Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình bình hành

HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1. Cho tam giác đều ABC, điểm D thuộc cạnh BC, gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, F là điểm đối xứng với D qua AC vẽ hình bình hành EDFG. Chứng minh rằng AG//BC
Hướng dẫn
AG//BC ó tam giác AGH cân ó AH = AG ó tam giác AHD = tam giác AGF(c-g-c)
Bài 2. Cho tứ giác ABCD, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.
HƯỚNG DẪN
EPFM; FNEQ là các hình bình hành
=> Tứ giác MNPQ có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc được chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB.
b. EMFN là hình bình hành.
(HS tự chứng minh)
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vuông góc với AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N.
a. Tứ giác MNCD là hình gì ?
b. Tam giác EMC là tam giác gì ?
c. Chứng minh rằng = 2
(HS tự CM)
Bài 5. Chứng minh rằng tứ giác có tổng các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện bằng nửa chu vi của nó thì tứ giác là hình bình hành.
Hướng dẫn
HF <= HK+KF =AB+CD)/2
Bài 6. Cho hình thang vuông ABCD, có = = 90o và AD = 2BC. Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD.
Chứng minh rằng: CI ^ AI
Hướng dẫn
Tứ giác AGIJ, BCIJ là hình bình hành
BJ vuông góc với AI => CI vuông góc với AI
6. Chứng minh rằng: "Trong một tứ giác lồi, các đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo đồng qui tại một điểm".
Hướng dẫn
Chứng minh là giao điểm của các đường chéo của hình bình hành
7. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm các đoạn OA, OB, OC.
Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui.
(HS Tự chứng minh)