Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Đồng Đức Lợi

Chñ ®Ò III:
 ===== & =====
 Ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A. Ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
I/. KHÁI NIỆM 
Ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lµ ph­¬ng tr×nh mµ Èn n»m trong dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Giải phương trình chứa Èn trong dấu giá trị tuyệt đối .Cần biết được cách xét dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ta gäi lµ “PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG”
* Dấu của nhị thức bậc nhất ax + b
 x
ax + b
Trái dấu với a
 0
Cùng dấu với a
 Bảng xét dấu :
x
1/2
1
2x - 1
-
0
+
+
x - 1
-
-
0
+
Bµi tËp:
B. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I/. KHÁI NIỆM 
 	Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn.
II/. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Phương trình vô tỉ có nhiều d¹ng, mỗi d¹ng có một cách biến đổi riêng. Nhưng nói chung khi giải phương trình vô tỉ ta thường gặp một số dạng vµ th­êng dïng c¸c ph­¬ng ph¸p cơ bản sau: 
	1/. Phương pháp 1:
 	Nâng hai vế của phương trình vô tỉ đã cho lên một lũy thừa thích hợp để làm mất dấu căn.
	* Dạng 1: 	( với n = 2, 4, 6 )
	* Dạng 2: 	( với n = 3, 5, 7, )
	ÆVí dụ: Giải phương trình sau: 	(1)
	(1)	 Û 	Û 
	 	 Û 	 Û 
 	Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
	2/. Phương pháp 2: 
	Biến đổi biểu thức trong dấu căn về dạng khai căn được để làm mất căn thức. 
	ÆVí dụ: Giải phương trình: 	(2)
	Điều kiện: 
	Phương trình (2) trở thành: 
	Û	Û	
	Û	Û	
 	Û	Û	Û	 (nhận)
	Vậy phương trình có nghiệm .
 	3/. Phương pháp 3:
	Đặt đặt điều kiện råi nâng hai vế của phương trình vô tỉ lên lũy thừa thích hợp để đưa phương trình vô tỉ cần giải về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
	ÆVí dụ: Giải phương trình: 	(3)
	Điều kiện: 
	Bình phương hai vế (3) ta được: 
	Û 	(dạng 1)
	Û 	
	Û 	
	Û 	
	So với điều kiện, phương trình có nghiệm là 
	4/. Phương pháp 4:
	Đặt ẩn phụ để đưa một phương trình vô tỉ cần giải về dạng quen thuộc đã biết cách giải.
	ÆVí dụ: Giải phương trình: 
	Đặt 	Û	
	Û	
	Phương trình trở thành: 	t2 – t – 24 = 0
	Û	
	Với t = 8 	Û	
	Û	
	Û	
	Û	
	Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 
5/. Phương pháp 5:
	Đánh giá hai vế của một phương trình vô tỉ. Xem xét các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (dựa vào các bất đẳng thức Côsi; Bunhiacopxki ), điều kiện xảy ra dấu bằng à rồi rút ra nghiệm của phương trình.
Ta thõa nhËn c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
1/BÊt ®¼ng thøc Co Si (CauSi):
2/BÊt ®¼ng thøc Bu Nhi A CopSki:
 ÆVí dụ: Giải phương trình: 
	Điều kiện: 
	* Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có: 
 ó v× c¨n hai vÕ ta cã:
	dấu “=” xảy ra khi: x – 2 = 4 – x 	Û 	x = 3
	* Mặt khác x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 +2 ³ 2
	dấu “=” xảy ra khi x = 3
	Vậy phương trình có nghiệm x=3.
Phương pháp 6: Tæng c¸c sè kh«ng ©m: 
Bµi tËp ¸p dông:
Giải các phương trình sau:
	1/. 
	2/. 
	3/. 
	4/. 
	5/. 
	6/. 
	7/. 
 	8/. 
ph­¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn:
Ph­¬ng ph¸p:
+ BiÓu thÞ tham sè (n;m; k) theo Èn sè
+ ViÕt biÓu thøc trªn d­íi d¹ng Trong ®ã a;b ;råi t×m ­íc cña a tõ ®ã suy ra gi¸ trÞ cña x
1/ T×m c¸c sè nguyªn n ®Ó c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau lµ nh÷ng sè nguyªn:
Gi¶i:
NÕu n = 4 th× 
VËy th× 
Ta cã: