Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Phương trình bậc hai một ẩn - Đồng Đức Lợi

Phần 1: Phương trình bậc hai một ẩn
1. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 
a. Giải phương trình khi a=-2.
b. Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c. Với giá trị nào của a thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ nhất.
 (trích Đề thi tuyển sinh THPT 1995 - 1996, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a. Giải phương trình khi m =2.
b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c. Cho A = trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1) tìm a để A8.
 (trích Đề thi tuyển sinh THPT 1996 - 1997, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 3. Cho phương trình: 
a. Giải phương trình khi m =5.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm duy nhất.
 (trích Đề thi tuyển sinh THPT 1997 - 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 4. Cho phương trình: (1) 
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c. Chứng minh rằng biểu thức M = không phụ thuộc vào m. (ở đây x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1)).
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 10- 07- 1999, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 5. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 
a. Giải phương trình với a =-1.
b. Tìm a để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: đạt giá trị nhỏ nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 09- 07- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 6. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 
a. Tìm giá trị của m và n để phương trình có hai nghiệm là 3 và -2.
b. Cho m = 0, tìm các giá trị nguyên của n để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: là một số nguyên.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2000-2001, ngày 03- 08- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 7. Cho phương trình: 
a. Hãy giải phương trình.
b. Gọi hai nghiệm phương trình là x1; x2. Tính 
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2001-2002, ngày 22- 07- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 8. Cho phương trình bậc hai ẩn x: (1)
a. Giải phương trình (1) với m =-1.
b. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c. Tìm nghiệm của phương trình (1) khi tổng bình phương của hai nghiệm đó nhận giá trị nhỏ nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2002-2003, ngày 02- 08- 2002, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 9. Cho phương trình bậc hai ẩn x: 
a. Giải phương trình với m = 0.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c. Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 và tổng các bình phương các nghiệm lớn nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 15- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 10. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: 
a. Giải phương trình với m = 0.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình nhận x = 2 là một nghiệm.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2004-2005, ngày 30- 06- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 11. Cho phương trình bậc hai: (1) 
a. Giải phương trình (1).
b. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và , trong đó a và b là hai nghiệm của phương trình (1).
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 06- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 12. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số k: (1) 
a. Giải phương trình (1) với k = 0.
b. Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm là . Xác định các giá trị nguyên của tham số k sao cho là bình phương của một số nguyên.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 07- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 
 13. Xác định giá trị của tham số m để phương trình: có một nghiệm bằng -5. Tìm nghiệm kia.
 14. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: 
a. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm là x =2.
b. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm này có thể trái dấu hay không? Vì sao?
c. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
 15. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a. Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm là .
b. Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
 16. Cho phương trình: (1)
a. Xác định giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
b. Xác định giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2. Tìm nghiệm kia.
 17. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình: có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn một trong hai điều kiện sau:
a. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b. 2x1+3x2 = 13.
 18. Cho phương trình: (1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x12+x22 = 10.
 19. Cho phương trình: x2 + mx+1 = 0; Xác định các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: 
 20. Cho phương trình: (1)
a. Xác định giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm kia.
 21. Cho phương trình: (1)
a. Xác định mọi giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Với giá trị nào của m phương trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. Tìm các nghiệm đó.
 22. Xác định giá trị của m để phương trình: chỉ có một nghiệm. Tìm nghiệm đó.
 23. Không tính biệt số , hãy chỉ ra rằng phương trình:
 luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.
 24. Tìm k để phương trình: có tổng bình phương các nghiệm là 13.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu ĐHQG TP. HCM 2003- 2004)
 25. Cho phương trình: , với m là tham số thực.
a. Giải phương trình khi m = 15.
b. Tìm m để phương trình có nghiệm kép, khi đó hãy tính nghiệm kép này.
(trích ĐTTN THCS tỉnh An Giang 2004- 2005)
 26. a. Chứng tỏ rằng phương trình: có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Lập phương trình bậc hai có nghiệm là x12 và x22.
 b. Tìm m để phương trình: có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2003- 2004)
 27. Cho phương trình: có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
a. Chứng minh rằng: x12 - 5mx2 - 4m > 0.
b. Xác định giá trị của m để biểu thức: đạt giá trị nhỏ nhất.
(trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương 2003- 2004)
 28. Tìm giá trị của m để hai phương trình:
 và có nghiệm chung.
(trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương 2003- 2004)
 29. Cho phương trình: (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm đều là những số nguyên.
(trích ĐTTS THPT chuyên, tỉnh Thái Bình 2005- 2006)
 30. Cho phương trình: (1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 2.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm dương và một nghiệm âm.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2005- 2006)
 31. Cho phương trình: (1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 1.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
(trích ĐTTS Lớp 10 BCSP Hải Phòng 2003- 2004)
 32. Cho phương trình: . Tính: (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình).
(trích ĐTTN THCS TP. Hà Nội 2002- 2003)
Phần 2 : PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI. 
Bài 1: Cho phương trỡnh ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
Giải phương trỡnh khi m = 2.
Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm số với mọi m.
Tỡm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trỡnh thỏa món 
điều kiện + 10.
Bài 2: Cho cỏc số a, b, c thỏa điều kiện: 
Chứng minh rằng phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 luụn luụn cú nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là cỏc số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. 
	Chứng minh rằng phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm phõn biệt.
Bài 4: Cho phương trỡnh x2 + px + q = 0. Tỡm p, q biết rằng phương trỡnh cú hai 
nghiệm x1, x2 thỏa món: 
Bài 5: CMR với mọi giỏ trị thực a, b, c thỡ phương trỡnh 
	(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luụn cú nghiệm.
Bài 6: CMR phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) cú nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc. CMR phương trỡnh sau cú nghiệm:
	(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) cú nghiệm nếu 
Bài 9: Cho phương trỡnh : 3x2 - 5x + m = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm thỏa món: -= 
Bài 10: Cho phương trỡnh: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món:
A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
B = x12 + x22 - đạt GTNN.
Tỡm hệ thức liờn hệ giữa x1, x2 khụng phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh bậc 2: 
	3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tớnh theo c giỏ trị của biểu thức:
	S = 
Bài 12: Cho phương trỡnh : x2 - 2x + 1 = 0. Cú hai nghiệm là x1, x2. Khụng giải phương trỡnh trờn hóy tớnh giỏ trị của biểu thức:
	A = 
Bài 13: Cho phương trỡnh: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
CMR phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm với mọi giỏ trị của a.
Tỡm giỏ trị của a để pt (1) cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện:
 	 x12 + x22 = 6.
3. Tỡm giỏ trị của a để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện:
	x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trỡnh: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
CMR phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh (1) . 
 Tỡm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa món điều kiện:
 CMR ớt nhất một trong hai phương trỡnh sau phải cú nghiệm:
 	x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trỡnh: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
Giải và biện luận số nghiệm của phương trỡnh (1) theo m.
Tỡm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tỡm GTNN đú.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khỏc 0, tồn tại một trong cỏc phương trỡnh 
sau phải cú nghiệm:
 	ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trỡnh: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
CMR phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm trỏi dấu với mọi giỏ trị của m.
Với giỏ trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trỡnh: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm với mọi giỏ trị của m.
2) Tỡm giỏ trị của m để pt (1) cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện:
 	 x12 + x22 10.
3) Xỏc định giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thỏa món điều kiện:
	 E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trỡnh bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 cú hai nghiệm nguyờn dương. 
	CMR: a2 + b2 là một hợp số.
Phần 3: PHƯƠNG TRèNH BẬC CAO.
Giải phương trỡnh: 
Bài 1: 	 x3 + 2x2 + 2x + 2.
Bài 2: 	 (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 	4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4: 	 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x 
Bài 5: 	(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6:	 (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: 	 a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8:	 	a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
	b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
	c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9: 	a) x4 = 24x + 32
	b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0
Bài 10: 	
Bài 11:	 
Bài 12: 	x2 + 
Bài 13:	20
Bài 14: 	a) 
	b) 
	c) 
Bài 15: 	a) x2 + 
	b) x2 + 
Bài 16: 	a) 
	b) 
	c) x.
Bài 17: 	 x2 + = 8( thi HSG V1 2004)
Bài 18: 	
Bài 19: 	
Bài 20: 	
Bài 21: 	3x2 + 21x + 18 + 2
Bài 22: 	a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
	b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 
	c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 
Bài 23: 	(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: 	a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
	b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
Bài 25: 	a) x3 - 6x + 4 = 0
	b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 
Bài 26: 	a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 
	b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 
Bài 27: 	
Bài 28: 	 a) Phõn tớch thành nhõn tử: 2(a2 + b2) -5ab
	 b) Giải phương trỡnh: 2(x2 + 2) = 5
	( Đề thi HSG 1998)
Bài 29: 	
Bài 30: 	x4 - 4x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31: 	 ( Đề thi HSG V2 2003)
Bài 32: 	a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 
	b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 
Bài 33: 	(x + 3 + 2)(x + 9 +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: 	a) x2 + 4x + 5 = 2
	b) 3 = 2x2 - 6x + 4
	c) 
Bài 35: 	
Bài 36: 	Cho phương trỡnh: x4 -4x3 +8x = m
	a) Giải phương trỡnh khi m = 5.
	b) Định m để phương trỡnh cú 4 nghiệm phõn biệt.
Bài 37: 	Cho phương trỡnh (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tỡm điều kiện của a, b, c để phương trỡnh cú nghiệm.
Bài 38: 	Giải phương trỡnh: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0 
Bài 39: 	Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 40: 	 x2 + 9x + 20 = 2
Bài 41: 	x2 + 3x + 1 = (x + 3)
Bài 42: 	x2 + =2006