Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán khối 8

1. Chuyªn ®Ò : §a thøc
Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
A = taïi x = 16.
B = taïi x = 14.
C = taïi x = 9
D = taïi x = 7. 
Baøi 2: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
M = 
N = 
Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
A = vôùi x = 2; .
M.N vôùi .Bieát raèng:M = ; N = .
Baøi 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc, bieát x = y + 5:
 a. 
 b. 
Baøi 5: Tính giaù trò cuûa ña thöùc:
 bieát x+ y = -p, xy = q
 Baøi 6: Chöùng minh ñaúng thöùc:
 a. ; bieát raèng 2x = a + b + c
 b. ; bieát raèng a + b + c = 2p
 Baøi 7:
Soá a goàm 31 chöõ soá 1, soá b goàm 38 chöõ soá 1. Chöùng minh raèng ab – 2 chia heát cho 3.
Cho 2 soá töï nhieân a vaø b trong ñoù soá a goàm 52 soá 1, soá b goàm 104 soá 1. Hoûi tích ab coù chia heát cho 3 khoâng? Vì sao?
Baøi 8: Cho a + b + c = 0. Chöùng minh raèng M = N = P vôùi:
 ; ; 
 Baøi 9: Cho bieåu thöùc: M = . Tính M theo a, b, c, bieát raèng . 
Baøi 10: Cho caùc bieåu thöùc: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chöùng minh raèng neáu x, y laø caùc soá nguyeân vaø A chia heát cho 13 thì B chia heát cho 13. Ngöôïc laïi neáu B chia heát cho 13 thì A cuõng chia heát cho 13.
Baøi 11: Cho caùc bieåu thöùc: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
Ruùt goïn bieåu thöùc 7A – 2B.
Chöùng minh raèng: Neáu caùc soá nguyeân x, y thoûa maõn 5x + 2y chia heát cho 17 thì 9x + 7y cuõng chia heát cho 17.
 Baøi 12: Chöùng minh raèng: 
 a. chia heát cho 405.
 b. chia heát cho 133. 
 Baøi 13: Cho daõy soá 1, 3, 6 , 10, 15,, , 
 Chöùng minh raèng toång hai soá haïng lieân tieáp cuûa daõy bao giôø cuõng laø soá chính phöông. 
2. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi biÓu thøc nguyªn
I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;
 = ;
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b);
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ;
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ;
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;
II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal
§Ønh
1
Dßng 1 (n = 1)
1
1
Dßng 2 (n = 2)
1
2
1
Dßng 3 (n = 3)
1
3
3
1
Dßng 4 (n = 4)
1
4
6
4
1
Dßng 5 (n = 5)
1
5
10
10
5
1
 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®­îc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triÓn (x + y)n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ng­êi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th­êng ®­îc sö dông khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× :
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
vµ víi n = 5 th× :
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5
II. C¸c vÝ dô
 VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.
Lêi gi¶i
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5
Lêi gi¶i
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2
(x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 Þ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2
 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
	 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3)
 VÝ dô 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc :
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lêi gi¶i
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
(a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
 VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0.
 Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
Lêi gi¶i
 V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z Þ (x + y)3 = –z3
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 Þ 3xyz = x3 + y3 + z3
 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)
 	= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)
 Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T­¬ng tù :
	 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.
 V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm)
Bµi tËp:
Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4.
Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.
Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.
Chøng minh r»ng nÕu:
 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 
th× x = y = z.
 a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× . 
b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 
vµ x, y, z kh¸c 0 th× .
Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :
5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).
Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau :
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;
x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4
 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. 
 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945.
 Hai sè a, b lÇn l­ît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau :
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b.
 Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2.
 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; 
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.
3. Chuyªn ®Ò: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I- Ph­¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c:
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
(§a thøc ®· cho cã nhiÖm nguyªn hoÆc nghiÖm h÷u tØ)
II- Ph­¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu cña hai b×nh ph­¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B)
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
III- Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
IV- Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng
Ph­¬ng ph¸p: Tr­íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
Gi¶i
a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = 
Nh­ vËy P chøa thõa sè x – y
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®æi(ta nãi ®a thøc P cã thÓ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®· chóa thïa sè x – y th× còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bËc ba ®èi víi tËp hîp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc
®óng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0
ta ®­îc k = -1
VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)
C¸c bµi to¸n
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
, víi 2m = a+ b + c.
Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
V-Ph­ong ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
Bµi tËp: 
VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö :
A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)
Lêi gi¶i
 §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = ; a3 + b3 = . V× vËy :
 A = x3 – 3()x + 2() = 
 = 
 = 
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]
 = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö :
x3 + 4x2 – 29x + 24 ;
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;
(x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;
6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ;
x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.
f) x8 + x4 + 1;
g) x10 + x5 + 1 ;
h) x12 + 1 ;
i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;
k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.
4. Chuyªn ®Ò: X¸c ®Þnh ®a thøc
* §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dông:
1) §Þnh lÝ BªZu: 
 D­ trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): 
(Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p)
HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a.
¸p dông: §Þnh lÝ BªZu cã thÓ dïng ®Ó ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö. Thùc hiÖn nh­ sau:
 B­íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thö xem x = a cã ph¶i lµ nghiÖm cña f(x) kh«ng.
 B­íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: 
§Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a.
 B­íc 3: TiÕp tôc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tö nÕu cßn ph©n tÝch ®­îc. Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ.
D¹ng 1: T×m ®a thøc th­¬ng b»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè(ph­¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh), ph­¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc.
*Ph­¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mÖnh ®Ò sau ®©y :
NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau.
VÝ dô: ; 
NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:
 a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2)
 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1)
 - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do)
*Ph­¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x)
Gäi th­¬ng vµ d­ trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l­ît lµ M(x) vµ N(x)
Khi ®ã ta cã: (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
V× ®¼ng thøc (I) ®óng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : 
( lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph­¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph­¬ng tr×nh ®Ó t×m c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th­¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d­).
VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông)
Gäi th­¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: 
.
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: 
Với a = -2 thì 
Với a = 3 thì 
*Ph­¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh­ SGK)
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Cho đa thức . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã d¹ng: 
Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : chia hÕt cho ®a thøc: . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau.
Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ó ®a thøc: chia hÕt cho ®a thøc: .
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: chia hết cho nhị thức: .
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: chia hết cho đa thức: .
Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: 
Chia hết cho .
 b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: chia hết cho đa thức .
 c) Xác định a, b để chia hết cho .
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức:
(Để học tốt Đại số 8)
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia cho dư 4.
c) chia hết cho .
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) chia hết cho .
b) chia hết cho .
c) chia hết cho .
d) chia hết cho .
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho chia cho thì dư 7, chia cho thì dư -5.
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho chia hết cho , chia cho thì dư .
(Một số vấn đề phát triển Đại số 8)
Bài 13: Cho đa thức: và . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức chia hết cho đa thức 
Bài 15: Cho các đa thức và . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
 Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
 Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số .
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: .
Giải
Đặt (1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt (1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: 
 a) Xác định P(x).
 b) Suy ra giá trị của tổng .
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :
Đặt (2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)
Bài 5: cho đa thức . Cho biết 
 1) Tính a, b, c theo .
 2) Chứng minh rằng: không thể cùng âm hoặc cùng dương.
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: 
5. Chuyªn ®Ò: BiÓn ®æi ph©n thøc h÷u tØ
VÝ dô 1. 
Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n "nÎN ;
Cho ph©n sè (nÎN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao cho ph©n sè A ch­a tèi gi¶n. TÝnh tæng cña tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã.
Lêi gi¶i
§Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) Þ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d Þ d = 1.
 VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n.
Ta cã . §Ó A ch­a tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i ch­a tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c ­íc d­¬ng lín h¬n 1 cña 29.
V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 M 29 
Þ n + 5 =29k (k Î N) hay n=29k – 5.
Theo ®iÒu kiÖn ®Ò bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 
Þ 1 ≤ k ≤ 69 hay kÎ{1; 2;; 69}
VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi. 
Tæng cña c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690.
VÝ dô 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn . 
 Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng :
.
Lêi gi¶i
 Ta cã : Û 
 Û Û 
 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û Þ ®pcm.	 
 Tõ ®ã suy ra : 
	 Þ .
 VÝ dô 3. §¬n gi¶n biÓu thøc :
.
Lêi gi¶i
§Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 
	a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = .
	Do ®ã : 
 Ta cã : A = 
 = 
 Hay A = 
 VÝ dô 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x :
.
	Lêi gi¶i
 C¸ch 1
 = Ax2 – Bx + C
 víi : ;
 ;
 Ta cã : ;
 ;
 .
 VËy S(x) = 1"x (®pcm).
 C¸ch 2
 §Æt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v­ît qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm.
 NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 Þ a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).
 §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 "x.
 Suy ra S(x) = 1 "x Þ ®pcm.
 VÝ dô 9. Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
 a) ; b) ; c) ; d) .
Lêi gi¶i
 a) ;
 b) ;
 c) ;
 d) Þ D = 7.18 – 3 = 123.
 VÝ dô 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : .
Lêi gi¶i
 Ta cã : 
 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®­îc :
 . VËy .
6. Chuyªn ®Ò: Gi¶i ph­¬ng tr×nh
I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa về dạng (1)
*Cách giải: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đó rút gọn thành dạng ax+b=0)
TH1:a=0 nếu b0 thì phương trình (1)vô nghiệm
	 nếu b=0 thì phương trình (1) vô số nghiệm
 	TH2:a0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=
	*Ví dụ: a)3x+1=7x-11
	b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển về một vế)
	b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0)
	b3:	x=
	 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)
	1,2-x+0,8+1,8+2x=0
	x+3,8=0
	x= -3,8
	*Các bài tập tương tự:
	a)7x+21=0	b)12-6x=0
	c)5x-2=0	d)-2x+14=0
	e)0.25x+1,5=0	f)6,36-5,3x=0
	g)	h)
	i)11-2x=x-1	k)5-3x=6x+7
	l)2(x+1)=3+2x	m)2(1-1,5x)+3x=0
	n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x	o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
	p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4)	q)
	v)	w)
	s)	y)
II/Phương trình tích:
	*Cách giải: Pt:A.B=0 (A=0 (1) B=0 (2) )
 Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự phần trên
(Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách phân tích thành nhân tử )
	*Ví dụ:
	a)(4x-10)(24+5x)=0
	 Từ (1) x= (2)x=
	Vậy phương trình có 2 nghiệm x= hoặc x=
	b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)
	(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0
	(x-1)(2x+11)=0
 	*Các bài tập tương tự:
	a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0	 b)(3x-2)
	c)(3,3-11x)	d)
 e)	f)
	g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0	h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
	i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12)	k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0
	l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4	m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0
	n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4
 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0
 r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0
 t)2x2+5x+3=0 y)