ hoặc 
hiện tượng mà học sinh đã biết hoặc có trong thực tiễn, 
b. Hình thành khái niệm: 
Thông qua các hoạt động, hoc sinh phát hiện ra các điểm đặc trưng cho khái niệm 
c. Củng cố khái niệm: 
-Bằng các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm: xem xét một đối tượng cho 
trước có thuộc khái niệm đó không, đưa ra ví dụ, phản ví dụ về khái niệm đó. 
-Bằng hoạt động ngôn ngữ: phát biểu lại khái niệm, định nghĩa bằng lời lẽ của mình, 
diễn đạt theo những cách khác nhau. Phân tích nêu bật những ý quan trọng chứa đựng 
trong định nghĩa. 
-Bằng các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa: sắp xếp khái niệm vào 
hệ thống khái niệm đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau 
trong một hệ thống khái niệm. 
d. Vận dụng khái niệm: 
Vận dụng khái niệm để giải bài tập và giải quyết những vấn đề của thực tiễn. 
* Ví dụ 1: 
Dạy-học khái niệm phương trình: 
a. Tiếp cận khái niệm: Giáo viên có thể giới thiệu bài toán cổ như SGK để dẫn dắt học 
sinh đến vấn đề sẽ nghiên cứu trong chương. 
b. Hình thành khái niệm: 
Giáo viên viết bài toán tìm x lên bảng rồi giới thiệu các thuật ngữ “phương trình”, 
“ẩn”, “vế phải”, “vế trái”. Học sinh tập dượt nêu các thuật ngữ theo sự hướng dẫn của 
giáo viên. 
c. Củng cố khái niệm: 
Giáo viên yêu cầu mỗi học sinh cho 3 ví dụ về phương trình ẩn x, y z . . . chỉ ra ẩn, vế 
trái, vế phải. 
* Ví dụ 2: 
Dạy-học khái niệm tam giác đồng dạng: 
a. Tiếp cận khái niệm: 
Cho học sinh quan sát về các hình giống nhau như ở SGK trang 69. b. Hình thành khái niệm: 
Học sinh làm nhanh ?1 
Qua đó giáo viên hình thành định nghĩa. 
c. Củng cố khái niệm: 
Học sinh làm ?2, bài tập 23 trang 71. 
HS phát biểu lại định nghĩa bằng lời. 
d. Vận dụng: 
 bài 28 trang 72. 
2. Các hoạt động dạy-học định lý, tính chất: 
a. Tiếp cận định lý: 
Qua con đường có khâu suy đoán hoặc con đường suy diễn, cho học sinh hiểu biết về 
định lý. 
b. Hình thành định lý: 
Thông qua hoạt động , học sinh phát hiện được nội dung của định lý và cách chứng 
minh định lý đó. 
c. Củng cố định lý: 
-Bằng các hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý: xem xét một tình huống cho trước 
có ăn khớp có ăn khớp với một định lý vừa học không, đưa ra tình huống phù hợp với 
thực tế. 
-Bằng hoạt động ngôn ngữ: phát biểu lại định lý bằng lời lẽ của mình, diễn đạt theo 
những cách khác nhau. 
-Bằng các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa: Nêu rõ liên hệ giữa 
những định lý như liên hệ chung riêng liên hệ suy diễn. 
d. Vận dụng định lý: 
Vận dụng định lý vào các tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán hoặc các ứng 
dụng khác. 
* Ví dụ 1: 
Dạy-học định lý tính chất đường phân giác trong tam giác: 
a. Tiếp cận định lý: 
Vẽ tam giác ABC có AB < AC (chẳng hạn AB = 4cm, AC = 6cm) và phân giác AD 
của nó. 
Quan sát và so sánh DB, DC. 
b. Hình thành định lý: 
Học sinh tiến hành đo và so sánh AB và DB 
 AC DC
Giáo viên giới thiệu định lý. 
Giáo viên gợi ý chứng minh định lý như SGK. 
c. Củng cố định lý: 
Bài 15 SGK trang 67 
Học sinh phát biểu lại định lý bằng lời. 
d. Vận dụng định lý: 
Bài 17 trang 68. Phác vẽ đường phân giác của tam giác. 
* Ví dụ 2: 
Dạy-học hằng đẳng thức a b 2 a2 2 ab b 2 
3.Các hoạt động: 
a. Tiếp cận tính chất: 
 2 2
 2 2 2 a a 2
Ta đã biết ab a b và 2 vậy a b ? 
 b b
b. Hình thành tính chất: 
Giáo viên gợi ý a b 2 a b a b 
Học sinh thực hiện phép nhân đa thức để có a b 2 a2 2 ab b 2 
c. Củng cố tính chất: 
 Câu 1 : Đẳng thức nào đúng, sai? 
1. 2x 2 4 x2 
 2
 5 25
2. 2 
 x x
3. 3 x 2 9 x2 
4. 3 x 2 9 6 x x2 
5. 3x y 2 3 x2 6 xy y 2 
6. 3x y 2 9 x2 6 xy y 2 
 Câu 2: Học sinh phát biểu thành lời tính chất. 
d. Vận dụng tính chất: 
Bài 16, bài 18 SGK trang 16 
3. Các hoạt động dạy-học quy tắc: 
Việc dạy - học các quy tắc có thể tiến hành tương tự như dạy học các định nghĩa, định 
lý vì thực ra ra các quy tắc không hoàn toàn độc lập với định nghĩa, định lý. Tuy nhiên 
khi dạy các quy tắc ta cần nhấn mạnh quy trình thực hiện. Do đó khi dạy học các quy 
tắc có thể tiến hành như sau: 
- Xác định rõ các thao tác theo một quy trình hợp lý. (bước 1, bước 2, . . .) 
- Thực hiện các hoạt động tương ứng với các thao tác theo trình tự đó. 
- Củng cố quy tắc. 
- Vận dụng quy tắc. 
*Ví dụ: 
Dạy - học quy tắc rút gọn phân thức đại số: 
a. Tiếp cận: sau khi cho học sinh giải bài tập 5 SGK trang 38. 
 x2 x 1 x2
Giáo viên nêu lên việc biến đổi: gọi là rút gọn phân thức. 
 x 1 x 1 x 1 
b. Hình thành: GV cho học sinh nhắc lại tính chất cơ bản của phân thức đại số, rút gọn phân số. Rồi 
cho học sinh thực hiện ?1, ?2 
Học sinh rút ra nhận xét (quy tắc) về cách rút gọn phân thức như SGK. 
c. Củng cố - vận dụng 
Học sinh tự xem ví dụ 1 trang 39 
Học sinh nhắc lại quy tắc 
Làm bài tập 8 trang 40. 
Làm ?3. 
Xem ví dụ 2, đọc chú ý 
Làm ?4. 
4. Các hoạt động dạy - học giải bài tập: 
Khi dạy - học giải bài tập, cần hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải bài 
toán: 
a. Tìm hiểu nội dung đề bài. 
b. Tìm cách giải. 
c. Trình bày lời giải. 
d. Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải. 
*Ví dụ : 
Giải bài tập 30 trang 48 SGK 
a. Tìm hiểu nội dung đề bài: 
Giáo viên cho 2 học sinh đọc đề bài (mỗi học sinh đọc một lần) 
Giáo viên đọc chậm và tóm tắt đề trên bảng. 
Giáo viên lưu ý bài toán này tương tự như bài toán nào mà ta đã học để định hướng 
giải. 
b. Tìm cách giải: 
Giáo viên yêu cầu học sinh phân tích đề bài học sinh chọn ẩn, biểu diễn các số liệu, 
lập bất phương trình. 
c. Trình bày lời giải: 
Gọi một học sinh lên bảng trình bày lời giải. 
Các em còn lại trình bày bài vào tập. 
d. Kiểm tra lời giải và rút kinh nghiệm: 
- Cho các em nhận xét bài trên bảng 
- Rút kinh nghiệm có thể dùng bất phương trình để giải các bài toán như giải bài toán 
bằng cách lập phương trình.