Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 8 - Chuyên đề Kỹ thuật điểm rơi của bất đẳng thức và cực trị - Lương Hiền An

 KỶ THUẬT ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Bài 1: Cho .Tìm Min của: 
Giải: Rõ ràng không thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a = 1, mâu thuẫn với đk 
Ta dự đoán từ đề bài rằng P sẽ nhỏ nhất khi a = 3 và đây chính là "điểm rơi" của bài toán. Khi a=3 thì và 
Ta áp dụng Cosi như sau: ta có 
Khi đó kết hợp với đk ta có 
Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3
Bài 2: Cho a,b,c dương và abc = 1.CMR:
Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a = b = c = 1.
Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:
Tương tự cho 2 BĐT còn lại. Khi đó ta có .
Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có .
Thay vào ta có 
Bài 3:
Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x + y + z = 1.CMR: 
P=++>=
Giải: 
Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng m2 + n2 nên nghĩ ngay đến sử dụng BĐT Bunhiakopski dạng .
Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm rơi".
Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt được khi .
Ta chú ý tiếp đk x + y + z = 1 và "dự đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a = b.Cho a = 1 và b = 9 ta được ngay:
Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản 
Bài 4: Cho a,b,c dương và a + b + c = 3.Tìm Min:
P= + +