Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009

Chuyªn ®Ò båi d­ìng hsg to¸n 9
th¸ng 9 n¨m 2008
I.môc tiªu:
II.chuÈn bÞ:
III. Néi dung vµ ph­¬ng ph¸p tiÕn hµnh
3.1. Kh¸i niÖm ph­¬ng tr×nh v« tØ 
3.1.1. Kh¸i niÖm: Ph­¬ng tr×nh v« tØ lµ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu c¨n .
3.1.2. C¸c vÝ dô : 
a) 
b) 
c) =3
d) 
3. 2.Ph­¬ng ph¸p chung : 
§Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh chøa dÊu c¨n ta t×m c¸ch khö dÊu c¨n .
Cô thÓ : - T×m §KX§ cña ph­¬ng tr×nh .
 	 - BiÕn ®æi ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®· häc. 
 	 - Gi¶i ph­¬ng tr×nh võa t×m ®­îc .
 - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm .
3.3. Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n:
a. Ph­¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa (B×nh ph­¬ng hoÆc lËp ph­¬ng hai vÕ ph­¬ng tr×nh ):
a.1. C¸c vÝ dô : 
* Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng : 
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (1) 
 §KX§ : x+10 x-1
 Víi x -1 th× vÕ tr¸i cña ph­¬ng tr×nh kh«ng ©m .§Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x-10 x1.Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh :
 x+1 = (x-1)2 x2 -3x= 0 
 x(x-3) = 0 Û 
 ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1
 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =3 .
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
(1)
 §KX§ : (2)
 B×nh ph­¬ng hai vÕ cña (1) ta ®­îc : 
 Ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm vµ.ChØ cã tho· m·n (2) .
 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ 
* Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng : 
VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
 (1)
 §KX§: 
 B×nh ph­¬ng hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (1) ta ®­îc :
 Ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm tho· m·n (2)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ 
VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1)
 LËp ph­¬ng tr×nh hai vÕ cña (1) ta ®­îc: 
 (x-1) (7- x) = 0
 x =-1
 x =7 (®Òu tho¶ m·n (1 )).
VËy lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .
* Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng : 
VÝ dô5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh -= 
 =+ (1)
 §KX§: 
B×nh ph­¬ng hai vÕ ta ®­îc: x- 4 = 2 (3)
Ta thÊy hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh (3) ®Òu tho· m·n (2) v× vËy b×nh ph­¬ng 2 vÕ cña ph­¬ng tr×nh (3) ta ®­îc :
 (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)
 5x2 - 84x + 352 = 0
Ph­¬ng tr×nh nµy cã 2 nghiÖm x1 = vµ x2 = 8 ®Òu tho¶ m·n (2) .
VËy x1 = vµ x2 = 8 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
* Gi¶i ph­¬ng tr×nh d¹ng : + 
VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : + = + (1)
 §KX§ : Û Û x ≥ -1 (2)
B×nh ph­¬ng hai vÕ cña (1) ta ®­îc :
x+1 + x+ 10 + 2 = x+2 + x+ 5 + 2
 2+ = (3)
Víi x -1 th× hai vÕ cña (3) ®Òu d­¬ng nªn b×nh ph­¬ng hai vÕ cña (3) ta ®­îc
 = 1- x
§iÒu kiÖn ë ®©y lµ x -1 (4)
Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)
 Û x = 1 lµ nghiÖm duy nhÇt cña ph­¬ng tr×nh (1).
a.2. NhËn xÐt : 
Ph­¬ng ph¸p n©ng lªn luü thõa ®­îc sö dông vµo gi¶i mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc, song trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý khi n©ng lªn luü thõa bËc ch½n 
Víi hai sè d­¬ng a, b nÕu a = b th× a2n = b2n vµ ng­îc l¹i (n= 1,2,3.....) 
Tõ ®ã mµ chó ý ®iÒu kiÖn tån t¹i cña c¨n, ®iÒu kiÖn ë c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh ®ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh hay m¾c sai lÇm, chñ quan khi sö dông ph­¬ng ph¸p nµy.
Ngoµi ra cßn ph¶i biÕt phèi hîp vËn dông ph­¬ng ph¸p nµy víi cïng nhiÒu ph­¬ng ph¸p kh¸c l¹i víi nhau .
a.3. Bµi tËp ¸p dông: 
1. = x- 2
2. = x+ 1
3. + =3
4. - =1
5. = - 
6. + = 
7. + = + 
b. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi :
b.1. C¸c vÝ dô : 
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) 
 §KX§:	 	 Û x ≤ 4
Ph­¬ng tr×nh (1) = -x + 4
 Û 
Víi x= 2 hoÆc x = 0 ®Òu lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (®Òu tho¶ m·n x 4 ).
VÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh : + = 5
 §KX§: R
Ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng : + = 5
 LËp b¶ng xÐt dÊu :
	 x	2	4
	 x- 2	 -	0	 +	 +
	 x- 4	 -	 -	0 +
 Ta xÐt c¸c kho¶ng :
 + Khi x < 2 ta cã (2) 6-2x =5
 x = 0,5(tho¶ m·n x 2)
+ Khi 2 x 4 ta cã (2) 0x + 2 =5 v« nghiÖm
 + Khi x > 4 ta cã (2) 2x – 6 =5
 x =5,5 (tho¶ m·n x > 4 )
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm lµ x = 0,5 vµ x = 5,5
VÝ dô 3 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 1
 §KX§: x 1
Ph­¬ng tr×nh ®­îc viÕt l¹i lµ :
 + = 1
 Û + = 1
 + =1 (1)
 - NÕu 1 x < 5 ta cã (1) 2- + 3 - = 1
 =2 x= 5 kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt
 - NÕu 5 x 10 th× (1) 0x = 0 Ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm
 - NÕu x> 10 th× (1) -5 = 1 ph­¬ng trinh v« nghiÖm
 VËy ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm : 5 x 10
b.2. NhËn xÐt :
Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ®­îc sö dông gi¶i mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh v« tØ quen thuéc nh­ trªn song trong thùc tÕ cÇn l­u ý cho häc sinh :
-¸p dông h»ng ®¼ng thøc = 
- Häc sinh th­êng hay m¾c sai lÇm hoÆc lóng tóng khi xÐt c¸c kho¶ng gi¸ trÞ cña Èn nªn gi¸o viªn cÇn l­u ý ®Ó häc sinh tr¸nh sai lÇm .
b.3. Bµi tËp ¸p dông : 
1. + = 8
2. + = 
3. + = 5
4. + = 2
c.Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô:
c..1. C¸c vÝ dô :
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x2 + 3x + =33
 	 §KX§ : x R
 Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi: 2x2 + 3x +9 + - 42= 0 (1)
 §Æt 2x2 + 3x +9 = y > 0 (Chó ý r»ng häc sinh th­êng m¾c sai lÇm kh«ng ®Æt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y)
Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh míi : y2 + y – 42 = 0
 y1 = 6 , y2 = -7 .Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> 0
 Tõ ®ã ta cã =6 2x2 + 3x -27 = 0
 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = 3, x2 = -
C¶ hai nghiÖm nµy chÝnh lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 12
 §KX§ : x o
 §Æt = y 0 = y2 ta cã ph­¬ng tr×nh míi
y2 + y -12 = 0 ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ y= 3 vµ y = - 4 (lo¹i)
 Þ = 3 x = 81 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + - = 2 (1) 
 §KX§ : Û Û -1 ≤ x ≤ 3
 §Æt + = t 0 t2 = 4 + 2
 = (2) .thay vµo (2) ta ®­îc
 t2 – 2t = 0 t(t-2) = 0 Û 
 + Víi t = 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
 +Víi t = 2 thay vµo (2) ta cã :	 = 0 x1 = -1; x2 = 3 (tho¶ m·n)
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x1 = -1vµ x2 = 3
VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 5 = 2( x2 + 2) 
Ta cã = 
§Æt = a 0 ; = b 0 vµ a2 + b2 = x2 + 2
 Ph­¬ng tr×nh ®· cho ®­îc viÕt lµ
 5ab = 2(a2 + b2)
 (2a- b)( a -2b) = 0
 Û 
 + Tr­êng hîp: 2a = b
 2 = 
 4x + 4 = x2 – x +1
 x2 – 5x -3 = 0
 Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = ; x2 = 
 + Tr­êng hîp: a = 2b
 = 2
 x+ 1 = 4x2 -4x + 3 = 0
 4x2 -5x + 3 = 0 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x= vµ x= 
VÝ dô 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + 2 (x+1) = x- 1 + + 3 (1) 
 §Æt = u 0 vµ = t 0
 §KX§: -1 x 1 th× ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh.
 u + 2u2 = -t2 + t +3ut
 (u –t ) 2 + u(u-t) + (u-t) = 0
 (u-t)(2u – t +1 ) = 0
 Û Û 
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn -1 x 1 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho.
VÝ dô 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 
 §KX§ : x 1
§Æt = t 0 x = t2 + 1 ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh
+ = 
 + = 
 (t 1) 	 Û Û §kX§: x≥ 1
 VËy phu¬ng ®· cho cã nghiÖm x= 1vµ x= 5
c.2. NhËn xÐt : 
Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn nh»m lµm cho ph­¬ng tr×nh ®­îc chuyÓn vÒ d¹ng h÷u tØ .Song ®Ó vËn dông ph­¬ng ph¸p nµy ph¶i cã nh÷ng nhËn xÐt,®¸nh gi¸ t×m tßi h­íng gi¶i quyÕt c¸ch ®Æt Èn nh­ thÕ nµo cho phï hîp nh­ : 
§Æt Èn phô ®Ó ®­îc ph­¬ng tr×nh míi chøa Èn phô (Vd 3-1,3-2,3-3)
§Æt Èn phô ®Ó ®­a vÒ mét biÓu thøc nhãm (VD 3-4; 3-5) 
c.3. Bµi tËp ¸p dông: 
1/ x2 – 5 + = 7 
2/ x - 2x = 20
3/ - 3 =20 
4/ = 2x2 – 6x +4
5/ + = 
d. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch :
d.1.C¸c vÝ dô : 
VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 3 + 2 - 6 (1)
 §KX§ : x -3
Ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng :
- 3 + 2 +6 = 0
 (-2() =3
 (() =0
 Û Û	 §KX§.
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 1; x = 2
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + =1
 §KX§ : x -2
 §Æt = t 0 Khi dã = 
Ph­¬ng tr×nh (1) + t = 1
 = 1- t
 3- t3 = (1-t) 3
 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
 (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Tõ ph­¬ng tr×nh nµy ta t×m ®­îc x=2 ; x= 1 + 2lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)
VÝ dô3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (4x-1) = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) 
§Æt =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta t×m ®­îc x = 0 ; x = lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)
VÝ dô4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: ()() = 2x
 §KX§: -1 x 1 (1)
®Æt = u (0 u )
suy ra x = u2 -1 ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh :
(u -1 ) ( = 2 ( u2 -1)
 (u -1 ){ ( - 2 (u+1)} = 0
 (u-1) ( = 0 
 Û 
 (+) u-1 = 0 u =1 ( tho¶ m·n u 0 ) suy ra x = 0 tho¶ m·n (1)
 (+) = 0 = 2u + 1 (tho¶ m·n v× u 0 ) Û 5u2 + 4u - 1 = 0
Þ nªn cã x = u22 -1 = ()2 – 1 = tho· m·n ®iÒu kiÖn (1)
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x = 0 vµ x = .
d.2.NhËn xÐt : 
Khi sö dông ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c b­íc sau .
+ T×m tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh .
+ Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè , ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) g(x) .= 0 (gäi lµ ph­¬ng tr×nh tÝch) . Tõ ®ã ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;.. lµ nh÷ng ph­¬ng tr×nh quen thuéc. 
+ NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 
g( x) = 0 ;.. thuéc tËp x¸c ®Þnh .
+ BiÕt vËn dông,phèi hîp mét c¸ch linh ho¹t víi c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c nh­ nhãm c¸c sè h¹ng,t¸ch c¸c sè h¹ng hoÆc ®Æt Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch quen thuéc ®· biÕt c¸ch gi¶i .
d.3.Bµi tËp ¸p dông:
1. = 0
2. - 2 = 
3. x(x+5) = 2
4. 2( x2 + 2x + 3) = 5
e. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh :
e.1.C¸c vÝ dô : 
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: - =2 
 §KX§: 0 x2 15
 §Æt: = a (a 0) (* )
 = b ( b 0) ( ** )
Tõ ph­¬ng tr×nh ®· cho chuyÓn vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh :
 Û Û 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh (*) ta cã 25 –x2 = 	 x2 = x = (§kX§ ) . VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x = .
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 2 (1) 
 §KX§ : 3 x 5
 §Æt 
Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh :
 Þ ut = 0 Û 
 Û (thâa m·n ®iÒu kiÖn )
 	 VËy ph­¬ng tr×nh ®É cho cã nghiÖm x =3 ; x= 5.
VÝ dô3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 1
 §KX§: x 1
 §Æt 
Khi ®ã ta cã u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nªn u3 + t3 = 1
Ph­¬ng tr×nh ®· cho ®îc ®a vÒ hÖ: 
Tõ ph­¬ng tr×nh (1) u = 1 – t .Thay vµo ph­¬ng tr×nh (2) ta cã :
( 1 – t )3 + t2 = 1
 t( t2 - 4t + 3 = 0
 Û 
 Tõ ®ã ta ®îc x= 3; x =2 ; x = 10 (§KX§ x 1 ) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho .
VÝ dô 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + + = 1 
 §Æt: = a ; = b nªn ta cã: 
a2 = 
 b2 = 
ab = . Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
Ta ®­îc ph­¬ng tr×nh : a3 – b3 = 2 (2)
 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh :
Tõ hÖ ph­¬ng tr×nh ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vµo hÖ ph­¬ng tr×nh (1) ta ®îc : (a -1 )2 = 0 a =1
Tõ ®ã ta ®îc x = 0
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 0
e.2.NhËn xÐt : 
Qua 4 vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm s¸ng t¹o vµ ®Æc thï riªng, nã ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy h¬n do ®ã ph¬ng ph¸p nµy ®îc ¸p dông cho häc sinh kh¸ , giái .Ta cÇn chó ýmét sè ®iÓm sau:
 	+ T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh 
+ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh ®Ó xuÊt hiÖn nh©n tö chung .
+ §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh quen thuéc .
Ngoµi ra ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô , ph¬ng ph¸p sö dông h»ng ®¼ng thøc.
e.3.Bµi tËp ¸p dông: 
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 
1. + = 2
2. 2 = x3+ 1
3. + =1
4. + = 
5. = x
g. Ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc :
g.1. Ph­¬ng ph¸p chøng tá tËp gi¸ trÞ cña hai vÕ lµ rêi nhau , khi ®ã ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm .
g.1.1.C¸c vÝ dô :
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: - = (1)
 §KX§: Û 	 Víi x 1 th× x < 5x do ®ã < 
Suy ra vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m .
 VËy ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm .
VÝ dô2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
 	 + + = 3 + 
 + + = 3 + (*)
 Mµ + + + + 1 = 3 + 
 VÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh ®· cho lín h¬n vÕ tr¸i .
 VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm .
g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: 
1. - = 2
2. = x - 2
3. + = x2 - 6x +13
g.2. Sö dông tÝnh ®èi nghÞch ë hai vÕ :
g.2.1.C¸c vÝ dô : 
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 4 – 2x – x2 (1) 
Ta cã vÕ tr¸i cña (1)
 + = + + = 5
VÕ ph¶i cña (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
VËy hai vÕ ®Òu b»ng 5 khi x = -1 .Do ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ x = -1
VÝ dô2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = x2 -10x + 27 (1) 
§KX§: 4 x 6 
XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) 
()2 =1 hay + 2
V× vËy ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ :
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (*) ta dîc x = 5 gi¸ trÞ nµy tho¶ m·n (**) 
VËy x =5 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)
g.2.2. Bµi tËp ¸p dông : 
1. + = 5
2. + = 3-4x -2x2 
3. = 
h. Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè :
h.1.C¸c vÝ dô : 
 VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : + = 3 (1) 
§KX§: x 1
Ta thÊy x =3 lµ nghiÖm ®óng víi ph­¬ng tr×nh (1) 
Víi x > 3 th× > 1 , > 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n 3.
Víi x< 3 vµ x -1 -1 x 3 th× < 1, < 2 nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n 3.
VËy x= 3 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh (1) 
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 
 + 2 + + = + 9 (1) 
 §KX§: 
 Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1)
h2.NhËn xÐt : 
Khi gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh v« tØ mµ ta cha biÕt c¸ch gi¶i th­êng ta sö dông ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm ,thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng .Råi t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c .
h.3.Bµi tËp ¸p dông : 
1. + 3 + = 8
2. + = + 
i. Ph­¬ng ph¸p sö dông ®iÒu kiÖn x¶y ra dÊu = ë bÊt ®¼ng thøc kh«ng chÆt
i.1.C¸c vÝ dô : 
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 + + = (x+y+z)
 §KX§ : x 2; y -1995; z 1996
Ph­¬ng tr×nh (1) x+y+z = 2 + 2 + 2 
 + + = 0
Û Û ( tho· m·n §KX§ ).
Lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 4 – 2x – x2
 + = 5 – (x+1)2 (*)
VÕ tr¸i cña (*) + 2 + 3 = 5
VÕ ph¶i cña (*) 5 – (x+1)2 5
V× thÕ ph­¬ng tr×nh (*) chØ cã nghiÖm khi vµ chØ khi hai vÕ cña
ph­¬ng tr×nh (*) b»ng nhau vµ b»ng 5 x+ 1 = 0 x = -1
VËy ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ x =-1
VÝ dô3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + =2 (1)
§KX§: x>
¸p dông bÊt ®¼ng thøc 2 víi a,b > 0
x¶y ra dÊu “=” khi vµ chØ khi a =b
DÊu “=” cña (1) x¶y ra khi x= x2 - 4x +1 = 0 (do x> )
Gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta t×m ®îc x= (tho¶ m·n §KX§).
VËy x= lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
i.2. NhËn xÐt : 
Khi sö dông ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh v« tØ ta cÇn chó ý c¸c b­íc sau : 
 + BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) mµ f(x) a , g(x) a 
(a lµ h»ng sè ) 
NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi 
f(x) =a vµ g(x) = a
+ BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè ) mµ ta lu«n cã h(x) m hoÆc h (x) m th× nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu ®¼ng thøc x¶y ra.
+ ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc : C«si, Bunhiacopxki
i.3. Bµi tËp ¸p dông: 
1. = 3 - 
2. + = x2 -12x + 40
3. + + = 3
4. = 
k. Mét sè ph­¬ng ph¸p kh¸c :
k.1.Ph­¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ : 
VÝ dô1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + (1)
Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè :
y = + trªn tËp x¸c ®Þnh ta cã:
y, = > 0 víi mäi x 
Do hµm sè y liªn tôc vµ ®ång biÕn trªn nªn miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè lµ hay . Suy ra y min = vµ 
ymax = 2 + víi mäi x 
§Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm th× y min 9 ymax nh­ng ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v×
y min = < 9 vµ ymax = 2 +< 9
Do ®ã ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm v× kh«ng tån t¹i gi¸ trÞ x ®Ó y(xi) = 9
k.2.Ph­¬ng ph¸p hµm sè:
VÝ dô 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x3 +1 = 2 (1) 
Ta cã: (1) 
 §Æt y = hµm sè cã ®¹o hµm y, = 0 víi mäi x nªn ®¬n ®iÖu t¨ng vµ liªn tôc trong R.
 Þy = cã hµm ng­îc y = (v× y = x = )
 Do ®ã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ còng lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh = x x3 -2x + 1 = 0 x = 1 hoÆc x = .
 VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x= 1 vµ x = .
k.3. NhËn xÐt: 
Ph­¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ vµ ph­¬ng ph¸p hµm sè ë trªn mang néi dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m c¸ch ®a vÒ nh÷ng ph­¬ng ph¸p quen thuéc ®Ó d¹y häc sinh THCS .
Ch¼ng h¹n nh­ vÝ dô 2 ta cã thÓ ®a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh nh sau:
 x3 + 1 = 2
§Æt t = 2x -1 = t3 
Ta cã hÖ: x3 + 1 = 3t 
 2x -1 = t3
Û x3 – t3 + 2 (x-t) = 0
Û x1 =1 ; x2,3 = .
Bµi tËp vËn dông: