Chuyên đề 2: Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực Đại số 8 - Lê Gia Lợi - Trường THCS Triệu Trạch

CHUYÊN ĐỀ II : PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG 
MẪU MỰC 
( TÀI LIỆU SƯU TẦM ) 
PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH 
 A/ PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 
a) Thí dụ : 
1) Giải phương trình (*) : 21102 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x − 6 
2) Giải phương trình : 3x+1 + 2x . 3x – 18x – 27 = 0 
3) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3 = x6 − ( 3x – 2 )3 
4) Giải phương trình : ( 2x2 – 3x – 1 )3 – ( x2 – 2 )3 – ( x2 – 3x + 1 )3 
= 0 
5) Giải phương trình : ( x2 – 4x + 1 )3 = ( x2 – x – 1 )3 – ( 3x – 2 )3 = 
0 
6) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3 + ( −x2 + x + 1 )3 + ( 2x – 3 )3 = 
0 
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36 
8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2 3 2 25 −+ xx − 2 
9) Giải phương trình : 3 1 x− + 2+x = 1 
10) Giải phương trình : ( x + 2 )4 + x4 = 82 
11) Giải phương trình : x4 – 5x2 – 2x + 3 = 0 
12) Giải phương trình : 
axx
x
++ 92
 = 
axx
axx
++
++
8
10
2
2
 ( a là hằng số 
) 
13) Giải phương trình : ( 4x – 1 ) 12 +x = 2 (x2 + 1 ) + 2x – 1 
14) Giải phương trình : ( x2 – 2x + 2 )4 – 20x2 (x2 – 2x + 2 )2 + 64x4 = 
0 
15) Giải phương trình : ( x +4 )4 = 2 ( 2x + 13 )3 + 50 ( 2x + 13 ) 
16) Giải phương trình : 
209
1
2 ++ xx
 + 
3011
1
2 ++ xx
 + 
4213
1
2 ++ xx
= 
18
1 
17) Giải phương trình : 
⇔ ⇔ 
⇔ ⇔ 
45
1
2 ++ xx
 + 
2811
1
2 ++ xx
 + 
7017
1
2 ++ xx
 + 
13023
1
2 ++ xx
 = 
13
4 
18) Giải phương trình : 
5
349
324
5
325
4
326
3
327
2 +
+
+
+
+
+
+
+
+ xxxxx = 0 
 19) Giải phương trình : 
8
12
2
6
22 +
+
+ xx
 = 3 − 
3
7
2 +x
 20)Giải phương trình : 
1
3
6
164
22
2
+
−
+
+
xx
x = 
5
7
3
5
22 +
+
+ xx
 21)Giải phương trình : 
23
1
+++ xx
 + 
12
1
+++ xx
 + 
xx ++1
1 = 1 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
1) Giải phương trình (*) : 21102 ++ xx = 3 3+x + 2 7+x − 6 
(1) 
Giải 
(1) ⇔ ( )( )73 ++ xx − 3 3+x − 2 7+x + 6 = 0 
 ⇔ 3+x ( 7+x − 3 ) − 2 ( 7+x − 3 ) = 0 
 ⇔ ( 7+x − 3 ) ( 3+x − 2 ) = 0 
 7+x − 3 = 0 x + 7 = 9 
 3+x − 2 = 0 x + 3 = 4 
 Vậy : x = 1 ∨ x = 2 . 
2) Giải phương trình : 3x+1 + 2x . 3x – 18x – 27 = 0 
(2) 
Giải 
 (2) ⇔ 3x ( 3 + 2x ) − 9 ( 2x + 3 ) = 0 
 ⇔ ( 2x + 3 ) (3x − 9 ) = 0 
 2x + 3 = 0 x = − 
2
3 
 3x − 9 = 0 x = 2 
3) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3 = x6 − ( 3x – 2 )3 
(3) 
⇔ ⇔ 
Giải 
 Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b )3 − ( a3 + b3 ) = 3ab ( a + b ) . 
 (3) ⇔ [ x2 + ( −3x + 2 ) ]3 − [ ( x2 )3 + ( −3x + 2 )3 ] = 0 
 ⇔ 3x2 (−3x + 2 ) ( x2 – 3x + 2 ) = 0 
 ⇔ 3x2 (−3x + 2 ) ( x – 1 ) ( x – 2 ) = 0 
 x = 0 x = 0 
 −3x + 2 = 0 x = 2 / 3 
 x – 1 = 0 x = 1 
 x – 2 = 0 x = 2 
4) Giải phương trình : ( 2x2 – 3x – 1 )3 – ( x2 – 2 )3 – ( x2 – 3x + 1 )3 = 0 
(4) 
Giải 
 Áp dụng hằng đẳng thức : ( a + b )3 − ( a3 + b3 ) = 3ab ( a + b ) . 
 (4) ⇔ [ ( x2 – 2 ) + ( x2 – 3x + 1 ) ]3 − [ ( x2 – 2 )3 + ( x2 – 3x + 1 )3 ] = 0 
 ⇔ 3 ( x2 – 2 ) ( x2 – 3x + 1 ) ( 2x2 – 3x – 1 ) = 0 
 x2 – 2 = 0 
 ⇔ x2 – 3x + 1 = 0 
 2x2 – 3x – 1 = 0 
 x = ± 2 
 ⇔ x = 
2
53 ± 
 x = 
4
173 ± 
5) Giải phương trình : ( x2 – 4x + 1 )3 = ( x2 – x – 1 )3 – ( 3x – 2 )3 = 0 
(5) 
Giải 
 Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b )3 − ( a3 − b3 ) = −3ab ( a − b ) 
 (5) ⇔ [ ( x2 – x – 1 ) − ( 3x – 2 ) ]3 − [( x2 – x – 1 )3 − ( 3x – 2 )3 ] = 0 
 ⇔ − 3 ( x2 – x – 1 ) ( 3x – 2 ) ( x2 – 4x + 1 ) = 0 
 x2 – x – 1 = 0 
 ⇔ 3x – 2 = 0 
 x2 – 4x + 1 = 0 
 x = 
2
51± 
 ⇔ x = 
3
2 
 x = 2 ± 3 
⇔ ⇔ ⇔ 
6) Giải phương trình : ( x2 – 3x + 2 )3 + ( −x2 + x + 1 )3 + ( 2x – 3 )3 = 0 
(6) 
Giải 
 Áp dụng hằng đẳng thức : ( a − b )3 + ( b – c )3 + ( c – a )3 = 3 ( a − b ) ( b – c 
) ( c – a ) 
Với : a = x2 − x − 1 
 b = 2x – 3 
 c = x2 + x − 4 
(6) ⇔ [ ( x2 − x − 1 ) − (2x – 3 ) ]3 + [ (2x – 3 ) − ( x2 + x − 4 ) ]3 + [ (x2 + x − 4 ) 
− (x2 − x − 1) ]3 = 0 
 3 ( x2 + x + 2 ) ( − x2 + 
x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 
 x2 + x + 2 = 0 x = 1 ∨ x = 2 
 ⇔ − x2 + x + 1 = 0 ⇔ x = 
2
51± 
 2x – 3 = 0 x = 
2
3 
7) Giải phương trình : ( x – 2 ) ( x – 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) = − 36 
 (7) 
Giải 
 (7) ⇔ [ ( x – 2 ) ( x + 6 ) ] [( x – 4 ) ( x + 8 ) ] = − 36 
 ⇔ ( x2 + 4x – 12 ) (x2 + 4x – 32 ) + 36 = 0 (*) 
 Đặt : y = x2 + 4x – 12 
 Phương trình (*) trở thành : y ( y – 20 ) + 36 = 0 
 ⇔ y2 – 20 y + 36 = 0 
 ⇔ ( y – 18 ) ( y – 2 ) = 0 
 y = 18 x2 + 4x – 12 = 18 x2 + 4x 
– 30 = 0 y = 2 x2 + 4x – 12 = 2 
 x2 + 4x – 14 = 0 
 x = ± 34 − 2 
 x = ± 3 2 − 2 . 
8) Giải phương trình : x ( x + 5 ) = 2 3 2 25 −+ xx − 2 
 (8) 
Giải 
 Đặt : y = 3 2 25 −+ xx ⇒ x2 + 5x = y3 + 2 (*) 
 Từ đó : (8) ⇔ y3 – 2y + 4 = 0 
 ⇔ ( y + 2 ) ( y2 – 2y + 2 ) = 0 ( vì : y2 – 2y + 2 = ( 
y – 1 )2 + 1 > 0 ) 
⇔ 
 ⇔ y + 2 = 0 ⇔ y = − 2 
 Thay y = − 2 vào (*) , ta dược : 
 x2 + 5x = − 6 ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 
 ⇔ x = − 2 ∨ x = − 3 
9) Giải phương trình : 3 1 x− + 2+x = 1 
 (9) 
Giải 
 + Điều kiện : x ≥ −2 
 + Đặt : t = 2+x ( t ≥ 0 ) ⇔ x + 2 = t2 ⇔ x = t2 − 2 
 (9) ⇔ 3 23 t− + t = 1 
 ⇔ 3 23 t− = 1 – t 
 ⇔ 3 – t2 = (1 – t )3 
 ⇔ t3 – 4t2 + 3t + 2 = 0 
 ⇔ ( t – 2 ) ( t2 – 2t – 1 ) = 0 
 t – 2 = 0 ( a) 
 t2 – 2t – 1 = 0 (b) 
 Giải (a) , (b) ta được : t = 2 ∨ t = 1 + 2 2 . /. 
10) Giải phương trình : ( x + 2 )4 + x4 = 82 
 (10) 
Giải 
 Đặt : y = x + 1 => x4 = (y – 1 )4 
 (10) ⇔ ( y + 1 )4 + ( y − 1 )4 = 82 
 ⇔ y4 + 6y2 – 40 = 0 
 Đặt : u = y2 ( u ≥ 0 ) , ta được : 
 u2 + 6u – 40 = 0 
 ⇔ ( u – 4 ) ( u + 10 ) = 0 
 ⇔ u = 4 ; u = – 10 ( loại ) 
 u = 4 ⇒ y = ± 2 
 - Với y = – 2 ⇒ x + 1 = – 2 ⇒ x = – 2 
 - Với y = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1 . /. 
Chú ý : Đối với phương trình dạng ( x + a )4 + ( x + b )4 = c (*) ( a , b , c là hằng số ) 
ta đặt ẩn phụ y = x + 
2
ba + thì phương trình (*) đưa được về dạng dy4 + ey2 + g = 0 ( 
d , e , g là hằng số ) 
11) Giải phương trình : x4 – 5x2 – 2x + 3 = 0 
 (11) 
Giải 
(Thêm, bớt x3 ; tách 5x2 nhóm hang tử rồi phân tích thành tích ) 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
⇔ 
 (11) ⇔ ( x4 + x3 – x2 ) − (x3 + x2 – x ) − 3 ( x2 + x – 1 ) = 0 
 ⇔ x2 (x2 + x – 1 ) − x (x2 + x – 1 ) – 3 (x2 + x – 1 ) = 0 
 ⇔ (x2 + x – 1 ) ( x2 – x – 3 ) = 0 
 x2 + x – 1 = 0 
 x2 – x – 3 = 0 
 x = 
2
51±− 
 x = 
2
131± 
12) Giải phương trình : 
axx
x
++ 92
 = 
axx
axx
++
++
8
10
2
2
 ( a là hằng số ) 
 (12) 
Giải 
 Đặt : y = x2 + 9x + a . 
 (12) ⇔ 
xy
xy
y
x
−
+
= (*) 
 ⇔ xy – x2 = y2 + xy 
 ⇔ y2 + x2 = 0 
 ⇔ x = y = 0 
 Nhưng x = y = 0 thì (*) không có nghĩa nên phương trình (13) vô 
nghiệm với mọi a . 
13) Giải phương trình : ( 4x – 1 ) 12 +x = 2 (x2 + 1 ) + 2x – 1 
 (13) 
Giải 
 Đặt : 12 +x = y ; y ≥ 1 . 
 (13) ⇔ ( 4x – 1 ) y = 2y2 + 2x – 1 
 ⇔ 2y2 − ( 4x – 1 ) y + 2x – 1 = 0 
 ⇔ (2y2 − 4xy + 2y ) − ( y – 2x + 1 ) = 0 
 ⇔ 2y( y – 2x + 1 ) - ( y – 2x + 1 ) = 0 
 ⇔ ( y – 2x + 1 ) ( 2y – 1 ) = 0 
 y – 2x + 1 = 0 
 2y – 1 = 0 
 y = 
2
1 ( Loại , do y ≥ 1 ) 
 y = 2x – 1 
 y = 2x – 1 ⇔ 12 +x = 2x – 1 ⇔ x2 + 1 = ( 2x – 1 )2 
 ⇔ 3x2 – 4x = 0 ⇔ x ( 3x – 4 ) = 0 
⇔ ⇔ 
⇔ 
⇔ ⇔ 
 Vậy : x = 0 ; x = 
3
4 . /. 
14) Giải phương trình : ( x2 – 2x + 2 )4 – 20x2 (x2 – 2x + 2 )2 + 64x4 = 0 
 (14) 
Giải 
 Đặt : y = ( x2 – 2x + 2 )2 ( y ≥ 0 ) 
(14) ⇔ y2 – 20x2y + 64x4 = 0 
 ⇔ y ( y – 4x2 ) – 16x2( y – 4x2) = 0 
 ⇔ ( y – 4x2 ) ( y – 16x2 ) = 0 
 y – 4x2 = 0 y = 4x2 
 y – 16x2 = 0 y = 16x2 
 ( x2 – 2x + 2 )2 = 4x2 
 ( x2 – 2x + 2 )2 = 16x2 Vậy : x = 2 ± 2 ; x = 3 ± 
7 . /. 
15) Giải phương trình : 
209
1
2 ++ xx
 + 
3011
1
2 ++ xx
 + 
4213
1
2 ++ xx
 = 
18
1 
 (15) 
Giải 
 (15) ⇔ ( )( ) ( )( ) ( )( ) 18
1
76
1
65
1
54
1
=
++
+
++
+
++ xxxxxx
 Điều kiện : x ≠ −4 ; −5 ; −6 ; −7 . 
 ⇔ 
4
1
+x
 − 
5
1
+x
 + 
5
1
+x
 − 
6
1
6
1
+
+
+ xx
 − 
7
1
+x
 = 
18
1 
 ⇔ 
4
1
+x
 − 
7
1
+x
 = 
18
1 
 ⇔ x2 + 11x – 26 = 0 
 ⇔ ( x + 13 ) ( x – 2 ) = 0 
 x + 13 = 0 x = − 13 
 x – 2 = 0 x = 2 
 Vậy : x = − 13 ; x = 2 . 
16) Giải phương trình : 
45
1
2 ++ xx
 + 
2811
1
2 ++ xx
 + 
7017
1
2 ++ xx
 + 
13023
1
2 ++ xx
 = 
13
4 
( Cách giải tương tự như bài 15 ) 
Giải 
 (16) ⇔ ( )( )41
1
++ xx
 + ( )( )74
1
++ xx
 + ( )( )107
1
++ xx
 + 
( )( )2310
1
++ xx
 = 
13
4 
 Điều kiện : x ≠ −1 ; −4 ; −7 ; −10 ; −23 . 
 ⇔ 
3
1 






+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
+
−
+ 23
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
4
1
1
1
xxxxxxxx
 = 
13
4 
 ⇔ 
1
1
+x
 − 
4
1
+x
 + 
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
+
+
+
−
+
+
+
−
+ xxxxx
 − 
23
1
+x
 = 
13
12 
 ⇔ 
1
1
+x
 − 
23
1
+x
 = 
13
12 
Giải ra ta được : x = 0 ; x = −14 . /. 
17) Giải phương trình : 
1700
294−x + 
1694
300
1696
298
1698
296 −
+
−
+
− xxx = 4 
 (17) 
Giải 
 (17) ⇔ 





−
− 1
1700
294x + 





−
− 1
1698
296x + 





−
− 1
1696
298x + 






−
− 1
1694
300x = 0 
 ⇔ 
1694
1994
1696
1994
1698
1994
1700
1994 −
+
−
+
−
+
− xxxx = 0 
 ⇔ ( x – 1994 ) 





+++
1694
1
1696
1
1698
1
1700
1 = 0 
 ⇔ x – 1994 = 0 ( vì : 
1694
1
1696
1
1698
1
1700
1
+++ > 0 ) 
Vậy : x = 1994 . 
18) Giải phương trình : 
5
349
324
5
325
4
326
3
327
2 +
+
+
+
+
+
+
+
+ xxxxx = 0 
 (18) 
Giải 
 Công 4 và trừ 4 vào vế trái của phương trình . 
 (18) ⇔
 





−
+
+





+
+
+





+
+
+





+
+
+





+
+ 4
5
3491
324
51
325
41
326
31
327
2 xxxxx = 0 
 ⇔ 
5
329
324
329
325
329
326
329
327
329 +
+
+
+
+
+
+
+
+ xxxxx = 0 
 ⇔ ( x + 329 ) 





++++
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1 = 0 
 ⇔ x + 329 = 0 ( Vì : 
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1
++++ > 0 ) 
 Vậy : x = −329 . 
19) Giải phương trình : 
8
12
2
6
22 +
+
+ xx
 = 3 − 
3
7
2 +x
 (19) 
Giải 
 (19) ⇔ 
2
6
2 +x
 + 
3
7
2 +x
 + 
8
12
2 +x
 − 3 = 0 
 ⇔ 
2
6
2 +x
-1 + 
3
7
2 +x
 -1 + 
8
12
2 +x
 - 1 = 0 
 ⇔ 0
8
4
4
4
2
4
2
2
2
2
2
2
=
+
−
+
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x 
 Do x2 + 2 ; x2 + 3 ; x2 + 8 khác 0 Với mọi x nên 
 = > 4 – x2 = 0 
 Vậy : x = ± 2 . 
20) Giải phương trình : 
1
3
6
164
22
2
+
−
+
+
xx
x = 
5
7
3
5
22 +
+
+ xx
 (20) 
Giải 
 Ta có : 
6
164
2
2
+
+
x
x = 3 + 
6
2
2
2
+
−
x
x , do đó : 
 (20) ⇔ 3 + 
6
2
2
2
+
−
x
x − 
1
3
2 +x
 = 
5
7
3
5
22 +
+
+ xx
 ⇔ 3 + 
6
2
2
2
+
−
x
x − 
1
3
2 +x
 − 
5
7
3
5
22 +
−
+ xx
 = 0 
 ⇔ 





+
−+





+
−+





+
−
5
71
3
51
1
31 222 xxx
 + 
6
2
2
2
+
−
x
x = 0 
 ⇔ 
6
2
5
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x = 0 
 ⇔ ( x2 – 2 ) 





+
+
+
+
+
+
+ 6
1
5
1
3
1
1
1
2222 xxxx
 = 0 
 ⇔ x2 – 2 = 0 ( Vì : 
6
1
5
1
3
1
1
1
2222 +
+
+
+
+
+
+ xxxx
 > 0 
, ∀x ∈ R . 
 Vậy : x = ± 2 . 
21) Giải phương trình : 
23
1
+++ xx
 + 
12
1
+++ xx
 + 
xx ++1
1 = 1 
 (21) 
Giải 
 Điều kiện : x ≥ 0 
 Nhân mẫu của mỗi phân thức với lượng liên hợp của từng mẫu ta được : 
 (21) ⇔ ( 3+x − 2+x ) + ( 2+x − 1+x ) + ( 1+x − 
x ) = 1 
 ⇔ 3+x − x = 1 
 Vậy : x = 1 .