Các đề luyện tập học sinh giỏi môn Tóa Lớp 9

 Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
 Đề số 1
Bài 1. Cho a và b là các số dương. 
Chứng minh rằng, nếu thì 
Bài 2. Tìm các số thực a và b có tích là 1, sao cho 
Bài 3. Giải phương trình:
Bài 4. Giải hệ phương trình:
Bài 5. Chứng minh bất đẳng thức với các số thực dương x và y ta có:
Bài 6. Chứng minh rằng, với mọi số dương a, b, c ta có bất đẳng thức:
Bài 7. Chứng minh rằng, với mọi số dương a, b, c ta có bất đẳng thức
Bài 8.Vòng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tại D , E, F. AD cắt vòng tròn tại X và AX=XD. BX cắt vòng tròn tại Y và CX cắt vòng tròn tại Z. Chứng minh: a) Tam giác AXE đồng dạng với tam giác DZE
b) ZE//DX
c) EY=FZ.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, dựng ra phía ngoài các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi P là giao điểm của đoạn CD với AB. Gọi Q là giao điểm của BF và AC. 
Tính góc APQ.
Bài 10. Giả sử H là trực tâm của tam giác ABC, K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến trung tuyến BM.
	Chứng minh rằng, A, K , H, C nằm trên một đường tròn.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
 Đề số 2
Bài 1: Cho các thực dương, thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức:
Bài 2: Tìm tất cả các số thực dương thoả mãn phương trình . 
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên sao cho: 
Bài 5: Giải phương trình: 
Bài 6: Tìm các só số thực a, b, c thoả mãn hệ phương trình: 
Bài 7: Giải hệ phương trình:
Bài 8: Cho các số thực a, b, c sao cho . Chứng minh rằng:
Bài 9: Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: 
Bài 10: Cho các số dương x và y sao cho xy = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 11: Cho tam giác ABC có AB=AC, kẻ phân giác của góc B cắt vòng tròn tại điểm D, sao cho BC = AD + AD. Tính góc A? 
Bài 12: Gọi 0 giao điểm của hai đường chéo của tứ giác ABCD. Gọi P và Q là giao điểm các trung trực các cạnh của tam giác AOB và COD. Chứng minh 
 Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
 Đề số 3
Bài 1: Tìm tất cả các số dương a, b, c, d thoả mãn các đẳng thức:
Bài 2: Tìm các số a, b không ân sao cho 
Bài 3: Giải phương trình:
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Bài 5: Giải hệ phương trình:
Bài 6. Chứng minh rằng, với mọi số thực dương a, b, c ta đều có:
Bài 7: Chứng minh rằng, với mọi số thực dương x, y, z ta đều có:
Bài 8: Chứng minh rằng, với các số thì 
Bài 9: Chứng minh rằng, với mọi số thực dương x, y, z ta đều có:
Bài 10 : Trong đường tròn tâm 0, dây QB song song với đường kính AP, Đường thẳng PB và QA cắt nhau tại R, lấy điểm S sao cho tứ giác P0RQ là hình chữ nhật.
	Chứng minh SP=SQ.
Bài 11: Cho tứ giác ABCD. Từ D kẻ các đường vuông góc với đường thẳng AB và BC, P và Q là chân đường vuông trên AB và BC, từ D kẻ đường vuông góc với đường thẳng AD và CD, R và S là chân đường vuông góc trên AD và CD. 
	Chứng minh rằng nếu PSQ = SPQ thì PR=QS.
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC, A1; B1; C1 là chân đường cao của tam giác kẻ từ A, B, C. kẻ đường tròn tâm B bán kính BB1 cắt đường thẳng A1C1 tại K và L.( Điểm K và điểm A nằm cùng phía với đường thẳng BB1). Gọi điểm 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	Chứng minh rằng, giao điểm của đường thẳng KA và LC cắt nhau trên đường thẳng B0.
 Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
 Đề số 4
Bài 1.Các số tự nhiên a, b, c, d thoả mãn đẳng thức:
	Tính giá trị biểu thức: 
Bài 2. Các số dương x, y, z có giá trị tuyệt đối của hiệu hai số bất kỳ là 2. Chứng minh: 
Bài 3. Giả sử a, b, c là các số dương có tổng là 1. Chứng minh rằng: 
Bài 4. Chứng ming rằng nếu a, b, c thì ta có bất đẳng thức:
Bài 5.Chứng minh rằng: a, b, c >0 ta có bất đẳng thức: 
Bài 6.Chứng minh rằng; nếu thì ta có bất đẳng thức
Bài 7: Giải phương trình:
Bài 8; Giải hệ phương trình: 
Bài 9.Phân giác góc A và góc C của tam giác ABC cắt vòng tròn ngoại tiếp tam giác tại A1 và C1. Đường thẳng đi qua tâm vòng tròn nội tiếp tam giác và song song với AC cắt đường thẳng A1C1 tại P.
Chứng minh rằng PB là tiếp tuyến của vòng tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Bài 10. Trong tam giác nhọn ABC kẻ phân giác AD và đường cao BE.
	Chứng minh góc CED lớn hơn 450.
Bài 11. Trên cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lấy điểm P, Q, R tương ứng sao cho AP=CQ và tứ giác APBQ nội tiếp. Tiếp tuyến của vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A và C cắt đường thẳng RP và RQ tại X và Y. 
Chứng minh trung trực của đoạn XY đi qua điểm B.
Bài 12: Cho hình bình hành ABCD. Hai vòng tròn tâm là đỉnh A và đỉnh C đi qua D. Một đường thẳng đi qua D cắt hai vòng tròn tại X và Y.
	Chúng minh BX = BY.
Bài 13. Cho hai vòng tròn cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến tại A cắt vòng tròn lớn tại E và vòng tròn nhỏ tại F. Đoạn EF cắt vòng tròn lớn tại D.
	Chứng minh DB đi qua trung điểm AF.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
Đề số 5
Bài 1. Rút gọn phân thức khi biết 
Bài 2: Tìm tất cả nghiệm dương của phương trình: 
Bài 3: Tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình:
Bài 4: Giải phương trình:
Bài 5: Giải hệ phương trình:
Bài 6: a) Chúng minh bất đẳng thức : 
b) Chúng minh bất đẳng thức 
Bài 7: a) Chúng minh bất đẳng thức 
b) Giả sử a, b, c là các số dương và . Chứng minh rằng,
Bài 8: Giả sử a, b, c là các số dương, thoả mãn a.b.c =1. Chứng minh 
Bài 9: Trong tam giác vuông tỷ số bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác với bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác là 2: 5. Tính tỷ số các cạnh góc vuông của tam giác vuông.
Bài 10. Cho tam giác ABC. Trên tia AB và AC ở phần ngoài tam giác, lấy điểm A1 và A2 sao cho BA1=CA2=BC. A0 là giao điểm của đoạn BA2 và CA1.Chứng minh đường thẳng đi qua điểm A0 và vuông góc với BC thì cũng đi qua tâm vòng tròn bàng tiếp tam giác với cạnh BC.(vòng tròn tiếp xúc cạnh BC và phần kéo dài của hai cạnh kia).
Bài 11: Trong tam giác ABC kẻ đường cao BB1, CC1. Gọi 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh A0 vuông góc với B1C1.
Bài 12: Các góc của lục giácABCDEF bằng 1200.Tính đoạn DE và AF nếu AB=3; BC=4 và EF=1.
Hướng dẫn giải đề số 5.
Bài 1: Từ giả thiết suy ra: thay vào ta được dạng rút gọn là 
Cách 2. Từ phân thức ta thêm bớt b2.
Bài 2. Thêm và bớt rồi phân tích về dạng do x>0, y>0 nên x=y=1.
Cách 2: Từ bất đẳng thức vậy biểu thức đã cho vì , vậy x=y=1.
Cách 3: Do x>0, y>0 nên chia cả hai phần cho 2xy, ta có: ; áp dụng bdt Cauchy ta có sau đó biến đổi về dạng.
Bài 3.Ta biết 
Vậy phương trình biến đổi về dạng: 
, x.0, y>0 nên ta có x=y=1+
Bài 4. áp dụng hằng đảng thức: , x=0 , x=-3/5
Bài 5: ta thấy , trường hợp x, y, z >0 dùng phép phân tích.
Đáp số: x=y=z=0, x=y=z=1
Bài 6: áp dụng . Hay .
Bài 7. áp dụng , trước hết phải biến đổi: , cứ thế .
Bài 8. áp dụng 
Sau đó đưa về áp dụng Cauchy là ra.
Bài 9.Bán kính vòng tròn nội tiếp là (a+b-c)/2, bán kính vòng tròn ngoại tiếp là c/2, áp dụng phythago ta có hệ phương trình: Đáp số a/b=4:3 a>b.
Bài 10. Thay đổi kết luận của bài toán. Đường thảng đi qua tâm đowngf tròn bằng tiếp và giao điểm vuông góc với BC.Giao của ba đường cao.
Bài 11 tính tống các góc trong tam giác. Tổng quát bài toán.
Bài 12 Kéo dài tạo thành các tam giác đều. Và tam giác lớn cũng là tam giác đều từ đó tính các cạnh ấy. Đáp số DE=6, AF=8
Đề số 6
Câu 1: 
Cho biểu thức 
a) Tính giá trị của A nếu ; .
b) Biết , tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 2: 
a) Tìm các số thực x, y, z biết:
b) Giải phương trình : , với 
Câu 3: 
a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
b) Cho . Chứng minh rằng S không phải là số tự nhiên.
Câu 4: 
a) Cho tam giác ABC cân tại A. Biết. Chứng minh rằng: Nếu BC=a; AB=AC=b thì 
b) Cho đường tròn đường kính AB và điểm C nằm trên đường kính đó. Tìm trên đường tròn các điểm E, F đối xứng nhau qua AB sao cho AE vuông góc với CF.
Đề thi có 4 câu, mỗi câu 2, 5 điểm.
Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp IX
Đề số 7
Bài 1: Giả sử x và y là các số dương, thoả mãn . Chứng minh rằng: 
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Bài 3: Cho hình thang ABCD, AD//BC, CD>AB, . AB=15 cm, BC= 12cm. Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với cạnh AB tại E. Tính diênh tích tam giác CDE..
Bài 4: Cho hình thang có độ dài hai cạnh bên là 25 và 30, độ dài hai đáy là 11 và 36. Tính diện tích hình thang.
Bài 5: Cho phương trình , giả sử x1 và x2 là nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: Giải phương trình: 
Bài 7: Cho các số thực a, b, c sao cho . Chứng minh rằng: 
Bài 8: Giải hệ phương trình: 
Bài 9: Giải phương trình: 
Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c sao cho . Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài 11: Chứng minh rằng : với x, y, z là những số dương.
Bài 12: Với a>b>0 chứng minh rằng: 
Bài 13: Chứng minh rằng: với các số dương x, y, z và 
Bài 14: Tìm cá số x, y, z sao cho : , là chữ số thập phân.
Bài 15: Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn. Từ B kẻ đường vuông góc với CD cắt đường chéo AC tại M. Biết đường cao hình thoi là 8cm. Diện tích hình thoi là 80cm2 .
a) Tính cạnh của hình thoi.
b) Tính đoạn CH. ở đó H là chân đường cao hạ từ B xuống CD.
c) Tính tỷ số .
d) Tính diện tích tam giác CMH
Hướng dẫn giải đề số 6.
Bài 1: Biến đổi đưa về chứng minh 
Bài 2: Rút y2 từ phương trình 1 sang phương trình 2 ta có :
Tìm được .Ta có 8 nghiệm : 
Bài 3: Lấy điểm F sao cho tứ giác ABCF là hình chữ nhật nên CE=CF=15, theo Pythagor ta có EB=6. AD=6. Tam giác DEC đồng dạng với EBC nên 6:12=1:2 suy ra DE= từ đó suy ra 
Bài 4: kẻ đường tháng song song với cạnh có độ dài 30. ta có có tam giác cân. từ đó tính được gđường cao của hình thang.
Bài 5: áp dụng định lý Viét. , khi m= 1
Bài 6: Biế đổi về dạng ; Đáp số 
Bài 7; biến đổi về dạng 
Bài 8: từ phương trình thứ nhất ta có . 
Ta có x=y=z=0.
Nếu x>0, y>0, z>0 thì cộng cả 3 phương trình lại và phân tích về dạng:
, x=y=z=1.
Bài 9: Đưa phương trình về dạng: 
Bài 10. a) ta có và nên ta có: vậy 
b)Bình phương lên ta có: 
Và, ; vì do
Theo bdt Bunhiacopsky ta có: , 
Vậy 
Bài 11. Theo Cauchy ta có tương tự như thế cho y và z, cộng lại là ra.
Bài12.
Bài 13. Biến đổi về dạng: 
Bài 14. Biến đổi về dạng: 
từ đó suy ra , thử chọn tìm ra x= 0, y=5, z=2
Bài 15
a) ta có S= DC.BH suy ra DC=10.
b) ta có tam giác BCH vuông nên 
c)Do CM là phân giác nên 
d) ta biết :