Chứng minh một đẳng thức có điều kiện và tính giá trị của biểu thức khi biết điều kiện rằng buộc cho trước chứa biến

Chứng minh một đẳng thức có điều kiện 
và tính giá trị của biểu thức khi biết điều kiện rằng buộc cho trước chủa biến 
I/ Chứng minh các đẳng thức cơ bản
Chứng minh các đẳng thức sau:
1)( a+ b)2 = (a – b)2 + 4ab 2)(a – b)2 = (a + b)2 - 4ab 
3)2(a2 + b2 ) = (a+b)2 + (a – b)2 
4)(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + by)2 
5)a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2
6)a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) 7)a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) 
8)(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 
9)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a +b) + 3bc(b +c) + 3ca (c +a) +6abc
10)(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) – (ax + by + cz)2 = (ay – bx)2 + (az- cx)2 + (bz- cy)2 
11)an – bn = ( a – b)(an-1 + an-2b + ..+ a1bn-2 + bn ) 
(Từ câu 11, ta có khi n lẻ thì an – bn chia hết cho a = b)
12) Giới thiệuTam giác PASCAN
13)Với n lẻ ta có: an + bn = (a+b)(an-1 – an-2b1 + an-3b2 - .- abn-1 + bn-1) 
II/ Bài tập và phương pháp 
1)Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c) (5a – 3b – 8c) = (3a- 5b)2 
2)Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2thì ( với x, y )
3)Cho (a2 + b2 + c2)x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 với x, y, z khác 0 thì 
4) Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chứng minh rằng a = b
5)Chứng minh rằng a = b= c nếu có một trong các điều kiện sau :
a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca b)(a + b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2) 
c)(a + b + c)2 = 3(ab +bc + ca) 
6)Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3abc 
7)Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng : a3 + b3 + a2c + b2c – abc = 0 
8)Chứng minh rằng trong ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau, tồn tại hai số bằng nhau:
 a2(b –c) + b2(c –a) + c2(a – b) = 0 
9)Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b,c là các số dương thì a = b = c.
10)Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì 
a = b = c = d.
11)Chứng minh rằng nếu m = a + b +c thì 
(am + bc)(bm + ac)(cm + ab) = (a+b)2(b+c)2(c+a)2.
12)Cho x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : 2(x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z2)
13) Chứng minh rằng nếu và a + b + c = abc thì 
14)Cho a + c = 2b. Chứng minh rằng : a2 + 8bc = (2b +c)2 
15)Cho a + b = ab. Chứng minh rằng : (a3 + b3 – a2b2)3 + 27a6b6 = 0 
16)Cho a + b + c = 2x. Chứng minh rằng : x2 + (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 = a2 + b2 +c2 
17)Cho 2b = 1 + ab và a Chứng minh rằng: .
18)Cho . Chứng minh rằng: .
19)Cho xyz = 1. Chứng minh rằng :
20)Cho . Chứng minh rằng 
21)Cho ba số a, b, c khác không thoả mãn : a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
.
22)Cho a. b, c là các số khác 0 thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng :
23)Cho a, b, c, x, y, z là các số thoả mãn : a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; .Chứng minh rằng : xy + yz + zx = 0.
24)Cho a + b + c = 0; x + y + z = 0; . Chứng minh rằng: xa2 + yb2 + cz2 = 0 
25)Cho và . Chứng minh rằng : .
26)Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, a3 + b3 + c3 = 1.Chứng minh rằng : a97 + b97 + c97= 1
27)Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau thoả mãn : . Chứng minh rằng : .
28)Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b0; b + c 0; c + a 0 thoả mãn :
. Chứng minh rằng : .
29)Cho ab =1. Chứng minh rằng : a5 + b5 = (a2 + b2)(a3 + b3) – (a + b) 
30)Cho ba số a, b, c là các số khác không và đôi một khác nhau thoả mãn a + b + c = 0 .Chứng minh rằng :
a)a3 + b3 + c3 + a2b + ab2 + b2c + cb2 + c2a + ca2 = 0 
b).
31) Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện (a + b+ c)2 = a2 + b2 + c2.
Rút gọn biểu thức sau: P = 
32)Chứng minh rằng nếu x2(y +z) + y2(x +z) + z2(x +y) + 2xyz = 0 
Thì x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3.
33)Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc Thì a = b = c hoặc a + b + c = 0 
34)Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : A = 
35)Cho x + y + z = 0 và . Rút gọn biểu thức M = 
36) Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng :
37)Cho . Chứng minh rằng : 
38) Cho x > 0 thoả mãn x2 + . Chứng minh rằng x5 + là một số nguyên 
39)Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức 
T = (x – 1)1997 + y1998 + (x +1)1999 
40) Cho a, b, c là các số khác 0 thoả mãn a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2. Tính giá trị của các biểu thức sau: P = (1 + 
41)Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 = 3(c +d)(ab- cd) 
42)Cho a > b > 0 thoả mãn: 3a2 + 3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức sau: P = 
43)Cho a2 + b2 = 1, c2 + d2= 1, ac + bd = 0. Chứng minh rằng : ab + cd = 0
44)Cho a, b,c đôi một khác nhau thoả mãn ab + bc + ca = 1. Tính giá trị của biểu thức 
a) A = b) B = 
45)Cho ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng :
a)bx2 = ay2 b)
46)Chứng minh rằng, nếu a, b,c lầ ba số thoả mãn : a + b + c =2000 và 
Thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2000.
47)Chứng minh rằng, nếu x = thì 
(1 +x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z).
48)Cho a, b,c là ba số hữu tỉ đối một khác nhau và khác 0 thoả mãn :
a + . Chứng minh rằng abc = 1 hoặc abc = - 1.
49)Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn : abc = 1 và . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số bằng bình phương của một số còn lại.
50)Cho x, y, z thoả mãn xyz =1; x + y + z = . Tính giá trị của biểu thức 
P = (x19- 1)(y5 – 1)(z1890- 1) 
51)Cho a, b, c là ba số thoả mãn : abc = 2000. Tính giá trị của biểu thức 
P = 
52)
a) Cho a – 2005b = 2006. Tính A = 
b)Cho 2a- b = 2006. Tính B = 
53) Cho ba số a, b, c thoả mãn : b ; a + b và c2 + 2(ab – ca – bc) = 0 . Chứng minh rằng : 
54)Cho ba số a, b, c khác 0 thoả mãn: a + b + c = 2006 và . Tính giá trị của 
S = a2 + b2 + c2.
55) Cho . Tính giá trị của biểu thức A = 
56)Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì 
 xn + yn = an + bn.
57)Cho ax + by + cz = 0 và a + b + c = . Chứng minh rằng : 
.