Bộ 10 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8

Năm 2007 – 2008
(120 phỳt)
Bài 1 (4đ):
 1/ Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giỏc. Chứng minh rằng: 
 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài 2 (3đ):
 Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thỡ :
 − = 
Bài 3 (5đ): 
Giải phương trỡnh:
 	1, + = + 
 	2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ):
 Cho ∆ABC vuụng tại A. Vẽ về phớa ngoài ∆ đú ∆ABD vuụng cõn tại B và ∆ACE vuụng cõn tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
 1, AH = AK
 2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ): 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
đề thi học sinh giỏi 
Năm học: 2004 – 2005
Thời gian 150 phút
Bài 1:
Rút gọn biểu thức:
A = với /x/ = 1
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B = 
Bài 2: 
Giải phương trình:
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
Tìm x để biểu thức:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Bài 3: 
Tìm số tự nhiên x sao cho: x2 + 21 là số chính phương ?
Chứng minh rằng: Nếu m, n là hai số chính phương lẻ liên tiếp thì:
(m – 1).(n – 1) 192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB. Trên đoạn thẳng AB lấy 1 điểm C sao cho AC > BC. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF. Gọi H là giao điểm của AE và BN.
Chứng minh: M; H; F thẳng hàng.
Chứng minh: AM là tia phân giác của .
Vẽ AI HM; AI cắt MN tại G. Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
Gải phương trình:
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
Cho a, b, c R+ và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng: 
Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
a) 
b) 
Bài 3: (2 điểm)
 Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. 
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy.
Bài 4: (2 điểm) 
 Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
 Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4).
 Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 
b) 
2) Giải phương trình
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức chia hết cho đa thức .
2) Tìm dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức:
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn .
CMR: 
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M là điểm nằm giữa A và B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các hình vuông ACDM và MNPB. Gọi K là giao điểm của CP và NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng.
c) Khi M di chuyển giữa A và B thì khoảng cách từ K đến AB không đổi.
2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AA”, BB’, CC’ đồng quy tại H. 
CMR: bằng một hằng số.
Câu V: (1 điểm): 
 Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: 
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 
Rút gọn biểu thức: 
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b) Giải phương trình: 
Bài 3: (2điểm)
 Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. 
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x- 3x + 4-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: 
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tính: 
Bài 4 : (3điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông. 
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
Đề số 5
Bài 1: (2điểm) 
 Cho biểu thức: 
1) Rút gọn M.
2) Tìm giá trị x để M > 0.
Bài 2: (2điểm) 
Người ta đặt một vòi nước chảy vào bể và một vòi nước chảy ra ở lưng chừng bể. Khi bể cạn, nếu mở cả hai vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nước. Còn nếu đóng vòi chảy ra mở vòi chảy vào thì sau 1giờ rưỡi đầy bể. Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra.
1) Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra.
2) Nếu chiều cao của bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể là bao nhiêu.
Bài 3: (1điểm) 
Tìm x, y nguyên sao cho: 
Bài 4: (3điểm)
 Cho hình vuông ABCD cố định, có độ dài cạnh là a. E là điểm di chuyển trên đoạn CD (E khác D). Đường thẳng AE cắt BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cát CD tại K.
1) Chứng minh tam giác ABF bằng tam giác ADK.
2) Gọi I là trung điểm KF, J là trung điểm của AF. Chứng minh rằng: 
JA = JB = JF = JI.
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x.
4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất.
Bài 5: (1điểm) 
Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 
 Tính 
Đề số 6
Câu I: (5 điểm) 
Rút gọn các phân thức sau:
1) 
2) 
Câu II: (4 điểm)
1) Cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì chia hết cho 13.
2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
3) Giải phương trình: 
Câu III: (4 điểm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3). Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc. Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc. 
Nếu công việc trên được giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành.
Câu IV: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, D lên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD.
1) Tứ giác DFBE là hình gì ? vì sao ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA.
3) Chứng minh 
Câu V: (2 điểm)
Giải phương trình: 
Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1. Thực hiện phép chia cho . Tìm x Z để A chia hết cho B.
2. Phân tích đa thức thương trong câu 1 thành nhân tử.
Câu II: (2điểm)
1. So sánh A và B biết:
 và 
2. Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.
Câu III: (2điểm)
1. Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: . Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ?
2. Cho đa thức f(x) = . Tìm dư của phép chia đa thức f(x) cho đa thức .
Câu IV: (3điểm) 
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Gọi M là giao điểm của BF và CE.
1. Tứ giác AEHF là hình gì ? Tại sao ?
2. Chứng minh AB. CF = AC. AE
3. So sánh diện tích tứ giác AEMF và diện tích tam giác BMC.
Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm của phương trình sau là một số nguyên:
Đề số 8
Câu 1: (2điểm)
a) Cho 
Tính 
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số dương.
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
Câu 3: (2 điểm) 
 Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h. 
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Câu 4: (3 điểm)
 Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC.
Câu 5: (1 điểm)
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: