Chủ đề tự chọn môn Toán Lớp 8 - Phân tích đa thức thành nhân tử

CHỦ ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU :
Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng :
- Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
- Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng.
- Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức 
B. THỜI LƯỢNG :	5 tiết
C. THỰC HIỆN :
Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử ?
Trả lời : Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác.
Bài toan 1 : Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ?
	2x2 + 5x - 3 = x(2x + 5) - 3	(1)
2x2 + 5x - 3 = x	(2)
2x2 + 5x - 3 = 2 	(3)
2x2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)	(4)
2x2 + 5x - 3 = 2 (x + 3)	(5)
Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức.
Câu hỏi 2 : Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử ?
Trả lời : Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là : Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm nhiều hạng tử.
Câu hỏi 3 : Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức ? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này hay không ?
Trả lời : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chug thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.
Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức.
Một công thức đơn giản cho phương pháp này là : AB + AC = A(B + C)
Bài toán 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử
 a) 3x2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) - 2(y + 1) ; c) 14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) +28y(2 - 3y)
Trả lời : 
3x2 + 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y)
5x(y + 1) - 2(y + 1) = (y + 1) (5x - 2)
14x2(3y - 2) + 35x(3y - 2) +28y(2 - 3y) = 14x2(3y-2) + 35x(3y-2) - 28y(3y -2)
	= (3y - 2) (14x2 + 35x - 28y)
Câu hỏi 4 : Nội dung cơ bản của phương pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Trả lời : Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức
Bài toán 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 - 4x + 4 ; 	b) 8x3 + 27y3 	;	c) 9x2 - (x - y)2 
Trả lời : 
x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
8x3 + 27y3 = (2x)3 + (3y)3 = (2x + 3y) [(2x)2 - (2x)(3y) + (3y)2]
= (2x + 3y) (4x2 - 6xy + 9y2)
9x2 - (x - y)2 = (3x)2 - (x - y)2 = [ 3x - (x - y)] [3x + (x - y)]
= (3x - x + y) (3x + x - y) = (2x + y) (4x - y)
Câu hỏi 5 : Nội dung của phương pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Trả lời : Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng được hằng đẳng thức đáng nhớ .
Bài toán 4 : Phân tích đa thức thành nhân tử
x2 - 2xy + 5x - 10y ; b) x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy ; c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2
Trả lời : 
a) x2 - 2xy + 5x - 10y = (x2 - 2xy) + (5x - 10y) = x(x - 2y) + 5(x - 2y) 
	 = (x - 2y) (x + 5)
x (2x - 3y) - 6y2 + 4xy = x(2x - 3y) + (4xy - 6y2) = x(2x - 3y) + 2y(2x - 3y) =
 = (2x - 3y) (x + 2y)
c) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) = (2x)3 - y3 + (2x)2 - y2
 	 = (2x - y) [(2x)2 + (2x)y + y2] + (2x - y) (2x + y)
= (2x - y)(4x2+ 2xy + y2) + (2x - y) (2x +y)
= (2x - y (4x2 + 2xy + y2 + 2x + y)
Câu hỏi 6 : Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ được dùng riêng rẽ từng phương pháp hay có thể dùng phối hợp các phương pháp đó ?
Trả lời : Có thể và nên dùng phối hợp các phương pháp đã biết
Bài toán 5 :	Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) a3 - a2b - ab2 + b3 ; b) ab2c3 + 64ab2 ; c) 27x3y - a3b3y
Trả lời : :
a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2 (a - b) - b2 (a - b) = (a - b) (a2 - b2)
= (a - b)(a - b)(a + b) = (a - b)2(a + b)
b) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 - 64) = ab2(c3 + 43) = ab2(c + 4)(c2 - 4c + 16)
c) 27x3y - a3b3y = y(27 - a3b3) = y([33 - (ab)3] 
= y(3 - ab) [32 + 3(ab) + (ab)2] = y(3 - ab) (9 + 3ab + a2b2)’
Câu hỏi 7 : Ngoài 3 phương pháp thường dùng nêu trên, có phương pháp nào khác cũng được dùng để phân tích đa thức thành nhân tử không ?
Trả lời : Còn có các phương pháp khác như : phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
Bài toán 6 : Phân tích thành nhân tử
a) 2x2 - 3x + 1	;	b) y4 + 64
Lời giải :
2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1) (2x - 1)
y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2
= (y2 + 8 - 4y) (y2 + 8 + 4y)
Câu hỏi 8 : Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải một số loại toán nào ?
Trả lời : Việc phân tích đa thức thành nhân tử có thể có ích cho việc giải các bài toán về tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Bài toán 7 : Giải các phương trình
a) 2(x + 3) - x(x + 3) = 0	; b) x3 + 27 + (x + 3) (x - 9) = 0 ; c) x2 + 5x = 6
Trả lời : 
a) Vì 2(x + 3) - x(x + 3) = (x + 3) (2 - x) nên phương trình đã cho trở thành 
(x + 3)(2 - x) = 0. Do đó x + 3 = 0 ; 2 - x = 0, tức là x = -3 ; x = 2
phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = -3
b) Ta có x3 + 27 + (x + 3)(x - 9) = (x + 3)(x2 - 3x + 9) + (x + 3)(x - 9)
= (x + 3)(x2 - 3x + 9 + x - 9) = (x + 3)(x2 - 2x) = x(x + 3)(x - 2)
Do đó phương trình đã trở thành x(x + 3)(x - 2) = 0. Vì vậy x = 0 ; x + 3 = 0 ; x - 2 = 0 tức là phương trình có 3 nghiệm : x = 0 ; x = -3 ; x = 2
Phương trình đã cho chuyển được thành x2 + 5x - 6 = 0. Vì x2 + 5x - 6 =
x2 - x + 6x - 6 = x(x - 1) + 6(x - 1) = (x - 1)(X + 6) nên phương trình đã cho trở thành (x - 1)(x + 6) = 0. Do đó x - 1 = 0 ; x + 6 = 0 tức là x = 1 ; x = -6
Bài toán 8 : Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử :
a) (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) ;	b) (x2 - 5x + 6) : (x - 3) ; c) (x3 + x2 + 4):(x +2) Trả lời : 
a) Vì x5 + x3 + x2 + 1 = x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nên 
 (x5 + x3 + x2 + 1) : (x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1) : (x3 + 1) = x2 + 1
b) Vì x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x -2) nên
(x2 - 5x + 6) : (x - 3) = (x - 3)(x - 2) : (x - 3) = x - 2
c) Ta có x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 - x2 + 4 = x2 (x + 2) - (x2 - 4)
 = x2 (x + 2) - (x - 2) (x + 2) = (x + 2)(x2 - x + 2)
Do đó (x3 + x2 + 4) : (x +2) = (x + 2)(x2 - x + 2) : (x + 2) = x2 - x + 2
Bài toán 9 : Rút gọn các phân thức 
	;	b) ; c)
Trả lời : 
a) 
b) = 
c) =
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO :
- SGK Toán 8, tập I tr 19 - 27 - 2002
- Vũ Hữu Bình, Ôn tập đại số 8 tr 22 - 23 NXB Giáo dục Hà Nội 1999
- Tôn Thân (Chủ biên), Hướng dẫn làm bài tập đại số 8 tr 37 - 54NXB Giáo dục Hà Nội 1998