Bồi dưỡng Đại số Lớp 8 - Chương 1: Phép chia và phép nhân các đa thức

Chương I: Phép Chia Và Phép Nhân Các Đa Thức
&1. Nhân Đa Thức
I. Lý Thuyết:
Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta thực hiện như sau:
A(B+C) = A.B + A.C
(A+B)(C+D) = A.C + A.D + B.C + B.D
Ví dụ 1: Hãy tính giá trị của biểu thức : 
Hướng dẫn: Đặt ; các em sẽ tính được M = 5a sau đó mới thây giá trị của a vào để tính
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức : A =x5 – 5x4 + 5x3 – 5x2 + 5x – 1 Với x = 4
Hướng dẫn : Chú ý rằng 5 = ( 4 + 1). Kết quả A = 3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng : (x-a)(x-b) + ( x-b)(x-c) + (x-c)(x –a) = ab + bc + ca – x2 . Biết rằng
2x = a + b + c
Hướng dẫn: Biến đổi vế trái được : 3x2 – 2x( a+b+c) + (ab+ bc + ca) rồi thay a + b + c bởi 2x vào tính tiếp sẽ bằng vế phải . Đó là điều phải chứng minh
II. Bài tập: 
Bài 1: Chứng minh rằng 210 + 211 + 212 chia hết cho 7
Hướng dẫn : Biến đổi biểu thức trên thành một tích trong đó có một thừa số chia hết cho 7
Bài 2:Tính A = 
Hướng dẫn: Đặt thay vào các em tính được A = 3b
Bài 3: Chứng minh rằng: 
( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a+ b+ c) = a(a2 –bc) + b(b2 – ca) + c(c2 – ab)
Hướng dẫn: Biến đổi cả hai vế đều bằng a3 + b3 + c3 – 3abc
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
2y-x{2x-y-[y+3x-(5y-x)]} với x = a2 + 2ab + b2 ; y = a2 – 2ab + b2 
Bài 5 : Thực hiện phép tinh : 3xn (4xn-1-1)-2xn+1(6xn-2-1)
Bài 6 : Rút gọn biểu thức
a) 10n+1 – 6.10n
b) 90.10k – 10k+2+10k+1
c) 2,5.5n-3.10+5n-6.5n-1
Bài 7: Rút gọn biểu thức (a+b+c)(a2+b2+c2 –ab-bc-ca)
&2.NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. Lý thuyết:
1.Binh phương của một tổng : (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 
Từ đây suy ra ( a + b + c)2 = a2 + b2 +c2 +2ab + 2ac+ 2bc
2.Bình phương của một hiệu: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 
Từ đây suy ra ( a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 -2ab -2bc + 2ac
3.Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A-B)(A+B)
4.Lập phương của một tổng : (A+B)3 = A3 +3A2B + 3AB2 +B3 
Còn có thể viết dưới dạng: ( A+B)3 = A3 + B3 + 3AB(A+B)
5.Lập phương của một hiệu : (A-B)3 = A3 -3A2B + 3AB2 -B3 
Còn có thể viết dưới dạng : ( A-B)3 = A3 - B3 - 3AB(A-B)
6.Tổng hai lập phương : A3 + B3 = (A+B A2 -AB + B2)
7.Hiệu hai lập phương : A3 - B3 = (A-B)( A2 +AB + B2)	
Ví dụ 1: So sánh hai số : A = ( 2+1)(22 + 1)(24+1)(28+1)(216 + 1) và B = 232
Hướng dẫn:Nhân hai vế của A cho 2 -1. Áp dụng hằng đẳng thức (a-b)(a+b) = a2 – b2 nhiều lần, ta được: A = 232 – 1. Vậy A < B
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : A = ( a+b+c)3 +(a-b-c)3 – 6a(b+c)2
Đáp số : 2a3
II.Bài tập:
Bài 1: Tính nhanh các biểu thức:
a) 98.28 –(188-1)(184+1)
b) 1002 -992+982-972 + +22-1
c) (202+182+162++42+22)- (192+172+152++32+12)
d) 
Bài 2: So sánh hai số sau: 
a)A = ( 3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và B = 332 – 1
b) A = 1989.1991 và B = 19902
c) A = với x>y>0
Bài 3: Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy?
Hướng dẫn: Gọi hai số chẵn liên tiếp là x và x + 2 ( x: chẵn)
Bài 4: Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên lẽ liên tiếp bằng 40. Tìm hai số ấy?
Bài 5: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp hai số trong ba số ấy bằng 74
Bài 6:Cho a2+b2+c2-ac-ab-bc-ca=0. Chứng minh rằng: a = b = c
Hướng dẫn: Nhân hai vế cho 2 rồi biến đổi thành tổng các bình phương bằng 0
Bài 7:Cho (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 = 4(a2+b2+c2 –ab-bc-ca). Chứng minh rằng: a = b= c
Bài 8:Tìm x và y biết rằng : x2 – 2x +y2 +4y+5=0
Hướng dẫn : Biến đổi thành một tổng hai bình phương bằng 0. Từ đó suy ra x và y
Bài 9 :Cho a+b+c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc+b2+c2-a2=4p(p-a)
Hướng dẫn: Biến đổi vế phải bằng vế trái
Bài 10:Cho a+b+c+d = 0. Chứng minh rằng: a3+b3+c3+d3=3(ab-cd)(c+d)
	PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ	
1. Đặt nhân tử chung
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử A= 3x2(x+1) – 2(x+1) = (x + 1)(3x2 -2)
2.Dùng hằng đẳng thức
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 
B = (ax+by)2 – (ay + bx)2 = (ax+by+ay+bx)(ax+by-ay-bx) = ( x+y)(x-y)(a+b)(a-b)
3. Nhóm các hạng tử	
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 +2xy+x+2y = (x2+2xy)+(x+2y) = (x+2y)(x+1)
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Ví dụ: Phân ích đa thức thành nhân tử: 
A = 5x2 -45y2 -30y -5=5(x2 -9y2 -6y -1)=5[x2 –(9y2 + 6y + 1)] 
= 5[x2 – ( 3y +1)2]=5(x+3y+1)(x-3y-1)
5.Tách hạng tử
Dạng 1: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c = 0
Bước 1 : Tìm tích a.c
Bước 2 : Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
Bước 3: chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ: Phân tích đa thức sau 9x2 +6x – 8 = 0 thành nhân tư
Bước 1 : Tích a.c = 9.(-8) = -72
Bước 2 : -72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (6).12
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6 đó là -6 và 12
Vậy 9x2 +6x – 8= 9x2 – 6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = ( 3x -2)(3x +4)
Chú ý : tam thức bậc hai ax2 + bx + c = 0 sẽ không phân tích tiếp được thành nhân tử nếu khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách , không có hai thừa số nào có tổng bằng b
Dạng 2:Phương pháp nhẫm nghiệm
Ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử : x3 + 3x2 – 4 
 Dùng máy tính ta tìm được đa thức này có nghiệm là 1.Như vậy đa thức chứa nhân tử x- 1 , do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x – 1
Cách 1 : x3 + 3x2 – 4= x3 – x2 + 4x2 – 4
Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 -1 +3x2 – 3
Chú ý : Để tìm nghiệm đa thức ta còn chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x – 1, nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
Ngoài ra ta còn có thể nhờ sự trợ giúp của máy tính bỏ túi
Ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử : 2x3 – 5x2 + 8x – 3
Sau khi kiểm tra ta thấy là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử x-hay 2x – 1do đó tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x – 1. 
Vậy x3 + 3x2 – 4 = 2x3 –x2 – 4x2 +2x + 6x – 3
6) Hệ số bấc định
Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bấc định:
Nếu đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng ( ax+b)(cx2+dx+m)
Phép nhân này cho kết quả : acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm
Đồng nhất đa thức này với 2x3 – 5x2 + 8x – 3, ta được
ac=2, ad+bc=-5,am+bd=8,bm=-3
Có thể giả thiết rằng a>0( vì a<0 thì đổi dấu cả hai nhân tử), do đó a =2 hoặc a = 1
Xét a = 2 thì c = 1, ta có 2d+b = -5, 2m +bd = 8, bm = -3; b có thể bằng 
Xét b = -1 thì m = 3, d=-2 thỏa các điều kiện
Vậy a = 2, c= 1, d = -1, m= 3, d= -2
Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 =(2x-1)(x2-2x+3)
7.Thêm , bớt một hạng tử thích hợp
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x +2)
8. Đổi biến: Mục đích ta đặt một lượng cần thiết trong đa thức bằng biến khác để làm xuất hiện dạng tam thức bậc hai
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + x )2 +4x2 + 4x – 12
Đặt x2 + x = y thì đa thức có dạng 
y2 + 4y – 12 = y2 + 6y – 2y – 12 = (y+6)(y – 2) = (x2 + x + 6)(x2 +x – 2) 
= (x2 + x + 6)(x2 +2x – x -2) = (x2 + x + 6)(x+2)(x – 1) 
9. Một số dạng khác :
Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử f = ab(a-b) +bc(b-c)+ca(c-a)
Nếu thay a bởi b thì f = 0 do đó f sẽ chứa thừa số (a-b) vì vậy ta chỉ khai triển hai số hạng cuối của nó f = ab(a-b) + b2c – bc2 +c2a – ca2 = ab(a-b) + (c2a – c2b) –(ca2 –cb2)= (a-b)(a-c)(b-c)
II. Bài tập :
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x3 – 4x2 – 8x + 8
b) x3 – 19x -20
c) x2(x2+4)2 –(x+4)2 – (x2-1)
d) 6x3 –x2 – 486x + 81
e) x2 – 7x + 21
f) x3 -5x2 + 8x - 4
Bài 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4a2b2 –(a2+b2+c2)2
b) a(b2-c2) +b(c2-a2)+c(a2-b2)
c) a3 +b3+c3-3abc
d) (a+b+c)3-a3-b3-c3 
Bài 3:Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 6x4 – 11x2 +3
b) x(x+1)(x+2)(x+3) + 1
c) x4 + 2x3 +x2 +x+1
d) x4 + 64
e) x5 +x+1.Hướng dẫn:ta thêm bớt x4;x3;x2 
Bài 4:Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x+a)(x-5)+2 phân tích được thành (x+b)(x+c) với b, c là số nguyên
Hướng dẫn:Dùng phương pháp hệ số bấc định
Bài:5Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là một số nguyên tố
a) A = n3 – 4n2 + 4n -1
Hướng dẫn: Phân tích được A = (n-1)(n2-3n +1)
Ta thử với n = 0,1,2,3. Tìm được n =3
Với n4 thì n-13, còn n2 – 3n + 1 = n(x-3)+15 nên A là hợp số
Bài 6:Hãy tính S = 12 + 22 + 32 ++ n2
Hướng dẫn: Ta có: (x+1)3 = x3 + 3x2 + 3x +1
Lần lượt thay x bằng 1,2,3,...,n rồi cộng các hằng đẳng thức đó lại
Bài 7 :Hãy tính S = 13+23+33+...+n3 
Hướng dẫn: Làm như bài 5 với hằng đẳng thức (x+1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
&4. Chia Đa Thức
Ví dụ 1 :Xác định số a sao cho đa thức x3 – 3x + a chia hết cho (x+1)2
Ví dụ 2: Xác định số a sao cho đa thức 3x2 + ax + 27 chia cho x+5 có số dư bằng 2
Ví dụ 3:Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 2n2+3n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức 2n -1
Ví dụ 4:Xác định dư của phép chia đa thức x+x3+x9+x27+x81 cho:
a) x – 1	b) x2 - 1
Hướng dẫn: Sử dụng định lí Bê-du: Đa thức f(x) chia hết cho x –a khi và chỉ khi a là nghiệm của đa thức
a) Dư phép chia cho x – 1 là hằng số . Gọi thương của phép chia là Q( x), dư là r, với mọi x ta có
x+x3+x9+x27+x81 = (x-1).Q(x) + r
Với x = 1 thì 1+1+1+1+1 = r hay r = 5
Vậy dư của phép chia là 5
&5. Tính Chia Hết
Ví dụ 1:Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:
a) n3 – n chia hết cho 3
Hướng dẫn: Phân tích thành tích của ba số nguyên liên tiếp
b) n5 – n chia hết cho 5
Hướng dẫn : Phân tích thành một tổng, trong đó có một số hạng là tích của năm số liên tiếp , số hạng kia co một thừa số chia hết cho 5
c) n7 – 7 chia hết chon 7
Hướng dẫn: Xét hiệu ( n7 – n) – (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
d) Chứng minh rằng 2n3 + 3n2+n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
e) Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b
f) Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9
g) Chứng minh rằng n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
&6. Một Số Hằng Đẳng Thức tổng quát
I. Lý thuyết:
1Với mọi n nguyên dương ta có:
an - bn = (a-b)(an-1 +an-2.b +an-3.b2 ++a.bn-2 +bn-1); 
2.Với mọi n lẽ ta có:
an + bn = (a+b)(an-1 – an-2.b + an-3 .b2 --abn-2+bn-`1 ( với n lẻ)
Ví dụ: a4 – b4 = (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)
 a5 +b5 = (a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
3. Bảng tam giác Pa-xcan
 	1
	1	1
	1	2	1
	1	3	3	1
	1	4	6	4	1
	1	5	10	10	5	1
Ví dụ: (a+b)4 = a4 + 4a3b +6a2b2 + 4ab3 + b4
	(a-b)5 = a5 – 5a4b+ 10a3b2 -10a2b3 +5ab4 – b5 
Áp dụng vào chứng minh chia hết:
a) Nếu thì (an – bn)(a-b) với mọi 
 b) Nếu thì an + bn (a+b) mọi ( với n lẻ)
c) ( a+b)n = ( bội số của a) + bn
Ví dụ1: Chứng minh rằng 1110 – 1 chia hết cho 100
1110 – 1= ( 11 – 1)( 119 + 118 + +11+1)
	( 10 số hạng)
Vậy 1110 – 1 chia hết cho 100 vì mỗi thừa số đều chia hết cho 10
Ví dụ 2: Chứng minh 21000-1 chia hết cho 3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1945+1030 chia hết cho 20
Ví dụ 4: Tìm số dư khi chia 19631964 cho 7
Ta thấy 1963 là số chia cho 7 dư 3. Do đó :
19631964 = (7a + 3)1964 = 7b + 31964 với a,b
Lại xét tiếp số dư khi chia 31964 cho 7 
Lũy thừa của 3 sát với một bội của 7 là x3. Do đó ta viết:
31964 = 32.(33)1964 = 9(28 - 1)654 = 9(7c + 1) = 7d + 9 = 7m + 2 với c,d,m
Vậy 31964 chia cho 7 dư 2, do đó 19631964 chia cho 7 dư 2
Ví dụ: Tìm hai chử số tận cùng của 21000
Tìm hai chữ số tận cùng của 21000 là tìm số dư kgi chia 21000 cho 100
Trước hết ta xét số dư của 21000 khi chia cho 25. Lũy thừa của 2 sát với một bội của 25 là 
210 = 1024 = 1025 – 1 = 25a – 1 với a
Ta có 21000 = (210)100 = ( 25a – 1 )100 = 25b + 1 với b
Do đó 21000 chia cho 25 dư 1
Số chia cho 25 dư 1 có tận cùng là 01 hoặc 26 hoặc 51 hoặc 76 . Số 21000 chia hết cho 4 nên không thể có tận cùng là 01, 26, 51
Vậy 21000 có tận cùng là 76
II.Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng 8.16n – 8 chia hết cho 120
Bài 2: Tìm số dư của phép chia 4813 cho 7
Bài 3: Tìm giá trị nguyên dương của n để 2n – 1 chia hết cho 3
Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 71990 
A = (a+b+c) + (a-b-c) -6a(a+b)2 = [a+(b+c)]3 +[a-(b+c)]3 – 6a(a+b)2 
= a3 +3a2(b+c)+3a(b+c)2 –(b+c)3 – 6a(b+c)2 = 2a3