Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Tạ Phạm Hải

Tính giá trị của biểu thức đại số
Người viết : Tạ Phạm Hải
Giáo viên Trường THCS Thị trấn Hưng hà - Thái bình
Biểu thức đại số thông thường 
Ví dụ 1 : a. Cho biểu thức f(x) = 2x3 – 3x2 + 1 . Tính f(0) ; f(1) ; f(n)
	 b. Cho biểu thức A = 2xy2 + x2 – 2 tại x = 1 và y = 2
Giải : Dễ dàng
Ví dụ 2 : Tính giá trị của biểu thức B = x4 – 17x3 + 17x2 – 17x + 20 tại x = 16
Giải : Cách 1 : Thay x = 16 vào biểu thức B và tính 
	Cách 2 : Vì 17 = 16 + 1 = x + 1 nên ta thay 17 bằng x + 1 trong B ,ta có :
	B = x4 – ( x + 1)x3 + ( x + 1)x2 – ( x + 1)x + 20 = x4 – x4 – x3 + x3 + x2 – x2 – x + 20 
	B = 20 – x = 20 – 16 = 4
Bài tập : Tính giá trị các biểu thức sau 
f(x) = x3 – 30x2 – 31x + 1 tại x = 31
g(x) = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x tại x = 14
h(x) = x14 – 10x13 + 10x12 – 10x11 + ... + 10x2 – 10x + 10 tại x = 9
K(x) = ( 4x2 + 2x – 1)( x2 – 1) + 3( x2 – 5)( 5 – x2) – ( x2 – 8)2 + 2x + 8 tại x = – 2 
p(a) = ( a3 + 2a2 + 2a + 1)( a3 – 2a2 + 2a – 1) với a = 3
Biểu thức đại số có điều kiện
Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức A = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 2 với x2 – x = 3 
Giải : A = x4 – x3 – x3 + x2 + 2x2 – 2x + 2 = x2( x2 – x) – x( x2 – x) + 2( x2 – x) + 2
	 = 3x2 – 3x + 6 + 2 = 3( x2 – x) + 8 = 3.3 + 8 = 9 + 8 = 17
Ví dụ 2 : Tính giá tị của biểu thức B = x4 + x2y2 + y4 với x2 + y2 = 25 và xy = 12
Giải :
	 B = ( x2 + y2)2 – x2y2 = ( x2 + y2 + xy)( x2 + y2 – xy) = ( 25 + 12)( 25 – 12) =...
Ví dụ 3 : Cho a2 + b2 + c2 = 5 , Tính giá trị của biểu thức 
	C = ( 2a + 2b – c)2 + ( 2b + 2c – a)2 + ( 2c + 2a – b)2
Giải : Ta có ( 2a + 2b – c)2 = 4a2 + 4b2 + c2 + 8ab – 4ac – 4bc 
	( 2b + 2c – a)2 = 4b2 + 4c2 + a2 + 8bc – 4ab – 4ac
	( 2c + 2a – b)2 = 4c2 + 4a2 + b2 + 8ac – 4bc – 4ab
Từ đó C = 9( a2 + b2+ c2 ) = 9.5 = 45
Ví dụ 4 : Cho a + b = ab , tính giá trị của biểu thức 
	D = ( a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 
Giải : Ta có a + b = ab Û ( a + b)3 = a3b3 Û a3 + b3 + 3ab( a + b) = a3b3 
	Û a3 + b3 – a3b3 = – 3ab( a + b) = – 3ab.ab Û (a3 + b3 – a3b3)3 = – 27a6b6
	Û (a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = 0 . Vậy D = 0
Ví dụ 5 : Cho Tính giá trị của biểu thức E = a4 + b4 + c4
Giải :
 Ta có 142 = ( a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) . Vậy ta có :
	a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) . 
Lại có 02 = a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) . Từ đó 
ab + bc + ca = – 7 ị 49 = ( ab + bc + ca )2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2 ( ab2c + a2bc + abc2)
Û 49 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) . Vậy : a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49.
Do đó a4 + b4 + c4 = 196 – 2.49 = 196 – 98 = 98
Ví dụ 6 : Cho Tính giá trị của biểu thức A = a + b2 + c3
Giải : 
13 = ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) . mà a3 + b3 + c3 = 1 nên ta có 
( a + b)( b + c)( c + a) = 0 . Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0.
Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1 ị c2 = 1 thay vào (2) được a = b = 0 ị A = 1
Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1 ị a2 = 1 thay vào (2) được b = c = 0 ị A = 1 
Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1ị b2 = 1 thay vào (2) được a = c = 0 ị A = 1
	Vậy A = 1
Ví dụ 7 : Cho Tính giá trị biểu thức M = x3 + y3 theo a , b
Giải : 
	Ta có a3 = ( x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = M + 3axy . Vậy : M = a3 – 3axy
	Lại có a2 = ( x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = b + 2xy ị xy = ( a2 – b )/2. Thay vào M ta có 
	M = a3 – 3a( a2 – b)/2 = ( 3ab – a3)/2
Ví dụ 8 : Cho Tính giá trị biểu thức N = ( a2 + b2)3 
Giải : 
	Ta có : 192 = a6 – 6a4b2 + 9a2b4 và 982 = b6 – 6a2b4 + 9a4b2 
ị 192 + 982 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = ( a2 + b2)3 . Vậy N = 192 + 982 
Ví dụ 9 : Cho tính giá trị biểu thức N = 
Giải : Từ GT 02 = . Vậy bcx + acy + abz = 0
Lại có 22 = 
do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4
Ví dụ 10 : Cho , Tính P = 2a2 – 8a + 1
Giải : Ta có 
Û 
Û Vậy a = 14
Từ đó thay vào tính được P
Bài tập : 
Cho x + y = 3 , tính A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 1
Cho a + b = 1 , tính B = a3 + b3 + 3ab( a2 + b2) + 6a2b2( a + b)
Cho x + 1 = 1 , tính C = x3 + y3 + 3xy
Cho x2 – 2y2 – xy với y( x + y) ≠ 0, tính giá trị biểu thức K = 
Cho a3 + b3 + c3 = 3abc . Tính giá trị của biểu thức D = 
Cho , Tính giá trị biểu thức E = 
Cho x2 + 9y2 – 4xy = 2xy – | x – 3 | . Tính F = 
Cho a3 + b3 + c3 = 3abc và a + b + c ≠ 0 , tính H = 
Cho , Tính giá trị biểu thức Q = x + y +xy
 Cho a + b + c = 0 , tính S =