Chuyển đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất - Đồng Đức Lợi

I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đưa về dạng Ax 0 hoặc Ax 0
a, Cơ sở lý luận 
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0
 Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì 
(x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 -7 . 
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 
Ví dụ 2: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x + )2 + 
 Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x + )2 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = -. Ta có GTLN của Mx = với x = -.
II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng hoặc 
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 Ax = Vói x là các số thực dương .
Lời giải: Ta có Ax = = với mọi x >0 thì . Vậy GTNN của Ax = với x= 4.
Ví dụ 4:
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Mx= với x thuộc tập hợp số thực.
Lời giải:Ta có Mx= = 3 + . Vì nên ta có 
Mx = 3 + 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1 
Ví dụ 5: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Fx,y = với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có Fx,y = = vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được : Fx,y = vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 
Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. 
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dương a,b, c ta có:
a + b đạt được dấu = khi a=b .
a + b+ c đạt được dấu = khi a=b = c .
 2. Các ví dụ : 
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Ax = với x > 0.
Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và ta có:
 8x + dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .
 Vậy GTNN Ax = 8 với x = .
Ví dụ 7 : 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương .
Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được bất đẳng thức Côsi ta có 
Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < (*)
ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lượng dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 và 16- x3 ta có 2 suy ra x3( 16 – x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
 Với giá trị nào của x thì biểu thức 
 Px = đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 
Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt
 y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + với y > 0 , ta thấy 4y và là hai đại lượng luôn dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y và ta có :
 4y + . Dấu = xẩy ra khi 4y = => y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính được x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.
Ví dụ 9 : 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. 
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). 
 Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Vậy 2y và 6-2y là hai số dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y => 3 => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ hoặc x= 1 -.Vậy GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ hoặc x= 1 -.
Ví dụ 10 : 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
	Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ )2 + >0 với mọi giá trị của x
*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4 .
Như vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). 
Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lượng dương 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :
 (8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) 
14 => 196 (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay Hx 196 .Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lượng .
Ví dụ 11 : 
 Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Lời giải: 
Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2 .
Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 
Ví dụ 12 : 
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải: 
Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50.
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1. 
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 .
Ví dụ 13 : 
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải: 
Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
	P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 .Ta thấy (x+2y)2 0 ; 
(3y – 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0 .
VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
 ( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2 (a12 + a22 +......+an2)(b12 + b22.......bn2)
 Dấu bằng xẩy ra khi 
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất . 
 P = x2 + y2 +z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Lời giải: 
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
 (x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) . Từ đó ta có :
 P = x2 + y2 + z2 ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P = dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 .Ta có x= y =z =665.
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q = . Trong đó x,y,z là các đại lượng thoả mãn điều kiện 
 x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q.
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, và x, y, z ta có :
 (2x + 4y + z)2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) .
Hay Q2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm được x =. y= z =
VII. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q = . Tìm GTLN của Q.
Bài 2: Biểu thức : P = có giá trị lớn nhất không ? 
Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.
Bài 3: Cho biểu thức : A = . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.
Bài 4: Cho biểu thức : B= . Tìm GTLN của B.
Bài 5: Cho biểu thức: F = . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.
Bài 6: Cho biểu thức: A = . Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y = . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
Bài 8: Cho biểu thức: Y = . Tìm GTNN cua Y.
VIII. Hướng dẫn giải và đáp số :
Bài 1:Ta có : Q = . Vậy GTLN của Q = , với x= 0,5.
Bài 2: Ta có P = 1 - . Vì 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1
khi x=1.
Bài 3:Ta có : A= 1 - . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt GTLN muốn vậy x+ + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ta có : x + = 2 .Dấu = xẩy ra khi 
 x = => x= 1; x = -1 (Loại ).
Vậy GTNN của A = 1 - , với x= 1.
Bài 4: Ta có : B= = 1+ . Ta thấy B có GTLN thì phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất . 
Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = , với x = 3. 
Bài 5: Ta có F = . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = vì x > 0
Nên > 0; > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + =; Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + = ; với x = 4.
Bài 6: Ta có : A = với x 0 thì A = . A đạt GTLN khi + x2 nhỏ nhất , ta thấy x2 và là hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
 x2 + = 2 . Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1.
Vậy GTLN của A = , với x= 1; x = -1.
Bài 7: Ta có : Y = . Với x > 0 Y = x + + 10 + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ). Dấu = xẩy ra khi x = 4.
Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 .
Bài 8: Ta có : Y = ( với x 1) Y = ( x + )2 - . 
 Dấu = xẩy ra khi x = - .
Vậy GTNN của Y = -; với x = - .
 ---------------------------------------------------------------------------