Các bài toán luyện tập học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2008-2009 - Nguyễn Xuân Tranh

Các bài toán luyện tập học sinh giỏi lớp VIII 
 Đề bài:
 Bài 1.a) Giả sử và thì lúc đó giá trị của là bao nhiêu?
b) Tìm giá trị của nếu và 
Bài 2. a) Giải phương trình: 
b) Tam thức bậc hai tồn tại bao mấy nghiệm nếu?
Bài 3, a) Trong tam giác nhọn ABC, BH là đường cao, AM là trung tuyến, góc MCA lớn gấp đôi góc MAC. Giả sử BC = 10cm tính đoạn AH.
b) Trong tam giác ABC, A1, B1 và C1 là trung điểm các cạnh BC, AC và AB tương ứng. Giả sử A1A và B1B là phân giác của tam giác A1B1C1 tính góc của tam giác ABC.
Bài 4 a) Tổng của 3 số khác nhau bằng 6, còn tổng của tích hai số bất kỳ trong ba số đó bằng 9. Chứng minh rằng ba số đó đều là số dương.
b) Trong các số tự nhiên khác nhau có thể chọn ra nhiều nhất là bao nhiêu số để tổng 3 số bất kỳổtong các số đã chọn đều là số nguyên tố.
 -----------------------------------------------
Định hướng lời giải:
Bài 1. a) Trả lời: Bằng 5 và -5.
Xét , lấy căn bậc hai là xong.
b) Trả lời bằng 3.
Cách 1. Nhân đẳng thức thứ hai với 3, rồi lấy đẳng thức thứ nhất trừ đi ta có: 
Cách 2. Giả sử . Khi đó 
Ta có 
vậy , thành thử .
Bài 2 a) trả lời
 Theo công thức: ở bài toán của ta , , . Vì nên ta nhân cả hai vế của phương trình với ta có: . Giải phương trình này ta được 
b) Trả lời có hai nghiệm phân biệt.
Cách 1. hay .
Giả sử thì khi đó và 
Trong trường hợp thứ nhất tam thức có nghiệm là và 
Trong trường hợp thứ hai tam thức có nghiệm là và 
Hai nghiệm này không thể trùng nhau được vì đã có 
Cách 2. Xét . Bởi vì nên .
Lúc đó tam thức có hai nghiệm phân biệt.
Câu 3 a) Trả lời AH= 5cm
Nối đoạn HM, nó chính là trung tuyến của tam giác BHC, bởi thế nó banừg một nửa của BC. Giả sử thì , Vì MC= MH nên tam giác HMC cân suy ra . Và vì là góc ngoài của tam giác AHM nên . Vậy tam giác AHM cân suy ra 
b) Trả lời: Các góc của tam giác ABC bằng 600.
Ta có là hình bình hành mà lại có đường chéo là phân giác nên nó là hình thoi, nên .
Tương tự cũng là hình thoi nên , vậy tam giác là tam giác đều nên tam giác cung là tam giác đều.
Câu 4 a) Giả sử và . 
Khi đó 
Chứng minh tương tự và 
Ta phải chứng tỏ ba số này không có số nào bằng 0. Thật vậy nếuthì từ đẳng thức suy ra nhung khi đó suy ra , là điều trái với giả thiết ban đầu. rằng các số này là khác nhau mà. Vậy ,và 
 Và ta nhận được các bất đẳng thức cùng dấu. Vì nên ; và.
b) Trả lời 4 số
Bốn số thoả mãn điều kiện bài toán là 1, 3, 7, 9.
1+3+7=11; 1+3+9=13; 1+7+9 =17; 3+7+9=19 là những số nguyên tố.
Giả sử ta chọn được 5 số. Khảo sát trường hợp chia hết cho 3. Nếu trong các số chia ba dư 1 thì tổng cua chúng chia hết cho 3. Nếu chia ba dư0, 1, 2 thì tổng của chứng cũng chia hết cho 3. Vầy không thể là số nguyên tố.
 ------------------------------------------