Bộ đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

 Đề thi HSG
I. Tr¾c nghiÖm:
H·y chän ch÷ c·i ®øng tr­íc c©u tr¶ lêi ®óng trong c¸c c©u sau:
C©u 1: §Ó ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b lµ b×nh ph­¬ng cña mét ®a thøc th×:
	A. a = 3; b = 1	B. a = 3; b = 0	C. a = 4; b = 1	D. a = 1; b = 1
C©u 2: Cho ph©n thøc . Gi¸ tri cña ph©n thøc b»ng 0 khi:
	A. x = 0	B. x = 0 hoÆc x = 1	C. x = 1	D. Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x
C©u 3: KÕt qu¶ cña phÐp tÝnh (a6 - 1) : (a2 - 1) lµ:
	A. a4 + 1	B. a4 + a2 + 1 	C. a4 + 2a2 + 1 	D. Kh«ng thùc hiÖn ®­îc
C©u 4: Mét tam gi¸c cã ®é dµi hai c¹nh b»ng 3cm vµ 8cm, gãc xen gi÷a b»ng 600. §é dµi c¹nh cßn l¹i lµ:
	A. 7cm	B. 4cm	C. 	D. 
C©u5 Cho . KÕt qu¶ nµo sau ®©y lµ ®óng?
	A. x = 0	B. x = 	C. 	 	D. x = 4
C©u 6 BiÕt th× (x - 5)2 b»ng:
	A. 2	B. 16	C. 32	D. 256
C©u 7 Tæng A = 3 - 32 + 33 - 34 + ... - 3100 ®­îc kÕt qu¶ lµ:
	A. 	B. 	 C. 3 - 3101 	 D. 3101 - 3
C©u 8 Mét tam gi¸c cã gãc B - gãc C = 300, tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D. Sè ®o gãc ADB lµ:
	A. 300 	 B. 450 	 C. 600	 D. 750 
II. Tù luËn:	
C©u 5: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
	a/ 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0
	b/ 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0
	c/ 
C©u 6: Cho P = . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña P
C©u 7: 
	a/ Cho ba sè chÝnh ph­¬ng A, B, C. Chøng minh r»ng: (A - B)(B - C)(C - A) chia hÕt cho 12.
	b/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a, b, c kh¸c 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
	P = 
C©u 8: Cho tam gi¸c ABC c©n, AB = AC = 5cm; BC = 6cm. VÏ c¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF 
	a/ TÝnh ®é dµi EF
	b/ TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c DEF
C©u 9: 
	a/ Chøng minh r»ng nÕu a + b + c 3 th× a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 
	b/ T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ sè nguyªn vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi.
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 8
Đề 1
Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho Tính diện tích MNP theo diện tích ABC theo k.
Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN.
Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Kí Hiệu S là diện tích. Cho diện tích AOB và diện tích COD với a,b là 2 số cho trước .
 1, Hãy tìm GTNN của diện tích ABCD ?
 2, Giả sủ diện tích ABCD nhỏ nhất. Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao cho đường thẳng qua M // với AB bị 2 cạnh AD, BC và 2 đường chéo AC, BD chia thành 3 phần bằng nhau.
Đề 2
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
A=
Bài 2 Giải phương trình
a)
b)
Bài 3 Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a2+b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 4
Bài 4 cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB),đường cao AH . Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE. gọi P là giao điểm của AC và KE
a)tính các góc của tam giác ABP
b)gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F là giao điểm AK và HE. cm AI.AK=AF.AQ
Đề 3 
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x4-7x3-2x2+13x+6 
1) Phân tích P(x) thành nhân tử
2) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x thuộc Z
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Vẽ CE vuông góc với AB và CF vuông góc với AD. Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=
Bài 3: Cho phân thức F(x)=
1) Rút gọn phân thức
2) Xác định x để phân thức có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC bằng 289 và đường cao AH bằng 120. Tính hai cạnh AB và AC
Bài 5:Cho 3 số dương a,b,c 1)C/m: >9
2) Giải phương trình: 
.2đ.
tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xyz= x + y + z
2.2đ:
a,giải phương trình 
b,cho các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=100.tính giá trị biểu thức:
Click this bar to view the full image.
3.(2đ)
a,CMR nếu các số x,y,z có tổng là 1 số ko âm thì:
b, cho m,n là các số thỏa mãn điều kiện .tìm min của :
4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+ (m-3)y=1( m là tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d là lớn nhất.
5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R .từ điểm P trên tia tiếp tuyến tại B của đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A là tiếp điểm).Gọi H là hình chiếu của A trên BC,E là giao điểm của PC và AH.
a,CM : E là TĐ của AH
b,tính AH theo R và khoảng cách d=PO 
Së GD-§T Hµ TÜNH §Ò THI häC SINH GiáI LíP 8 N¡M HäC 2008-2009
PHßNG GD-§T H¦¥NG S¥N M¤N : TO¸N(Thêi gian 120 phót)
 C©u: 1Cho biÓu thøc A=
 a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña biÓu thøc A
 b) Rót gän biÓu thøc A
 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A < 
 C©u :2 Cho hai sè d­¬ng x vµ y tho¶ m·n x+y=1
 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P =(1- 
 C©u :3 §a thøc P(x) bËc 4 cã hÖ sè bËc cao nhÊt lµ 1
 Gi¶ sö P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0 . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
 Q= P(-2)+7P(6)
 C©u : 4 T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n tho¶ m·n
 (n+5)2 =[4(n-2)]3 
 C©u :5 Cho ®o¹n th¼ng AB , gäi O lµ trung ®iÓm cña AB; vÏ vÒ mét phÝa cña AB 
 c¸c tia Ax vµ By cïng vu«ng gãc víi AB . LÊy ®iÓm C trªn Ax, lÊy ®iÓm D 
 trªn By sao cho gãc COD=900
 a) Chøng minh ®ång d¹ng víi BOD
 b) Chøng minh CD=AC+BD
 c) KÎ OM vu«ng gãc víi CD t¹i M . Gäi N lµ giao ®iÓm cña AD víi BC 
 Chøng minh MN // AC 
Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sát học sinh giỏi
Môn: Toán. Lớp 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1( 2đ): 
Biết: a - b = 25. Hãy tính giá trị của biểu thức: 
A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của biểu thức: B = x3 + y3
Câu 2( 2đ): 
 Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c.
Chứng minh: a3 - 3ab +2c = 0.
Câu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì:
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Câu 5( 2đ): Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh rằng:
AB . AE + AD . AF = AC2
C©u
Néi dung
§iÓm
1
a
- Rót gän: A = = 
 = 
1®iÓm
1®iÓm
b
Víi mäi x ≠ - 1 th× A = = 
V× 
1®iÓm
1®iÓm
2
a
* Víi x³ 1 (*) Þ x - 1 ³ 0 Þ ta cã ph­¬ng tr×nh 
 x2 -3x + 2 + x-1 = 0 ( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *)
* Víi x< 1 (**) Þ x - 1 £ 0 Þ ta cã ph­¬ng tr×nh 
 x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 
 + x - 1 = 0 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)
 + x - 3 = 0 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)
VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : x = 1
1®iÓm
1®iÓm
b
* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)
* pt 
 hoÆc x = -8
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x = - 8 
0.5®iÓm
1®iÓm
0.5®iÓm
3
Ta cã v× xy ¹ 0 Þ x, y ¹ 0 Þ x, y ¹ 0 Þ y-1¹ 0 vµ x-1 ¹ 0
1®iÓm
1®iÓm
1®iÓm
4
Ta cã: M = 
§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)
1®iÓm
1®iÓm
1®iÓm
5
a
+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: 
 Gãc C chung. 
 (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng)
 Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). 
Suy ra: (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 
1.5®iÓm
1®iÓm
b
Ta cã: (do )
mµ (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)
nªn (do )
Do ®ã (c.g.c), suy ra: 
1.5®iÓm
1®iÓm
c
Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
Suy ra: , mµ 
Do ®ã: 
1®iÓm
	UBND THµNH PHè HuÕ	kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè
	PHßNG Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o	líp 8 thCS - n¨m häc 2007 - 2008
 	M«n : To¸n 
 §Ò chÝnh thøc 	Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
Bµi 2: (2®iÓm) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3: (2®iÓm)
C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt d­íi d¹ng nh­ sau: 
Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng d­íi d¹ng nh­ trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã.
T×m sè d­ trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a thøc .
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®­êng cao AH (HBC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §­êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo .
Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: .
§Ò bµi
Bµi 1 (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc A = víi x kh¸c -1 vµ 1.
a, Rót gän biÓu thøc A.
b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x .
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.
Bµi 2 (3 ®iÓm)
	Cho .
 Chøng minh r»ng .
Bµi 3 (3 ®iÓm)
	Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh.
 Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®­îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.
Bµi 4 (2 ®iÓm) 
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = .
Bµi 5 (3 ®iÓm)
	Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.
a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh.
b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.
Bµi 6 (5 ®iÓm)
 H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.
a, Chøng minh r»ng OM = ON.
b, Chøng minh r»ng .
c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD.
 h­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp 
Bµi 1( 4 ®iÓm ) 
a, ( 2 ®iÓm )
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :
 A= 
0,5®
 =
0,5®
 = 
0,5®
 = 
KL 
0,5®
b, (1 ®iÓm)
T¹i x = = th× A = 
0,25®
= 
0,25®
KL
0,5®
c, (1®iÓm)
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1)
0,25®
V× víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 
KL
0,5®
0,25®
Bµi 2 (3 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®­îc 
0,5®
BiÕn ®æi ®Ó cã 
0,5®
BiÕn ®æi ®Ó cã (*)
0,5®
V× ;;; víi mäi a, b, c
nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi ; vµ ;
0,5®
0,5®
Tõ ®ã suy ra a = b = c
0,5®
Bµi 3 (3 ®iÓm)
Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11)
0,5®
Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®­îc ph©n sè 
(x kh¸c -15)
0,5®
Theo bµi ra ta cã ph­¬ng tr×nh =
0,5®
Gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ t×m ®­îc x= -5 (tho¶ m·n)
1®
Tõ ®ã t×m ®­îc ph©n sè 
KL
0,5®
Bµi 4 (2 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®Ó cã A=
0,5®
=
0,5®
V× vµ nªn do ®ã 
0,5®
DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi 
0,25®
KL
0,25®
Bµi 5 (3 ®iÓm)
a,(1 ®iÓm)
Chøng minh ®­îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang
0,5®
Chøng minh ®­îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n
0,5®
b,(2®iÓm)
TÝnh ®­îc AD = ; BD = 2AD = 
AM = 
0,5®
TÝnh ®­îc NI = AM = 
0,5®
DC = BC = , MN = 
0,5®
TÝnh ®­îc AI = 
0,5®
Bµi 6 (5 ®iÓm)
a, (1,5 ®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã , 
0,5®
LËp luËn ®Ó cã 
0,5®
 OM = ON
0,5®
b, (1,5 ®iÓm)
XÐt ®Ó cã (1), xÐt ®Ó cã (2)
Tõ (1) vµ (2) OM.()
0,5®
Chøng minh t­¬ng tù ON. 
0,5®
tõ ®ã cã (OM + ON). 
0,5®
b, (2 ®iÓm)
, 
0,5®
Chøng minh ®­îc 
0,5®
Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5®
Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (®¬n vÞ DT)
0,5®
Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.
c) Nếu x; y là các số thực thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A?
Bài 2 (4 điểm):
a) Giải phương trình :
b) Tìm các số x, y, z biết :
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 
 và 
Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau. 
Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và 
 b) Cho và . Tính SEBC?
 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
 d) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
Bài 5 (2 điểm): 
 a) Chứng minh bất đẳng thức sau: (với x và y cùng dấu) 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (với )
Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o
TRùC NINH
*****
®¸p ¸n vµ h­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái n¨m häc 2008 - 2009
m«n: To¸n 8
Bài 1: (4 điểm)
Điều kiện: x y; y0 	(1 điểm)
A = 2x(x+y)	(2 điểm)
Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A	
+ Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 
 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2
 A = 2 – (x – y + 1)2 (do (x – y + 1) (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ)
+ A = 2 khi 
+ A = 1 khi Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 
+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2	(0,5 điểm)
Bài 2: (4 điểm)
 a) 
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
x2009 = y2009 = z2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
 z2009 = 32009
 z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10
- Chứng minh : n5 - n 2
 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 ( vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n5 – n 5
 n5 - n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
 = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) 
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5
- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bµi 4: 6 ®iÓm
C©u a: 2 ®iÓm
* Chøng minh EA.EB = ED.EC	(1 ®iÓm)
- Chøng minh EBD ®ång d¹ng víi ECA (gg)	0,5 ®iÓm
- Tõ ®ã suy ra 	0,5 ®iÓm
* Chøng minh 	(1 ®iÓm)
- Chøng minh EAD ®ång d¹ng víi ECB (cgc)	0,75 ®iÓm
- Suy ra 	0,25 ®iÓm
C©u b: 1,5 ®iÓm
- Tõ = 120o = 60o = 30o	0,5 ®iÓm
- XÐt EDB vu«ng t¹i D cã = 30o
	 ED = EB 	0,5 ®iÓm
- Lý luËn cho tõ ®ã SECB = 144 cm2	0,5 ®iÓm
C©u c: 1,5 ®iÓm
- Chøng minh BHD ®ång d¹ng víi DHC (gg) 	0,5 ®iÓm
	0,5 ®iÓm
- Chøng minh DPB ®ång d¹ng víi CQD (cgc)
	1 ®iÓm
C©u d: 1 ®iÓm
- Chøng minh BMI ®ång d¹ng víi BCD (gg) 
- Chøng minh CM.CA = CI.BC	0,5 ®iÓm
- Chøng minh BM.BD + CM.CA = BC2 cã gi¸ trÞ kh«ng ®æi	0,5 ®iÓm
C¸ch 2: Cã thÓ biÕn ®æi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Bài 5: (2 điểm)
vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó bất đẳng thức này luôn đúng, suy ra bđt ban đầu đúng (đpcm)
 Đặt 
 Biểu thức đã cho trở thành P = t2 – 3t + 3 
	P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t 2. ; . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1)
- Nếu x; y trái dấu thì và t 0 P > 1 	(2)
- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thì luôn có P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin= 1 (khi x = y) 
Bài 5: (2 điểm)
- Gọi R(x) là đa thức dư trong phép chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), khi đó ta có:
 f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1)
- Vì đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) là đa thức bậc 3 nên đa thức dư R(x) có bậc 2
- Từ (1) dư trong phép chia f(x) : (x – 2) chính là dư trong phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x) là đa thức có bậc 2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt) R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4
- Lập luận tương tự trên 
ßng GD & §T Nam Trùc
®Ò thi kh¶o s¸t chÊt l­îng hsg n¨m häc 2008-2009
M«n: to¸n 8 
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Bµi 1(4®)
Gi¶i c¸c pt sau:
a) 
b) 
Bµi 2 (4®) 
a)TÝch cña 4 sètù nhiªn liªn tiÐp céng thªm 1 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng
b) 
Bµi 3 (3®) 
 Hai bÓ n­íc chøa ®Çy cïng mét l­îng n­íc vµ mçi bÓ cã1 vßi ®Ó x¶ n­íc ra. Nõu më vßi ë bÓ thø nhÊt th× trong 20 phót bÓ sÏ hÕt n­íc. NÕu më vßi ë bÓ thø hai th× trong 10 phót bÓ sÏ hÕt n­íc. Hái nÕu më hai vßi cïng mét lóc thÝau bao l©u sè n­íc cßn l¹i trong bÓ thø nhÊt nhiÒu h¬n sè n­íc cßn l¹i trong bÓ thø hai lµ 3 lÇn, biÕt vËn tèc dßng ch¶y cña mçi vßi lµ kh«ng ®æi.
Bµi 4(3®)
 Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Mét ®iÓm D bÊt k× lÊy trªn c¹nh BC, kÎ DE^AB, DF^ac. Chøng minh r»ng tæng DE+DF kh«ng ®æi khi D di chuyÓn trªn c¹nh BC.
Bµi 5 (4®)
 Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh dµi 20cm, Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M. §­êng vu«ng gãc víi BM c¾t AD t¹i N.
TÝnh DN biÕt MC=5cm
T×m vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó ®é dµi DN lín nhÊt.
Bµi 6 (2®)
 X¸c ®Þnh a ®Ó ph­¬ng tr×nh 4x2+31y2=a + 6 - 17xy cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
QUẬN 1 TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003
( Thời gian làm bài : 90 phút)
Bài 1: (3 điểm) 
Phân tích đa thức thành nhân tử 
x2 +6x +5
(x2-x +1) (x2 –x+2) -12
Bài 2: (4 điểm) 
 a) Cho x+y+z = 0 .Chứng minh x3 +y3 +z3 =3xyza
 b) Rút gọn phân thức :
Bài 3 : (4 điểm) 
Cho x , y , z là độ dài ba cạnh của tam giác 
 A= 4x2y2 –(x2 + y2 –z2)2 .Chứng minh A >0
Bài 4 : (3 điểm)
 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
 ( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x2 +8x +12
Bài 5: (6 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông tại A (AC >AB) ,đường cao AH .Trên tia HC lấy HD= HA .Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E 
Chứng minh AE = AB 
Gọi M là trung điểm của BE .Tính góc AHM
Phßng gd-®t vÜnh t­êng
®Ò kh¶o s¸t chÊt l­îng hsg
M«n:To¸n 8
Thêi gian lµm bµi 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
I/ Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan: H·y chän c©u tr¶ lêi ®óng trong c¸c c©u sau:
C©u 1: Rót gän biÓu thøc P= víi x<4 ta ®­îc kÕt qu¶ lµ:
A. 	B. 	C. 	D.
C©u 2: PhÐp biÕn ®æi nµo sau ®©y lµ ®óng?
A. - 0,8x > -1,6 ó x > 2	C. - 0,8x > -1,6 ó x< 2
B. - 0,8x > -1,6 ó x > -2	D. - 0,8x > -1,6 ó x < -2
C©u 3: Cho tam gi¸c ABC c©n ë A, AB = 32cm; BC = 24cm, ®­êng cao BK. TÝnh ®é dµi KC ta ®­îc:
A. KC = 16	B. KC = 9	C. KC = 4	D. KC = 3
C©u 4: Cho h×nh thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm. Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng th¼ng AD vµ BC. BiÕt diÖn tÝch tam gi¸c OAB b»ng 27cm2. TÝnh diÖn tÝch h×nh thang ta ®­îc:
A. 9 cm2	B. 25cm2	C. 48cm2	D. 75cm2
II. Tù luËn:
C©u 1: Cho ba sè tù nhiªn:
A = 444 ( cã 2n ch÷ sè 4);
B = 222 ( cã n+1 ch÷ sè 2);
C = 888 ( cã n ch÷ sè 8);
Chøng minh r»ng A + B + C + 7 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
C©u 2: Chøng minh r»ng tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña n sè tù nhiªn ®Çu tiªn :
 	S = 12 + 22 +32 ++ (n-1)2 + n2 = 
C©u 3: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh Èn x
C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = x2 + y2 – xy – x + y + 1
C©u 5: Cho tam gi¸c ABC cã B vµ C lµ c¸c gãc nhän, ®¸y BC dµi 20cm, ®­êng cao AH dµi 10cm. H×nh ch÷ nhËt MNPQ néi tiÕp trong tam gi¸c ABC sao cho M thuéc AB, N thuéc AC , P vµ Q thuéc BC.
a. §Æt MQ = x; MN = y; H·y biÓu thÞ y theo x.
b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó h×nh ch÷ nhËt MNPQ cã diÖn tÝch lín nhÊt.
 H­íng dÉn chÊm 
 kh¶o s¸t chÊt l­îng hsg 
 M«n: To¸n 8
I/Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan ( 1 ®iÓm)
C©u
1
2
3
4
§¸p ¸n ®óng
D
C
B
C
Cho ®iÓm
0,25
0,25
0,25
0,25
II/Tù luËn 
C©u
Néi dung
§iÓm
1
(2 ®)
Ta cã: A +B+C+7=
=4*
=
= (®pcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(2 ®)
- Ta cã ®¼ng thøc sau:
23= (1+1)3 = 13 +3.12.1+3.1.12 +13
33= (2+1)3 = 23 +3.22.1+3.2.12 +13
(n+1)3= n3 +3.n2.1+3.n.12 +13
Céng tõng vÕ råi rót gän ta ®­îc:
(n+1)3=1+3(12+22++n2) +3(1+2++n)+n
Thay 1+2++(n-1)+n=ta cã:
3(12+22++n2)=(n+1)3-(n+1)-3
=1/2(n+1)(2n2+n)=1/2n(n+1)(2n+1)
VËy S= 12+22++n2= (®pcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 ®)
Ph­¬ng tr×nh ®· cho ó 8m2x-32x=8m2+32m+32
óm2x-4x=m2+4m+4
ó (m-2)(m+2)x=(m+2)2 (*)
- NÕu m th× pt cã nghiÖm duy nhÊt x=
- NÕu m=2 th× pt (*) ó0x=4, pt v« nghiÖm
- NÕu m=-2 th× pt (*) ó 0x=0, pt v« sè nghiÖm
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
4
Ta cã P=x2-x(y+1) + (y2+y+1)
 = (x-)2+(y2+y+1)-
 = 
 = 
 =
Do ®ã: P víi mäi x, y. DÊu “=” x¶y ra khi x-=0 vµ y+1/3=0
ó x=2/3 vµ y=-1/3.VËy GTNN cña P=2/3
0,25
0,25
0,25
0,25
 B
5
( 2 ®)
A
N
K
M
C
Q
H
P
Gäi K lµ giao ®iÓm cña AH vµ MN
a/®ång d¹ng nªn 
suy ra y=20-2x
b/S= (20 - 2x)x
 = 20x- 2x2=-2(x2-10x+25)+50=-2(x-5)2+50
suy ra S 50 nªn S lín nhÊt lµ 50m2 khi vµ chØ khi x=5m ( khi ®ã MN lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC)
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
§Ò thi häc sinh giái to¸n 8
Bài 1: C/m rằng
A=75(++...++4+1)+25 là số chia hết cho 100
Bài 2: Cho a+b+c=1 và Chứng minh 
Bài 3: Tính giá trị của đa thức
P(x)=tại x=11
Bài 4:
An và Bình cùng lúc từ làng sang làng B ở cùng một bờ sông rồi quay về A ngay. An đi bộ, Bình đi thuyền với vận tốc riêng của thuyền bằng vận tốc đi bộ của An. Hỏi ai quay về sớm hơn?
Bài 5:
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. C/m rằng AM<
Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trùc t©m H chia ®­êng cao AE theo tØ sè 7:1. Hái giao ®iÓm I c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c chia ®­êng cao AE theo tØ sè nµo.
§Ò thi häc sinh giái tr­êng n¨m häc 2008-2009
M«n: To¸n 8 (Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
C©u1: Cho A = ( + -) : 
Rót gän biÓu thøc A.
T×m x Z ®Ó A Z
T×m x ®Ó - A > 0
C©u2: a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 4
 b. Cho x-2y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x2+y2+4
 c. T×m sè d­ cña phÐp chia ®a thøc x2008 – x3 + 5 cho ®a thøc x2 – 1
C©u3: Cho AD lµ ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c nhän ABC(AB<AC), ph©n gi¸c ngoµi t¹i A cña tam gi¸c ABC c¾t BC t¹i K vµ c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC qua D t¹i N. AC c¾t DN t¹i M. 
Chøng minh:AN2 =NM . ND 
Tõ D kÎ DH // AB (H thuéc AC) , DE//AC (E thuéc AB)
Chøng minh: EH // KN
Chøng minh: AH. KC = HC. KB
C©u4: Chøng minh: A = n2 + n + 4 kh«ng chia hÕt cho 25 víi mäi n N