Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán - Hàm số bậc nhất - Đồng Đức Lợi

HÀM SỐ BẬC NHẤT
I.Hàm số bậc nhất: y = ax + b ( a ≠ 0
+) TXĐ : R
+) TÝnh chÊt biÕn thiªn :
a > 0 hàm số đồng biến
a < 0 hàm số nghịch biến.
+) Đồ thị: là đường thẳng cắt trục tung tại điểm A( 0; b), cắt trục hoành tại điểm B(; 0)
+) Hệ số góc: a gọi là hệ số góc.
Nếu a = 0 thì y = b là đường thẳng song song với trục hoành.
+) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : 
Xét hai đường thẳng : 
y1 = a1 x + b1 (d1) ; 
 y2 = a2 x + b2 (d2)
d1 ^ d2 Û a1. a2 = - 1.
d1 cắt d2 Û a1 ≠ a2 
d1 / / d2 Û 
d1 º d2 Û 
Bài 1 : Cho hàm số : y = ( m – 1).x + m (d)
Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến ?
Tìm m để hàm số song song với trục hoành.
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A( - 1 ; 1)
Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình : x – 2y = 1
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ 
Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
Bài 2 : Cho hàm số y = ( m – 2).x + n (d’) trong đó m, n là tham số
a)	Tìm m, n để (d’) đi qua hai điểm A(1 ; - 2) ; B(3 ; - 4 )
b)	Tìm m, n để (d’) cắt trục tung tại điểm M có tung độ và cắt trục hoành tại điểm N có hoành độ 
c)	Tìm m để : (d’) vuông góc với đường thẳng có phương trình : x – 2y = 3 (d’) song song với đường thẳng có phương trình : 3x + 2y = 1.
( d’) trùng với đường thẳng có phương trình : y – 2x + 3 = 0
Bài 3 :
a)	Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(x0, y0), hệ số góc là k.
b)	Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(x1, y1) và N( x2, y2)
c)	Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B( - 1 ; 3) và :
Song song với đường thẳng : 3x – 2y = 1.
Vuông góc với đường thẳng : 3y – 2x +1 = 0
Bài 4: Cho hàm số : y = 
a , Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành ?
b , Gọi A , B là thứ tự các giao điểm nói trên . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc tọa độ )
Bài 5 : Trong các hàm số sau hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất xác định các hệ số a , b của chúng và cho biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến ? 
 a ) b , 
 c ) d ) 
 e ) g ) 
Bài 6 : Trong các quy tắc cho tương ứng sau , quy tắc nào cho ta hàm số bậc nhất ?
a ) Chu vi y của hình vuông và cạnh x của nó 
b ) Diện tích y của hình vuông và cạnh x của nó 
c ) Chu vi y của đường tròn và bán kính R của nó 
d ) Diện tích y của đường tròn và bán kính R của nó 
e ) Diện tích y ( m2 ) của hình chữ nhật có một cạnh 10 m và cạnh x (m ) còn lại của nó 
f ) Diện tích y ( m2 ) của tam giác có đáy 10 m và chiều cao tương ứng x (m ) của nó 
Bài 7 : Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ biết A ( 1;3 ) , B ( -2;0 ) , C ( 2;0 ) . Tính diện tích tam giác ?
Bài 8 : Cho điểm A ( 2;1) . Xác định tọa độ các điểm :
a ) B đối xứng với A qua trục tung 
b ) C đối xứng với A qua trục hoành 
c ) D dối xứng với A qua O
Bài 9 : Tìm trên mặt phẳng tọa độ các điểm :
a ) Có tung độ bằng -1 
b) Có hoành độ bằng 2 
c)	C tung độ gấp đôi hoành độ. 
Bài 10 : Vẽ đồ thị các hàm số :
a) b) 
Bài 11 : Cho hàm số y = 2x 
Vẽ đồ thị hàm số 
Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng . Xác định tọa độ điểm A ?
Bài 12 : Cho các hàm số y= -2x , 
Vẽ đồ thị các hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ ?
Gọi (d1) , (d2) thứ tự là đồ thị của các hàm số nói trên . xác dịnh điểm B thuộc (d1) và điểm C thuộc (d2) sao cho hoành độ của chúng đều bằng 2 ?
Giải thích vì sao các đường thẳng (d1) và (d2) vuông góc với nhau ?
Bài 13 : Xác định hàm số y = ax +1 biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A( 2 ;0) . Vẽ đồ thị hàm số với a tìm được?
Bài 14 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng 
y = -2x và đi qua điểm A ( 1 ; -4 ) . Vẽ đồ thị hàm số với a,b tìm được?
Bài 15 : Xác định hàm số y = ax +b biết rằng đồ thị của nó cát trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 , cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 ?
Bài 16 : Vẽ đồ thị hàm số y = | x | +1
Bài 17 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng và đi qua điểm A ( 3 ; -1 ) 
Bài 18 : Cho điểm A ( 2;3 ) . xác định hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm B ( 2 ;-1 ) và song song với đường OA ( O là gốc tọa độ ) 
Bài 19 : Xác định các giá trị của m để đường thẳng y = mx +1 cắt đường thẳng y = 2x+3
Bài 20 : Cho hàn số y=ax có đồ thị đi qua điểm A ( 3 ; ) . xác định hệ số a và tính góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox ?
Bài 21 : Cho hàm số y = x -2 
Vẽ đồ thị hàm số 
Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng y = x -2 và tia Ox . tính a ?
Bài 22 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 và tạo với tia Ox góc a = 600
Bài 23: Cho các đường thẳng 
 	(d1)
 	(d2)
 	(d3)
Không vẽ các hàm số đó cho biết các đường đó có vị trí như thế nào với nhau ?
Bài 24 : Cho các hàm số sau , hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất hãy xác định các hệ số a ,b và cho biết hàm số nào đồng biến , hàm số nào nghịch biến ?
 a) y = 3x -7 b) 169-13x
 c) d ) 
Bài 25 : Cho hàm số y = f(x) =3x+6 và y=g(x) = 6-3x , hãy tính f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) , f(5) và g(1) , g(2) ,g(3) ,g(4), g(4) 
Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số f(x) và g(x) với cùng một giá trị biến x ?
Bài 26 : Trên mặt phẳng tọa độ OXY , vẽ tam giác ABC biết A( 1;2) , B ( -1;0) , C(2;0)
Tính diện tích tam giác ABC 
Tính chu vi tam giác ABC
Bài 27 : Cho hàm số 
Chứng tỏ hàm số đã cho là hàm số bậc nhất . Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
Tìm giá trị của biến x để y = 0
Bài 28 : Trong mặt phẳng tọa độ OXY ,cho điểm A1( 2 ; 2) . Vẽ A2 đối xứng A1 qua Ox A4 
đối xứng A1 qua trục Oy , A3 đối xứng A1 qua gốc tọa độ .
Chứng minh tứ giác A1 A1 A 1A4 là hình vuông và điểm O là tâm hình vuông đó 
Tính chu vi và diện tích hình vuông A1 A1 A 1A4 
Bài 29 : Cho hàm số 
Vẽ đồ thị hàm số 
Xác định tung độ các điểm A , B ,C thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt là -1 ;1 ; 2
Tính khoảng cách từ A, B ,C đến gốc tọa độ 
Gọi a là góc hợp bởi đồ thị với trục Ox . tính tga từ đó suy ra góc a
Bài 30 : Cho hàm số y = | x | 
Vẽ đồ thị hàm số 
Vẽ đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = |x | tại A và B . chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông . Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 31: a) Biết đồ thị hàm số y = ax +7 đi qua điểm M ( 2 ; 11 ) tìm a ?
b)	Biết rằng khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8 . Tìm b ?
Bài 32 : Cho hàm số y = 2x và y = -3x +5 
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ ,đồ thị hai hàm số trên ?
Tìm tọa độ giao điểm M của hai hàm số nói trên . goi A , B lần lượt là giao điểm của đường thẳng y = -3x +5 với trục hoành và trục tung . Tính diện tích tam giác OAB và tam giác OMA
Bài 33 : Cho hàm số y = -x +1 , y = x+1 , y = -1 
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ , đồ thị các hàm số đó. 
Gọi giao điểm của hai đường thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đường thẳng y = -1 với hai đường thẳng trên là B , C . Chứng tỏ tam giác ABC là tam giac cân . Tính chu vi và diện tích tam giác ?
Bài 34 : Một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc bằng 5 
Viết phương trình đường thẳng đó 
Các điểm M ( 2;5) , N(1;5) , P ( 3;5 ) có thuộc đường thẳng đã cho không ?
Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng song song với đường thẳng trong câu a
Bài 35 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = -2x + 5 và thỏa mãn một trong các điều kiện :
Đi qua gốc tọa độ 
Đi qua diểm M ( 1; 1 ) 
Đi qua điểm N ( -1 ;10) 
Bài 36 : a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A ( 4 ; -5 ) và có hệ số góc a = -2 
b)Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B ( 0 ;1 ) và C ( 8 : -1) 
Ba điểm sau đây có thẳng hàng hay không : M ( -2 ; -3 ) , N ( -6 ; -5 ) , P ( 1 ; 1 ) 
Bài 37 : Chứng tỏ ba điểm A ( 2;3) , B ( -1;-3) , C ( 0 ; -1 ) là ba điểm thẳng hàng 
Bài 38 : Chứng minh rằng các đường thẳng y = 2x +4 , y = 3x + 5 , và y = -2x cùng đi qua một điểm ?
Bài 39 : Với giá trị nào của k thì hai đường thẳng y = ( k+2 )x +1 ; y = 3x -2
Song song với nhau. 
Cắt nhau. 
Vuông góc với nhau.
Bài 40 : Giải các phương trình sau và viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình đó 
 a) 3x+4y=7 b) x-5y=8
 c) 0x+3y=0 d) 7x + 0y=0
Bài 41 : a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng có phương trình sau : 
x – y = 0 ; x + 2y = 0 ; 2x + y - 3 = 0 
b)Tìm tọa độ giao điểm của từng cặp hai đường thẳng và diện tích của tam giác có 3 đỉnh là 3 giao điểm nói trên ?
Bài 42 : Chứng minh rằng khi k thay đổi thì các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định 
kx – 2y =6
k( x-1) +3y =1
Bài 43 : 
Vẽ tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ biết A ( 3 ; 4) , B ( -5 ;0) , C ( 0 ;7)
Tìm khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến gốc tọa độ 
Tìm tọa độ các điểm đối xứng của đỉnh A qua Ox , Oy và gốc O
Bài 44 : Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng :
a)Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ là 2
b)Đồ thị là một đường thẳng có hệ số góc là -3 và đi qua điểm C ( 1 ; 2)
Bài 45 : Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng 
Đồ thị nó đi qua hai điểm M ( 1;3) , N ( 2 ; 1) 
Đồ thị của nó là một đường thẳng song song với đường thẳng y = -3x +1 và đi qua 
điểm P ( 2 ;-2)
Đồ thị của nó là một đường thẳng đi qua điểm Q ( 1 ; 4 ) và song song với đường thẳng chứa phân giác của góc phần tư thứ nhất ?
Bài 46 : Tìm giao điểm của các đường thẳng sau :
2x + y = 7 và x- 3y + 14 =0
y = 2x + 1 và y = 4x - 3
Bài 47 : a) Không vẽ đồ thị hãy nhận xét rằng ba đường thẳng : y = 3x + 1 ; y = 1 – x ; đồng quy tại một điểm . Tìm tọa độ điểm đó ?
b)Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 5x + m đồng quy với hai đường thẳng 	y = 3x + 1 ; y = x -1 
Bài 48 : Tìm các giá trị của m để các đường thẳng mx - 2y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0 
Cắt nhau 
Song song nhau 
Trùng nhau 
Bài 49 : Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác mà các cạnh có phương trình là : 3x + y = 7 ;	2x + 5y = 22 ; x – 4y = -2 
Bài 50 : Vẽ đồ thị của y = | x| +|x-1| +|x-2|
Bài 51 : a) Cho điểm A ( 2 ; 3 ) . Tìm tọa độ các điểm đối xứng A qua Ox , Oy và gốc tọa độ O 
b)Rút ra nhận xét về tọa độ của các điểm đối xứng của A qua Ox , Oy và gốc O
Bài 52 : Cho các hàm số f(x)=3x ; g(x) =3x+2 ; h(x) =3x-1 
Với x = -2; 1; 0; 2; 3 hãy tìm các giá trị tương ứng f(x) ., g(x), h(x) và g(x)-f(x) ; h(x)-f(x) ; g(x) – h(x) 
Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số ứng với cùng cùng một giá trị của biến x ?
Bài 53 : a) Vẽ đồ thị hàm số 
b)Tìm tung độ các điểm M ,N ,P thuộc đồ thị có hoành độ là -1 ; 2 ; 3
Gọi a là góc tạo bởi đường thẳng với tia Ox . tính tg a , suy ra số đo góc a ?
Bài 54 : a) Cho hàm số y = 2x -3 ; y = 3 -2x ; trên cùng một hệ trục tọa độ . có nhận xét gì về đồ thị của các hàm số này ?
b) Cũng hỏi như thế với các hàm số : y = x - 2 ; y = -3x - 2 ; 
Bài 55 : Xác định hàm số y = ax + b biết 
a = 2 đô thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3.
a = 3 đồ thị hàm số đi qua điểm ( 2;1 ). 
Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x và đi qua điểm ( 1 : 3 )
Có nhận xét gì về góc của ba đường thẳng trong các câu a )b)c ) tạo với tia Ox ?
Bài 56 : Cho tam giác đều ABC có cạnh dài 3 cm . Kẻ một đường song song với BC cắt AB ở M cắt AC tại N . goi AM = x ,hãy tính và biểu diễn bằng đồ thị chu vi hình thang BMCN theo x 
Bài 57 : Vẽ đồ thị các hàm số y1 = x +1 ; y2 = ; gọi lần lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên với tia Ox . CMR : và suy ra 
Bài 58 : Biết tọa độ ba đỉnh hình vuông A(-2 ; 0 ) ; B ( 0;2) ; C( 2 ; 0 ) 
Hãy xác định tâm I của hình vuông và đỉnh thứ tư D của nó 
Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông 
Bài 59 : Gọi (d) là đường thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại C và trục tung tại D 
Viết phương trình đường thẳng (d1) // (d) và qua điểm A ( 1 ; 0).
(d1) cắt trục tung tại B tứ giác ABCD là hình gì ?
Viết phương trình đường thẳng (d2) qua điểm D và vuông góc với (d).
(d1) và (d2) cắt nhau tại M .Tìm tọa độ của M và tính diện tích tứ giác BCDM
Bài 60 : Cho hai phương trình : 
| x | = 2x-1 ( 1) và | x | = -x -5 ( 2) 
Giải (1) và chứng tỏ ( 2) vô nghiệm ?
Dùng đồ thị để tìm lại kết quả của câu hỏi trên .
Bài 61 : CMR khi a thay đổi , các đường thẳng ax + 5y = 2 luôn luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 62 : Xét các đường thẳng (d) có phương trình ( m +2 ) x +(m - 3)y – m + 8 = 0 . 
CMR với mọi m , các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A ( -1 ; 2 ) 
Bài 63 : CMR khi m thay đổi , các đường thẳng 2x + ( m - 1)y = 1 luôn luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 64 : Vẽ đồ thị các hàm số : 
a) b) 
Bài 65 : Cho hàm số : y = | x | + | 1- x | 
Vẽ đồ thị hàm số 
Dùng đồ thị tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức | x | + |1-x | 
Dùng đò thị cho biết phương trình | x| + | 1-x | =m có bao nhiêu nghiệm nếu m = 1 , m > 1 và m <1 ?
Bài 66 : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình 
a) 6x + y = 5 b) 4x + 3y = 20
Bài 67 : Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình : 
a) 4x + 11y = 47 b) 11x + 8 y = 120
Bài 68 : a) Vẽ đồ thị của phương trình 2x – 3y = 6 
b) Biết rằng đương thẳng 2x - 3y = 6 chia mặt phẳng thành hai miền ( không kể đường thẳng ) một miền gồm các điểm ( x, y ) mà 2x -3y 6 . Hãy xác định hai miền đó trên hình vẽ .
Bài 69 : Cho đường thẳng ( m - 2)x+(m - 1)y = 1 ( m là tham số ) 
CMR đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m 
Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng là lớn nhất .
Bài 70 : Xét các đường thẳng (d) có phương trình : ( 2m + 3)x +(m + 5)y + (4m - 1) = 0 ( m là tham số ) 
Vẽ đồ thị đường thẳng (d) ứng với m = -1 
Tìm điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) đều đi qua 
Bài 71 : Cho hai điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) với x1 ≠ x2 ; y1 ≠ y2 . CMR nếu đường thẳng y = ax + b đi qua A , B thì