Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9

phòng giáo dục thạch thành
trường t h c s thanh an
trao đổi 	kinh nghiệm
bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9
(một phần kiến thức về giải phương trình nghiệm nguyên)
Năm học 2008-2009
Tác giả trịnh phú đa
Đơn vị :t h c s THANH AN
huyện thạch thành
tỉnh thanh hoa
mục lục:
a)Đặt vấn đề
b)Đối tượng nghiên cứu
c)Các bước tiến hành
d)Kết quả
e)Kết luận chung
A)đặt vấn đề
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường phổ thông.trong các môn học đặc biệt là môn toán lớp 9
Trong các thể loại toán lớp 9 thì môn đại số chiếm vai trò quan trọng
việc có kỹ năng cơ bản để giải bài tập đại số lớp 9 mới chỉ là điều kiện cần còn có đủ tự tin,bình tĩnh để giải quết các thể loại bài tập nâng cao thì hiện nay học sinh đang rất cần
Một trong những thể loại cần đó là yêu cầu giải phương trình có nghiệm nguyên;nguyên dương
Sau đây tôi trình bày một vài suy nghĩ nhỏ về việc chọn và bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải phương trình nghiệm nguên ;nguyên dương mà trong các kỳ thi học sinh hay gặp nhất được diễn giải ở nhiều hình thức khác nhau
Để gúp học sinh nắm được phần này nhanh chắc đương nhiên là các kỹ năng biến đổi đồng nhất phải thành thạo. việc giải phương trình bậc ,bậc haivấcc phương trình đặc biệt như phương trình giá trị tuyệt đối..v..v.v.các em phải thành thạo
một số kiến thức bổ trợ như bất đẳng thức cô si cùng các hệ quả các em phải năm vững.đồng thời kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(đặc biệt là dấu = xảy ra khi nào)các em cũng phải thông tường.
Biết chọn nghiệm thích hợp và loại nghiệm không thích hợp
b)đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 9 trường phổ thông cơ sở Thành An
Đội tuyển toán lớp 9 của trường Thành An năm học 2007-2008
c)các bước tiến hành
1)Vai trò của thày:
Không thày đố mày làm nên đã khẳng vai trò hướng đạo của thày.Xuất phát từ ý nghĩa thực tế này tôi thấy sự nghiên cứu chuẩn bị kỹ của thày không thể thiếu và nó quyết định quá nửa kết quả rèn luyện của thày và trò
Thày phải nắm vững các thể loại thường gặp phân loại từng mức độ từ dễ đến khó(điều này còn được kết hợp với kinh nghiệm khai thác sáng tạo một bài toán)
2)Vai trò của trò:
Phải nắm vững kỹ năng biến đổi đồng nhất.một số kỹ năng phân tích tổng hợp nhất là kỹ năng xét dấu của tam thức bậc hai dấu của một tích thương 
từ một dạng cơ bản phải biết lấy các bài tập cùng dạng ở mức từ dễ đến khó .chịu khó luyện tập
Có kỹ năng nhận dạng sử lý các tình huống ,biết khái quát một vấn đề vừa sứcvvv
3)Nội dung phân loại một số dạng toán thường gặp
(những bài nghiệm nguyên thường đa dạng phong phú ở đây như ở đầu đề tài tôi chỉ đề cập đến một số dạng hay gặp nhất)
*)Dạng một: 
Xuất phát từ tìm xz để biểu thứcz (trong đóbậc của A(x))
sau khi biến đổi (trong đó k là hằng số)
từ đó lập luận Zđể phân thức nói trên muốn thuộc Z thì B(x) phải là ước của k
từ đó liệt kê các ước của k
xét lần lượt từng trường hợp .chọn những nghiệm thích hợp rồi trả lời
ví dụ:
Tìm xz đểbiểu thứccó giá trị nguyên
Sau khi rút gọn =2x+5+ lúc này chỉ cần liệt kê các ước của 3
Ư của 3 gồm: -1; 1; -3;3
Có các phương trình sau: 2x-1=-1=0 thoả mãn
	hoặc	2x-1 =1x=1 thoả mãn
	2x-1 =-3x=-1 thoả mãn
	2x-1 =3 x =2 thoả mãn
Rõ ràng với câu hỏi tìm x nguyên để biểu thức nguyên thì chọn tất cả
Còn chỉ yêu cầu tìm xz(+) thì phải biết loại những giá trị từ 0 trở xuống
Học sinh tự nhận xét và ra các bài tập tương tự:
(Phải chỉ ra được bậc của tử lớn hơn cùng lắm thì bằng bậc của mẫu.đặc biệt bậc của mẫu chỉ có thể là một.Một cách nhanh hơn ta cứ lấy hai biểu thức bất kỳ với hệ số nguyên trong đó một là nhị thức ,rồi nhân với nhau ta cộng thêm vào kết quả một hằng số tuỳ ý viết kết quả sau khi cộng làm tử còn nhị thức bậc nhất làm mẫu ta sẽ được một đề bài có lời giải đúng)
*)Dạng hai:
Cơ sở lý thuyết của dạng này là:
Một số nguyên bất kỳ luôn là tích của hai số nguyên khác
Vậy từ phương trình:A(x;y)=0
ta làm xuất hiện A.A= k với k là hằng số thuộc Z
.Một cách tổng quát :a x + by + cxy + d = 0 (1)
 x(a + cy) + (a + cy) - + d = 0
 a + cy)(x + ) = 
 (a + cy)(cx + b) = ab – cd = k
 Đến đây ta liệt kê các ước của k và lập các hệ phương trình tương ứng nghĩa là thừa số này nhận ước thứ nhất thì thừa số thứ hai sẽ nhận ước còn lạivvvv. khi giải các hệ có thể sẽ có nghiệm phù hợp cũng có thể có những giá trị không phù hợp ta phải loại bỏ
Một ví dụ cụ thể:
Tìm cặp (x;y) thoả mãn phương trình sau:
 	2x + 3y + 4xy + 5 = 0 
	 Ta cứ nhóm hạng tử có hai biến với một trong hai hạng tử có còn lại ví dụ nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba . 
x( 2 + 4y) + ( 2 + 4y) - + 5 = 0 đặt nhân tử chung ta có phương trình tích sau
( 2 + 4y )( x + ) = - nhân hai vế với 4
( 1 + 2y )( 4x + 3) = - 7
U=
Ta có các tình huống sau: 
Hướng dẫn nhận xét sau: ở cặp thứ nhất có x=1z và y=-1 thuộcz nên cặp này thoả mãn
 ở cặp thứ hai có y không thuộc z nên cặp này loại
Ta đi đến kết luận có cặp( x;y) =(1;-1) thoả mãn phương trình trên
chú ý:cần phải cho các em làm quen với phương trình vô nghiệm đủ niềm tin bản lĩnh để kết luận vấn đề
+)Yêu cầu học sinh tự đặt ra các bài toán rồi tiến hành giải
 Sau đó ta phát triển dạng toán ở mức độ khó hơn .chia cả hai vế của phương trình (1)cho xy ta được phương trình có dạng : + + c + = 0
 ở hình thức này học sinh hay gặp nhất đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi của những năm gần đây . hương dẫn cho học sinh chỉ cần thực việc quy đồng mẫu số và khử mẫu cả hai vế ta lại gặp phương trình quen thuộc
#)Dạng ba:
Cơ sở lý thuyết của dạng toán này là xuất phát từ điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai:
Có dạng tổng quát như sau: 
 a x + bx + cxy + dx + ey + f = 0
để phưng trình có nghiệm nguyên điều kiện cần:
giải quyết dạng toán này như sau:ta coi là phương trình bậc hai đối với biến x thì y được coi như là tham số như vậy của phương trình biến x có chứa y.Để là số chính phương thì biểu thức tínhlà tam thức bậc hai theo y phải bằng một số chính phương m ,lúc này lại xuất hiện phương trình bậc hai theo y lặp lại cách suy luận trên nghĩa là để có y thì của phương trình biến y lại phải vừa lớn hơn 0 vừa là số chính phươngvvvvvv
cho đến một lúc xuất hiện tích của hai biểu thức bằng một hằng số từ đó giải hệ phương trình tìm ra nghiệm hoặc xuất hiện sự vô lý ta có quyền kết luận nghiệm
Ví dụ:
 2x + 3y_ 5xy + 3x _ 2y _ 3 = 0
ta xem đây là phương trình bậc hai đối với biến x thì phương trình được viết lại như sau:
 2x + ( 3 - 5y )x + 3y - 2y - 3 = 0 
để có x nguyên thì điều kiện cần 
 ( 3 - 5y) - 4.2( 3y - 2y - 3 )
 y - 14y + 33 vì ta coi là chính phương nên 
 y-14y+33=kvới k nguyên không âm
lúc này ta có phương trình bậc hai theo y:
 y - 14y + 33 - k = 0 để phương trình có y nguyên thì 
 = 7 - 1.( 33 - k)phải là số chính phương
 49 - 33 + k = 16 + k = n
vì vế phải là tổng của hai số không âm nên có ngay n k 0 nk0
Do đó 16 = ( n - k )( k + n ) và dễ thấy n - k 0 và n-k ; n+k có cùng tính chẵn lẻ
vì tổng của chúng = 2n .Như vậy rõ ràng 16 được phân tích thành hai thừa số: 8.2 hoặc4.4
 Nếu 16=2.8 ta có (*)
 Nếu 16=4.4 ta có (**)
 Thay (*) vào phương trình : y- 14y + 33 = 3 y- 14y + 24 = 0 có =25 
 nên y=12;y=2
 Lần lượt thay giá trị y tiếp vào phương trình đầu tìm được cặp x tương ứng
 Vậy ta có các cặp ( x = 15 ; y = 12 ) ; ( x = 1 ; y = 2 ) 
 Thay (**)vào phương trình: y -14y + 33 = 0 có = 16 nên y=11 ; y = 3 lần lượt thay y vào phương trình đầu tìm được x tương ứng
 Vậy ta có các cặp ( x = 13 ; y = 11 ) ; ( x = 3 ; y = 3 )
Ví dụ 2:
Tìm cặp x;yz thoả mãn phương trình sau
 6x + 2y - 6xy - 8x - 3y + 168 = 0
ta coi đây là phương trình bậc hai với biến x nên được viết 
 6x- (3y+4)2x + 2y-3y + 168 = 0
điều kiện cần để có xz là: = (3y+4)- 6 ( 2y - 3y + 168 )
 =9y+24y+16-12y+18y-1008
 =-3y+42y-992
 Để là số chính phương thì -3y+42y-992=m-3y+42y-992-m=0
 Lúc này ta lại có phương trình bậc hai vói biến y.Để phương trình này có yz thì =21-3(992+m) là chính phương
 441-2976-3m=k
 -2535=3m+k vô lý
 Vậy không tồn tại cặp x; y thoả mãn phương trình trên
Phần bài tâp: tự ra và luyện giải dưới sự dẫn dắt của thày
#)Một số dạng bài có tính chất đặc biệt
(cơ sở lý thuyết dựa trên phương trình giá trị tuyệt đối;tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất)
@)Ví dụ: tìm thuộc z thoả mãn:
 +=1 (*)
Với dạng toán này ngoài cách xét khoảng thông thường mà các em đã biết cần trang bị cho các em cách làm mới sau
 cần nhắc lại của đó là + dấu = xảy ra ab 
áp dụng: từ (*) ta thấy + = + = 1
dấu= xảy ra (x - 1)(2 - x) 0 x 1 2 
lập bảng xét dấutìm được x x-1 - 0 + + 
 2-x + + 0 - 
 (x-1)(2-x) - 0 + 0 -
vậy 1x2mà xz nên x chỉ có thể bằng 1 hoặc 2
#)Bài toán phát triển ở mức độ khó hơn:
 tìm xz thoả mãn +=1
mấu chốt của vấn đề là cơ số nhỏ hơn 1 và luỹ thừa
vậy nên nếu 1 < x < 2 < vì x-1<1
 và<vì x-2<1
ta cộng vế trái với vế trái vế phải với vế phải được
 +< +=1vô lý
 nếu x 0 còn >1>1 nếu cộng từng vế lại thấy điều vô lý xuất hiện
 nếu x>2 thì>0 còn>1>1 nếu cộng từng vế lại thấy điều vô lý xuất hiện
 Từ đó rút ra kết luận :x =1; 2 thoả mãn
#)Hướng dẫn học sinh ra đề tương tự để giải 
ví dụ tìm x thuộc z thoả mãn:
 += 2....v .v .v .v(những trường hợp hai hạng tử cách hai đơn vị thì không thể khái quát đưa số mũ vào được)
D)KếT QUả:
 +Qua nhiều năm tham gia công việc tập huấn và phụ đạo học sinh giỏi của trường của huyện tôi thấy:
 +100% số em nắm được dạng toán , biết vận dụng tương đối thành thạo
80% số em có tư duy nhanh còn có khả năng phân biệt và phát triển dạng toán thành những bài toán hay hơn
 +Những kỳ thi trong đề có dạng toán này dù núp dưới hình thức nào 100% các em cũng dành được điểm tối đa
E)kết luận chung :
 +Qua nghiên cứu một số tài liệu ôn thi,một số đề thi chọn học sinh giỏi , thi chọn vào các trường năng khiếu
 +Qua nghiên cứu các mảng kiến thức trong các chuyên đề B D H S G
 +Tôi thấy : phạm vi kiến thức tìm giá trị nguyên của biến để B T có giá trị nguyên là một trong những mảng kiến thức hay vừa tầm nhận thức của học sinh . kiểm tra đánh giá được năng lực tư duy của học sinh một cách chính xác
 +Là một trong những phạm vi kiến thức rất đáng được quan tâm vì rằng từ một bài toán có thể đề cập tới nhiều lĩnh vực kiến thức cũng như kỹ năng khác nhau
 +Tôi nêu lên một suy nghĩ nhỏ của mình mong các bạn đồng nghiệp tham khảo vận dụng vào công việc B D H S G của mình được tốt hơn 
 mong được góp ý chân tình xin cảm ơn
Thanh An ngày15/2/2009
Trinh Phú Đa