Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Lớp 8 - Chuyên đề Đa thức

 1 
1. Chuyªn ®Ị : §a thøc 
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: 
a. A = 4 3 217 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16. 
b. B = 5 4 3 215 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. 
c. C = 14 13 12 11 210 10 10 ... 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 
d. D = 15 14 13 12 28 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. 
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: 
a. M = 1 1 1 650 4 42 . .3
315 651 105 651 315.651 105
− − + 
b. N = 1 3 546 1 42 . .
547 211 547 211 547.211
− − 
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: 
a. A = ( ) ( )3 2 2 2 3 3x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . 
b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 22 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . 
Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5: 
 a. ( ) ( )2 2 2 65x x y y xy+ + − − + 
 b. ( )2 2 75x y y x+ − + 
Bài 5: Tính giá trị của đa thức: 
 ( ) ( ) 21 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q 
 Bài 6: Chứng minh đẳng thức: 
 a. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; biết rằng 2x = a + b 
+ c 
 b. ( )2 2 22 4bc b c a p p a+ + − = − ; biết rằng a + b + c = 2p 
 Bài 7: 
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia 
hết cho 3. 
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi 
tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? 
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: 
 ( )( )M a a b a c= + + ; ( )( )N b b c b a= + + ; ( )( )P c c a c b= + + 
 Bài 9: Cho biểu thức: M = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M 
theo a, b, c, biết rằng 1 1 1
2 2 2
x a b c= + + . 
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, 
y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B 
chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. 
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y 
a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. 
 2 
b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 
17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. 
 Bài 12: Chứng minh rằng: 
 a. 7 9 1381 27 9− − chia hết cho 405. 
 b. 2 1 212 11n n+ ++ chia hết cho 133. 
 Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,, ( )1
2
n n + ,  
 Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số 
chính phương. 
2. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn 
I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 
1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 
2
1 2 n(a a ... a )+ + + = 
 = −+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 na a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a ); 
2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); 
 (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; 
3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; 
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; 
an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ; 
4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; 
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; 
II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b)n – Tam gi¸c Pascal 
§Ønh 1 
Dßng 1 (n = 1) 1 1 
Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 
Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 
Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 
Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 
 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®−ỵc thµnh lËp tõ 
dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 
2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triĨn (x + y)n thµnh tỉng th× 
c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè trong dßng thø n cđa b¶ng trªn. Ng−êi ta gäi b¶ng 
trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−ỵc sư dơng khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi 
n = 4 th× : 
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
vµ víi n = 5 th× : 
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 
 3 
II. C¸c vÝ dơ 
 VÝ dơ 1. §¬n gi¶n biĨu thøc sau : 
A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. 
Lêi gi¶i 
 A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 
 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – 
z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] 
= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz 
 VÝ dơ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : 
 a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 
Lêi gi¶i 
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b 
b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab 
c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 
d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) 
Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 
 Chĩ ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 
 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) 
 = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) 
 VÝ dơ 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : 
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; 
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) 
Lêi gi¶i 
a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 
 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) 
 = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] 
 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) 
= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) 
= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] 
= 3(a + b)(b + c)(c + a) 
 VÝ dơ 4. Cho x + y + z = 0. 
 Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) 
Lêi gi¶i 
 V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 
 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 
 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) 
 = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 
 Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T−¬ng tù : 
 y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. 
 V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 
2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 
 Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) 
 4 
Bµi tËp: 
1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. 
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4. 
2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : 
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 
3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 
4. Chøng minh r»ng nÕu: 
5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 
th× x = y = z. 
6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× 
a b
x y
= . 
b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 
vµ x, y, z kh¸c 0 th× 
a b c
x y z
= = . 
7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 
a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; 
b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; 
c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 
8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : 
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; 
b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 
9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. 
 Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 
10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. 
 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 
11. Hai sè a, b lÇn l−ỵt tháa m`n c¸c hƯ thøc sau : 
a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H`y tÝnh : D = a + b. 
12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H`y tÝnh : E = a2 + b2. 
13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : 
a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; 
e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 
 5 
I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c: 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d , 1 3 3 6
, 3 8 4 e , 3 1 8
, 8 7 f , 5 2 4
, 3 1 6 5 h , 8 3 0 7
, 2 5 1 2 k , 6 7 2 0
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
− − − −
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 
(§a thøc ® cho cã nhiƯm nguyªn hoỈc nghiƯm h÷u tØ) 
II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tư 
1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xuÊt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hiƯu cđa hai 
b×nh ph−¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 
2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xuÊt hiƯn thõa sè chung 
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6 
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6 
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4 
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− − 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1 
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
− + −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
( )22 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10, 
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ − − − +
+ +
+ +
+ +
+ + +1
3. Chuyªn ®Ị: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư 
 6 
III- Ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn 
Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 
IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng 
Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cđa ®a thøc, råi g¸n 
cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cơ thĨ ®Ĩ x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. 
VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 
Gi¶i 
a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = 2 2( ) ( ) 0y y z y z y− + − = 
Nh− vËy P chøa thõa sè x – y 
Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®ỉi(ta nãi ®a thøc P 
cã thĨ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®` chĩa thïa sè x – y th× 
cịng chĩa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng 
P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chĩa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi 
víi tËp hỵp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) cịng cã bËc ba ®èi víi tËp 
hỵp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc 
®ĩng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, 
y = 1, z = 0 
ta ®−ỵc k = -1 
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1 
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1 
7, 1 8, 1 
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ + − −
+ − + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
 ... høc: 
2)( 2 −−= xxxg . 
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: 152)( 23 ++= kkkf chia hết cho nhị 
thức: 3)( += kkg . 
Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: baxxxxxf +++−= 234 33)( chia hết cho 
đa thức: 43)( 2 +−= xxxg . 
Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: cbxaxxxP +++= 24)( 
Chia hết cho 3)3( −x . 
 b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: 2376)( 234 +++−= xaxxxxQ chia hết 
cho đa thức bxxxM +−= 2)( . 
 c) Xác định a, b để axxxxP +−+= 85)( 23 chia hết cho bxxxM ++= 2)( . 
Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để cĩ đẳng thức: 
Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: 
a) axx +− 710 2 chia hết cho 32 −x . 
b) 12 2 ++ axx chia cho 3−x dư 4. 
c) 95 45 −+ xax chia hết cho 1−x . 
Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: 
a) baxx ++ 24 chia hết cho 12 +− xx . 
b) 50523 −++ xbxax chia hết cho 1032 ++ xx . 
c) 124 ++ bxax chia hết cho 2)1( −x . 
d) 44 +x chia hết cho baxx ++2 . 
Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho baxx ++3 chia cho 1+x thì dư 7, chia cho 
3−x thì dư -5. 
Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho cbxax ++ 23 chia hết cho 2+x , chia cho 12 −x 
thì dư 5+x . 
))()((23 cxbxaxcbxaxx −−−=−+−
 10
Bài 13: Cho đa thức: baxxxxxP ++−+= 234)( và 2)( 2 −+= xxxQ . Xác định a, b để 
P(x) chia hết cho Q(x). 
Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức 1)( 34 ++= bxaxxP chia hết cho đa thức 
2)1()( −= xxQ 
Bài 15: Cho các đa thức 237)( 234 +++−= xaxxxxP và bxxxQ +−= 2)( . Xác định a và 
b để P(x) chia hết cho Q(x). 
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn 
Phương pháp: 
 ðể tìm đa thức P(x) bậc khơng quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm 
1321 ,,,, +nCCCC L ta cĩ thể biểu diễn P(x) dưới dạng: 
)())(())(()()( 21212110 nn CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+= LL 
 Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị 1321 ,,,, +nCCCC L vào biểu thức 
P(x) ta lần lượt tính được các hệ số nbbbb ,,,, 210 L . 
Bµi tËp ¸p dơng 
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: 9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP . 
Giải 
ðặt )1()( 210 −++= xxbxbbxP (1) 
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−
−=⇔+=
=
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm cĩ dạng: 
2519)()1(1825)( 2 +−=⇔−+−= xxxPxxxxP . 
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP 
Hướng dẫn: ðặt )2)(1()1()( 3210 −−+−++= xxxbxxbxbbxP (1) 
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho )3(),2(),1( −−− xxx đều được 
dư bằng 6 và P(-1) = - 18. 
Hướng dẫn: ðặt )3)(2)(1()2)(1()1()( 3210 −−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP (1) 
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: 
)1(),12)(1()1()(
0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
 a) Xác định P(x). 
 b) Suy ra giá trị của tổng )(),12)(1(5.3.23.2.1 *NnnnnS ∈+++++= K . 
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : 
36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP
PPP
ðặt )2)(1()1()1()1()1()1()( 43210 −−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP (2) 
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 
 11
2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=⇔−−−−+−−−+−−=
=⇔+=
=⇔=
=⇔=
=
bb
bb
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm cĩ dạng: 
 )2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)( 2 ++=−−++−+++= xxxxxxxxxxxxxP 
(Tuyển chọn bài thi HSG Tốn THCS) 
Bài 5: cho đa thức )0,,(,)( 2 ≠++= cbacbxaxxP . Cho biết 0632 =++ cba 
 1) Tính a, b, c theo )1(,
2
1
),0( PPP 




 . 
 2) Chứng minh rằng: )1(,
2
1
),0( PPP 




 khơng thể cùng âm hoặc cùng dương. 
Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: 
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
5. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi ph©n thøc h÷u tØ 
VÝ dơ 1. 
a) Chøng minh r»ng ph©n sè 
3n 1
5n 2
+
+
 lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 
b) Cho ph©n sè 
2n 4
A
n 5
+
=
+
 (n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao 
cho ph©n sè A ch−a tèi gi¶n. TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. 
Lêi gi¶i 
a) §Ỉt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay 1 Μ d ⇒ d = 
1. 
 VËy ph©n sè 
3n 1
5n 2
+
+
 lµ ph©n sè tèi gi¶n. 
b) Ta cã 
29
A n 5
n 5
= - +
+
. §Ĩ A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè 
29
n 5+
 ph¶i ch−a tèi 
gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c −íc d−¬ng lín h¬n 1 cđa 29. 
V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5 Μ 29 
⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5. 
Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 
⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;; 69} 
 12
VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m`n ®iỊu kiƯn ®Ị bµi. 
Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690. 
VÝ dơ 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m`n ®iỊu kiƯn 
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. 
 Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. 
Lêi gi¶i 
 Ta cã : 
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
 ⇔ 
1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +
 ⇔ 
a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +
 ⇔ 
c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +
+ =
+ +
 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ 
a b 0
b c 0
c a 0
é + =
ê
ê + =ê
ê + =ë
 ⇔ 
a b
b c
c a
é = -
ê
ê = -ê
ê = -ë
 ⇒ ®pcm. 
 Tõ ®ã suy ra : 
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-
2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +
 ⇒ 
2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. 
 VÝ dơ 3. §¬n gi¶n biĨu thøc : 
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
= + + + + + . 
Lêi gi¶i 
§Ỉt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 2S 2P- 
 a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 3S 3SP- . 
 Do ®ã : 
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = = 
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = = 
3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = = 
 Ta cã : A = 
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ + 
 = 
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P
- - - + - +
+ + = = 
 Hay A = 
3 3 3
1 1
.
P a b
= 
 13
 VÝ dơ 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau 
kh«ng phơ thuéc vµo gi¸ trÞ cđa x : 
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
. 
 Lêi gi¶i 
 C¸ch 1 
2 2 2x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
 = Ax2 – Bx + 
C 
 víi : 
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
 ; 
a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
; 
ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
 Ta cã : 
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
; 
(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
; 
ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -
(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
. 
 VËy S(x) = 1∀x (®pcm). 
 C¸ch 2 
 §Ỉt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v−ỵt qu¸ 2. Do ®ã, P(x) 
chØ cã tèi ®a hai nghiƯm. 
 NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c lµ ba nghiƯm ph©n biƯt cđa P(x). 
 §iỊu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 ∀x. 
 Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm. 
 VÝ dơ 9. Cho 
1
x 3
x
+ = . TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : 
 a) 2
2
1
A x
x
= + ; b) 3
3
1
B x
x
= + ; c) 4
4
1
C x
x
= + ; d) 5
5
1
D x
x
= + . 
Lêi gi¶i 
 a) 
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
= + = + - = - =
 14
 b) 
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
= + = + - + = - = ; 
 c) 
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x
= + = + - = - =
 d) 2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
= + + = + + + = + ⇒ D = 7.18 – 3 = 123. 
 VÝ dơ 5. X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c sao cho : 
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
. 
Lêi gi¶i 
 Ta cã : 
2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
 §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc 
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta ®−ỵc : 
a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ì ì+ = = -ï ïï ïï ïï ï- = Û = -í í
ï ïï ï- = =ï ïï ïỵ ỵ
. VËy 
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
. 
6. Chuyªn ®Ị: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 
I/Phương trình ax+b=0 (1) và phương trình đưa về dạng (1) 
*Cách giải: (Biến đổi và đưa hết về một vế sau đĩ rút gọn thành dạng 
ax+b=0) 
TH1:a=0 nếu b≠ 0 thì phương trình (1)vơ nghiệm 
 nếu b=0 thì phương trình (1) vơ số nghiệm 
 TH2:a≠ 0 thì phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất x= b
a
− 
 15
 *Ví dụ: a)3x+1=7x-11 
 b1: 3x+1-7x+11=0 (biến đổi và chuyển về một vế) 
 b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0) 
 b3: x= 12 3
4
−
=
−
 b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x) 
 ⇔ 1,2-x+0,8+1,8+2x=0 
 ⇔ x+3,8=0 
 ⇔ x= -3,8 
 *Các bài tập tương tự: 
 a)7x+21=0 b)12-6x=0 
 c)5x-2=0 d)-2x+14=0 
 e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0 
 g) 4 5 1
3 6 2
x − = h) 5 21 10
9 3
x x
−
+ = − 
 i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7 
 l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0 
 n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x) 
 p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 3 1 26
5 3
x x− −
= − 
 v) 3 132 5
5 5
x x
   + = − +   
   
 w) 3 2 3 2( 7)5
6 4
x x− − +
− = 
 s) 7 20 1,55( 9)
8 6
x x
x
+
− − = y) 5( 1) 2 7 1 2(2 1) 5
6 4 7
x x x− + − +
− = − 
II/Phương trình tích: 
 *Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒
0
0
A
B
=
 =
 (A=0 (1) B=0 (2) ) 
 Ta cĩ pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự 
phần trên 
(Chú ý các phương trình chưa cĩ dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách phân 
tích thành nhân tử ) 
 *Ví dụ: 
 a)(4x-10)(24+5x)=0 
 ⇔
4 10 0 (1)
24 5 0 (2)
x
x
− =
 + =
 Từ (1) x=10 5
4 2
= (2)⇒x= 24
5
− 
 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm x=10 5
4 2
= hoặc x= 24
5
− 
 b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1) 
 16
 ⇔ (x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0 
 ⇔ (x-1)(2x+11)=0 
 ⇔
1 0 1
11
2 11 0
2
x x
x x
− = ⇔ =
 − + = ⇔ =

 *Các bài tập tương tự: 
 a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 2( 3) 4 3 0
7 5
x x+ − − = 
 
 c)(3,3-11x) 7 2 2(1 3 ) 0
5 3
x x+ − + = 
 
 d) ( 3 5)(2 2 1) 0x x− + = 
 e) (2 7)( 10 3) 0x x− + = f) (2 3 5)(2,5 2) 0x x− + = 
 g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x) 
 i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0 
 l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0 
 n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4 
 p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0 
 r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0 
 t)2x2+5x+3=0 y) ( ) 22 3( 2) 0x x− + − =