Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Chuyên đề: Bất đẳng thức cô-si và các hệ quả - Lê Lợi

I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ 
A.Một số ví dụ: 
1. Chứnh minh : a2
 + b2
 ≥ 2ab 
 (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si) 
Giải: 
 ( a - b )2
 = a2
 - 2ab + b2
 ≥ 0 ⇒ a2
 + b2
 ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b 
2. Chứng minh: ( a + b )2
 ≥ 4ab 
 . (Với a , b ≥ 0) 
Giải: 
( a+b )2
 = (a2
 - 2ab + b2
 )+ 4ab = (a-b)2
 + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b )2
 ≥ 4ab .Đẳng thức 
xảy ra khi a = b. 
3. Chứng minh: 2(a2
 + b2
) ≥ ( a+b )2
 (Với a , b ≥ 0) 
Giải: 
2(a2
 + b2
) - ( a+b )2
 = a2
-2ab+b2
 = (a-b)2
 ≥ 0 ⇒ 2(a2
 + b2
) ≥ ( a+b )2
. Đẳng thức xảy ra 
khi a = b. 
4. Chứng minh: 
a
b + 
b
a
 ≥ 2 
 .(Với a.b > 0) 
Giải: 
a
b + 
b
a
 = 
(a2
+b2
)
ab .Do ab ≤ 
a2
+b2
2 ⇒ 
(a2
+b2
)
ab ≥ 2 .Hay 
a
b + 
b
a
 ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra 
khi a = b 
5. Chứng minh: 
a
b + 
b
a
 ≤ - 2 
 .(Với a.b < 0) 
Giải: 
a
b + 
b
a
 = - 
a2
+b2
| |a.b .Do 
a2
+b2
| |a.b ≥ 2 ⇒ - 
a2
+b2
| |a.b ≤ -2. Hay 
a
b + 
b
a
 ≤ - 2. Đẳng thức xảy ra khi 
a = -b. 
6. Chứng minh: 1a + 
1
b ≥ 
4
a+b . (Với a , b > 0) 
Giải: 
1
a
 + 
1
b - 
4
a+b = 
(a+b).a+(a+b).b-4ab
(a+b).ab = 
(a-b)2
(a+b).ab ≥ 0 ⇒ 
1
a
 + 
1
b ≥ 
4
a+b. Đẳng thức xảy ra 
khi a = b. 
7. Chứng minh rằng: a2
 +b2
 +c2
 ≥ ab+bc+ca 
 . 
Giải: 
 2(a2
 +b2
 +c2
) - 2(ab+bc+ca) =(a-b)2
 +(b-c)2
 +(c-a)2
 ≥ 0 
 ⇒ 2(a2
 +b2
 +c2
) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a2
 +b2
 +c2
 ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a = 
b;b = c;c = a ⇔ a = b= c. 
• 0A B A B≥ ⇔ − ≥ 
• Cần lưu ý tính chất: 02 ≥A 
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0 
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp 
B.Bài tập vận dụng: 
Chứng minh các bất đẳng thức sau 
1. a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc 
2. ( )edcbaedcba +++≥++++ 22222 
3. ( )( )( )( ) 1106431 ≥+−−−− xxxx 
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ 0 
6. a2 + 9b2 + c2 + 
2
19
 > 2a + 12b + 4c 
7. a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 ≥ 4 
8. x2 – xy + y2 ≥ 0 
9. x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 ≥ 0 
10. x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 ≥ 0 
11. x4 + x3y + xy3 +y4 ≥ 0 
12. x5 + x4y + xy4 +y5 ≥ 0 với x + y ≥ 0 
13. a4 + b4 +c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 
14. (a2 + b2).(a2 + 1) ≥ 4a2b 
15. ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) 
16. 
222
22





 +≥+ baba
17. 
2222
33





 ++≥++ cbacba
18. b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++≤++
 (với a ≥ b ≥ c > 0) 
19. 
ab
abba
+
≥+
9
12
 ( Với a,b > 0) 
20. 
cbaab
c
ca
b
bc
a 111
++≥++
 (Với a,b,c > 0) 
===========o0o=========== 
HƯỚNG DẪN: 
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không nói gì 
thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT có dấu 
;≤ ≥ thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra. 
A – B = ( )222 bca −+ 
Bài 2: 4A – 4B = ( ) ( ) ( ) ( )2222 2222 eadacaba −+−+−+− 
Bài 3: A – 1 = ( )( )( )( ) 96431 +−−−− xxxx = ( )23+Y 
Bài 4: A – B = ( ) ( ) ( ) 113321 222 +−+−+− cba 
Bài 5: A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2 
Bài 6: A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +
2
1
Bài 7: A – B = ( ) ( )22 12 −+− bba 
Bài 8: 
x
2
 – xy + y2 = 
4
3
2
22 yy
x +





− 
Bài 9: 
.x
2
 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = ( ) ( )( ) ( )22 1111 −+−−−− yyxx . 
Biến đổi tiếp như bài 8 
Bài 10: Tương tự bài 9 
Bài 11: x4 + x3y + xy3 +y4 = ( )( )222 yxyxyx ++− 
Bài 12: Tương tự bài 11 
Bài 13: Xem ví dụ 7 
Bài 14: A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b 
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d ) 
 = ( )( )badc −− 
Bài 16: 
A - B = ( ) ( )
4
2 222 baba +−+
. 
Bài 17: Xem bài tập 16 
Bài 18: 
 A - B = (a-c)(b-a)( a-b). 1
abc 
(Với a ≥ b ≥ c ≥ 0) 
Bài 19: 
A - B = ( ) ( )
ab
baab
+
−+−
9
33 22
 ( Với a,b > 0) 
Bài 20: 
A - B = 
( ) ( ) ( )
abc
abacacbcbcab 222 −+−+−
(Với a,b,c > 0) 
===========o0o=========== 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 I: DẠNG P = ax2
 + bx + c 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
• Nếu a > 0 : 
22
2 4ac-bax + bx +c = 
4a 2
bP a x
a
 
= + + 
 
 Suy ra 
24ac-b
 = 
4a
MinP Khi bx=-
2a
• Nếu a < 0 : 
22
2 4 a c+bax + bx +c = 
4 a 2
bP a x
a
 
= − −  
 
Suy ra 
24 a c+b
ax
4 a
M P = Khi bx=
2 a
Một số ví dụ: 
1. Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7 
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2
5 25 252( 2. ) 7
4 16 16
x x+ + − + = 
2 2 25 25 56 25 5 31 52( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
−
= + − + = + + = + + . 
 Suy ra 
31 5
8 4
MinA Khi x= = − . 
2. Tìm GTLN của A = -2x2 + 5x + 7 
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2
5 25 252( 2. ) 7
4 16 16
x x− + − + = 
2 2 25 25 56 25 5 81 52( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
+
= − − + + = − − = − −
 ≤ 818 . 
Suy ra 81 5
8 4
MinA Khi x= = . 
3. Tìm GTNN của B = 3x2
 + y2
 - 8x + 2xy + 16. 
Giải: B = 3x2
 + y2
 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2)2
 + (x + y)2
 + 8 ≥ 8. 
 ⇒ MinB = 8 khi : 


x-2=0 
x+y=0 ⇔ 
x=2 
y=-2 . 
4. Tìm GTLN của C = -3x2
 - y2
 + 8x - 2xy + 2. 
Giải: C = -3x2
 - y2
 + 8x - 2xy + 2 = 10 -[ ]2(x-2)2
+(x+y)2
 ≤ 10. 
 ⇒ GTLNC = 10 khi: 


x-2=0 
x+y=0 ⇔ 
x=2 
y=-2. 
BÀI TẬP: 
5. Tìm GTNN 200852 +−= xxA 
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2 
7. Tìm GTLN D = xx 52007 2 −− 
8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1. 
9. Tìm GTNN của G = 122510 234 ++− xxx 
10. Tìm GTNN của M = x2
 + 2y2
 - 2xy + 2x - 10y. 
11. Tìm GTNN C = ( ) 513413 2 +−−− xx 
12. Tìm GTNN của N = (x +1)2
 + ( x - 3)2
13. Tìm GTNN của K = x2
 + y2
 - xy +x + y 
HƯỚNG DẪN 
5. A = x2
 - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75 
 ⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5 
6. B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2 
7. D = 2007 - x2
 - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2 
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2
 +x+1)2
 = 





(x+12)
2
+
3
4
2
 . 
9. G = x4
 - 10x3
 +25x2
 + 12 = x2
(x - 5)2
 + 12 
10. M = x2
 + 2y2
 - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1)2
 + (y - 4)2
 -16. 
11. C = ( ) 513413 2 +−−− xx 
 * Nếu x ≥ 13 . C = (3x - 3)
2
 + 1 
 * Nếu x < 13 .C = (3x + 1)
2
 + 6 
12. N = (x +1)2
 + ( x - 3)2
 = 2(x- 1)2
 + 8 
13. K = x2
 + y2
 - xy +x + y = 12 ( x - y)
2
 + 
1
2(x + 1)
2
 + 
1
2(y + 1)
2
 - 1. 
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một 
bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-
cốp-ski 
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, 
tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 
1. abba 222 ≥+ (a,b>0). (BĐT Cô-si) 
2. ( ) abba 42 ≥+ 
3. ( ) ( )2222 baba +≥+ 
4. 0,;2 >≥+ ba
a
b
b
a
5. 0,;411 >
+
≥+ ba
baba
6. cabcabcba ++≥++ 222 
7. ( ) ( )( )22222 yxbabyax ++≤+ ( Bu nhi a cop xki) 
8. 
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+≥+
222
9. 
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++≥++
2222
Ví dụ 9:Chứng minh cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
 (Với a,b,c > 0) 
Giải:2A - 2B = cba
b
ca
a
bc
c
ab 222222 −−−++
= 





−++





−++





−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
ab
b
c
c
b
a 
Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 >≥+ ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B 
( ) ( ) ( ) 0222222 ≥−+−+−≥ cba .Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 821 22 ≥+
+
yxxy
. 
Giải: 22222222 2
421
2
122
2
221
yxyxyxxyyxxyyxxy ++
≥





+
+=
+
+=
+
+
( ) 8
8
2 =+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi 
2
1
== yx
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : 
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++ 2
2
2
2
2
2
Giải: 
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
.2.22
2
2
2
=≥+
 ; 
a
b
a
c
c
b
a
c
c
b
.2..22
2
2
2
=≥+
 ; b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
.2..22
2
2
2
=≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒






++≥





++
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.. 
Bài tập: 
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng ( ) 9111 ≥





++++
cba
cba
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8 
3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng 
a) a2
 + b2
 ≥ 12 b) a
4
 + b4
 ≥ 18 
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: 1
a
 + 
1
b + 
1
c
 ≥ 9 
5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng: 
x
1+x2
 + 
y
1+y2
 + 
z
1+z2
 ≤ 32 ≤ 
1
1+x + 
1
1+y + 
1
1+z 
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 a. 
1
ab + 
1
a2
+b2
 ≥ 6 
 b. 2
ab + 
3
a2
+b2
 ≥ 14 
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng 
 (a + 1b )
2
 + (b + 1
a
 )2
 ≥ 252 
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0 
,
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
9. Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh : 
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
++≥++ . 
10. Cho a,b,c là 3 số dương. 
Chứng minh rằng :
2
222 cba
ab
c
ca
b
cb
a ++≥
+
+
+
+
+
. 
11. Chứng minh: a4
 + b4
 ≥ 18 với a + b ≥ 1 
12. Chứng minh:
2
3≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
 Với a,b,c > 0 
13. Chứng minh: ( )cbaabccba ++≥++ 444 
14. Bài 28: Cho ;0;0;0 ≥≥≥ zyx 
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz 
15. Cho A = 
13
1
...
22
1
12
1
...
2
1
1
1
+
++
+
+
+
++
+
+
+ nnnnn
 Chứng minh rằng 1>A 
HƯỚNG DẪN: 
1. A = 922233 =+++≥





++





++





++
a
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
2. Áp dụng (a + 1)2
 ≥ 2a 
3. a) A - B = a2
 + b2
 - 
1
2 =2( a
2
 + b2
) - (a + b)2
 ≥ 0. 
b) Áp dụng câu a. 
4. Xem bài 1 
5. x1+x2
 + 
y
1+y2
 + 
z
1+z2
 ≤ x2x + 
y
2y + 
z
2z = 
1
2 +
1
2 +
1
2 = 
3
2 . 
1
1+x + 
1
1+y + 
1
1+z ≥ 
(1+1+1)2
(3+x+y+z) ≥ 
9
6 = 
3
2 
6. A = 1
ab + 
1
a2
+b2
 = ( 12ab + 
1
a2
+b2
) + 12ab ≥ 
4
(a+b)2
 + 
2
(a+b)2
 = 6 ( vì 2ab ≤ 12 (a+b)
2
 ) 
 B = 2
ab + 
3
a2
+b2
 = 3( 12ab +
1
a2
+b2
) + 12ab 
7. (a + 1b )
2
 + 
25
4 + (b + 
1
a
 )2
 + 
25
4 = 



(a+1b)
2
+(52)
2
 + 





(b+1
a
)2
+(52)
2
 ≥ 5(a + 1b ) + 5(b + 
1
a
 ) 
 = 5( a + b) + 5(1
a
 + 
1
b ) ≥ 5( a + b) + 5. 
4
(a+b) = 25 
 Suy ra: (a + 1b )
2
 + (b + 1
a
 )2
 ≥ 252 
8. 1
a+3b + 
1
b+2c+a ≥ 
2
a+2b+c ; 
1
b+3c + 
1
c+2a+b ≥ 
2
b+2c+a ; 
1
c+3a + 
1
a+2b+c ≥ 
2
c+2a+b 
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm 
9. Ta có: abc + 
b
ac
 = 
1
c
 ( ab + 
b
a
 ) ≥ 2. 1
c
ab
c
c
b
aab
c
ac
b 1
.21 ≥





+=+
bc
a
a
c
bbc
a
ab
c 1
.21 ≥





+=+ 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.(Hãy kiểm 
tra lại) 
10. Áp dụng BĐT ( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++≥++
2222
11. a4
 + b4
 ≥ 12 ( a
2
 + b2
 )2
 ≥ 12 



1
2(a+b)
2
2
 ≥ 18 
12. ( ab+c + 1) + ( 
b
c+a
 + 1) + ( c
a+b + 1) = 
a+b+c
b+c + 
a+b+c
c+a
 + 
a+b+c
b+a 
= (a+b+c) ( 1b+c + 
1
c+a
 + 
1
a+b ) ≥ (a+b+c) . 
9
2(a+b+c) = 
9
2 Suy ra: 
2
3≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
13. Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số 444 cba ++ rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số 
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm. 
14. Áp dụng BĐT ( ) xyyx 42 ≥+ .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM 
15. A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT 0,;411 >
+
≥+ ba
baba
Với từng cặp số hạng 
thích hợp sẽ có đpcm 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 I.Dạng: Tìm GTLN A = m
ax2+bx+c ⇔ Tìm GTNN của ax
2
 + bx +c 
 Ví dụ: Tìm Max của A = 
52
5
2
−− xx
 Giải: B = x2 - 2x - 5 = (x - 1)2 - 6 ⇒ MinB = -6 khi x = 1⇒ MaxA = - 56 khi x = 1. 
 II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = mx
ax2+bx+c ⇔ Tìm GTNN(GTLN) của 
1
A 
 Ví dụ: Tìm GTNN của B = x
2
+x+1
x
2
+2x+1 
 Giải: B = 1 - x
x
2+2x+1 .Đặt C = 
x
x
2+2x+1 ⇒ 
1
C = (x + 
1
x
) + 2 ≥ 4 ⇒ Min1C = 4 khi x 
= 1. ⇒ MaxC = 14 ⇒ MinB = 
3
4 khi x = 1. 
Tìm GTNN của các biểu thức sau: 
1. (4x+1)(4+x)
x
 với x > 0 
2. x
2
+2x+1
x+2 với x > -2 
3. x2
 -x + 4 + 1
x
2
-x+1 
4. x
4
+4x3
+4x2
+9
x
2
+2x 
5. (x
2
+2x+3)(x2
+2x+9)
x
2
+2x+1 
6. 2
2 14
x
xx +−
7. ( )2
2
12
164
−
+−
x
xx
8. 
228
41162
2
2
+−
+−
xx
xx
9. 
8
512
2
6
+
+
x
x
10. 
42
3
2
−+− xx
11. 
1
3
2
2
+x
x
Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
1. x(x+2008)2
2. 34x2
-4x+5 
3. 
13
3
2 ++ xx
4. x
2
-6x+14
x
2
-6x+12 
5. ( )22008+x
x
6. I = x
2
-2x-1
x
2
 (Với x ≠ 0) 
DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến 
1. Cho 3x + y = 1 
 a.Tìm GTNN của A = 3x2
 + y2
 b.Tìm GTLN của B = xy 
2. Cho a , b > 0 và a + b = 1 .Tìm GTNN của 
C = (1+ 1
a
 )2
 + (1 + 1b )
2
3. Tìm GTLN của các Biểu thức: 
 a.D = 2x(16 - 2x) với 0 < x < 8 
 b. E = 11
x
+
1
y
 với x > 0; y > 0; x + y = 10. 
4. Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x2 + 2y2 
5. Cho 4x - 3y = 7. 
 Tìm GTNN của 2x2 + 5y2 
6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của yx + 
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10. Tìm 
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của : x2 
+ y2 
8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả 
mãn : x + y = 2009 . Tìm 
GTNN và GTLN của A = x.y 
9. Tìm GTNN của P = x3
 + y3
 + x2
 + y2
 với 
x + y = 1. 
10. Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx Với x 
+ y + z = 3. 
11. Cho x + 2y = 3. Tìm 
GTNN của R = x2
 + 2y2
12. Cho x + 2 + z = 3. Tìm GTNN của H 
 = x
2
 + y2
 + z2
 + xy +yz + zx 
Tìm GTNN và GTLNcủa các biểu thức sau: 
1. 4x+3
x
2
+1 
2. x
2
+2x+3
x
2
+2 
3. 
9
1227
2 +
−
=
x
xA 
4. 
14
38
2 +
+
=
x
xB 
5. 
2
12
2 +
+
=
x
xC 
6. 
1
323
2
2
+
+−
=
x
xxD 
7. 
5
14
2 +
+
=
x
xE 
12. (4x+1)(4+x)
x
 = 17 + 4x + 4
x
13. x
2
+2x+1
x+2 = 
14. x2
 -x + 4 + 1
x
2
-x+1 
15. x
4
+4x3
+4x2
+9
x
2
+2x 
16. (x
2
+2x+3)(x2
+2x+9)
x
2
+2x+1 
17. 2
2 14
x
xx +−
18. ( )2
2
12
164
−
+−
x
xx
19. 
228
41162
2
2
+−
+−
xx
xx
20. 
8
512
2
6
+
+
x
x
21. 
42
3
2
−+− xx
22. 
1
3
2
2
+x
x
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Bài 7: Tìm GTNN của các biểu thức 
 1. 3222 22 +−−+= xxyyxA 
2. 1710222 22 +−++−= yxyxyxB 
3. yxyxyxC 2222 −−+−= 
4. yxyxyxD 3322 −−++= 
5. yxyxyxE 228522 22 −−++= 
6. 7222 22 +−−+= xxyyxF 
7. 3222222 +−−−++= zyxzyxG 
8. zxyzxyzyxH −−−++= 222 
Bài 8: 
 4. Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2 
HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 + 2.2y )2 
5. Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 5y2 
HD: Viết :4x - 3y = ( 




 −
+
5
3
.5
2
4
.2 yx ) 
6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của yx + 
HD: (x + y)2 ≥ 2xy ⇒ 2≥+ yx 
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất 
và giá trị lớn nhất của : x2 + y2 
HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy ≥ 10 -4(x2 + y2 ) 
⇒ 11(x2 + y2 ) ≥ 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 10/11 
8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn : 
 x + y = 2009 .Tìm GTNN và GTLN của A = x.y 
HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2 . 
*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1 
*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất