Bài tập ôn tập môn Đại số Lớp 8 - Chương I: Phép nhân và phép chia các đa thức

 CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
I. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	
	b) 
	c) 
	d) 
Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
	a) 	 với .	ĐS: 
	b) với .	ĐS: 
	c) 	với .	ĐS: 
	d) 	với .	ĐS: 
Thực hiện các phép tính, sau đó tính giá trị biểu thức:
	a) với .	ĐS: 
	b) với .	ĐS: 
	c) với .	 ĐS: 
Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
* Tính giá trị của đa thức:
	a) 	với 	ĐS: 
	b) 	với 	ĐS: 
	c) 	với 	ĐS: 
	d) 	với 	ĐS: 
II. HẰNG ĐẲNG THỨC
Điền vào chỗ trống cho thích hợp:
	a) 	..........	b) ..........	c) ...........
	d) 	 ......	e) ......	f) ......
	g) .......	h) ......	i) ......
	k) .......	l) .......	m) ......
	n) .......	o) ........	p) ....
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính giá trị biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
	a) với 	b) 	với 
	ĐS: a) 	b) .
Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
	a) 	b) 
	c) với 	d) 
	e) 	f) 
	ĐS: a) 29	b) 8	c) –1 	d) 8	e) 2	f) 29
Giải các phương trình sau (tìm x):
	a) 	b) 
	c) d) 
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
So sánh hai số bằng cách vận dụng hằng đẳng thức:
	a) 	 và 	b) và 
	c) và 	d) và 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 
	HD: g) 
Cho và . Hãy biểu diễn theo S và P, các biểu thức sau đây:
	a) 	b) 	c) 
III. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phương pháp đặt nhân tử chung
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 
2. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 3	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	
	i) 	k) 	
	l) 	m) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
4. Một số phương pháp khác
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
Lưu ý: Khi phân tích đa thức : ax2 + bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax2 + bx + c = a x2 + b1x + b2x + c 
 Với b = b1+ b2 và b1.b2 = a.c
Cách 2: Tách ax2 + bx + c = X2 - B2
a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	 e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (tách một hạng tử thành nhiều hạng tử)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt cùng một hạng tử)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	HD: Số hạng cần thêm bớt:
	a) 	b)	c)	d) 	e) 	f)
	g) 	h) 	i) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
	Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến phụ đưa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích 
a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ)
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 4x(x+y)(x+y+z)(x+z) + y2z2
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (nghiệm)
x = a là nghiệm của đa thức f(x) ó f(a) = 0
x = a là nghiệm của đa thức f(x) => 
Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 có nghiệm nguyên là 
 x = x0 thì x0 là một ước của hệ số tự do a0, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có
 chứa nhân tử x - x0. Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích ra nhân tử
Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 +  + a1x + a0 có nghiệm hữu tỉ là 
 x = (dạng tối giản) thì p là một ước của hệ số tự do a0 còn q là ước dương của 
hệ số cao nhất an. Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx – p
Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích được thành nhân tử.
 Đối với tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích được thành nhân tử hay không thường dùng phương pháp sau: 
	- Tính D = b2 – 4ac. 
	- Nếu D ³ 0 thì phân tích được.
	- Nếu D < 0 thì không phân tích được.
x3 + 2x - 3;
x3 - 7x + 6;
x3 - 7x - 6; (Nhiều cách)
x3 + 5x2 + 8x + 4;
x3 - 9x2 + 6x + 16;
x3 - x2 - x - 2;
x3 + x2 - x + 2;
x3 - 6x2 - x + 30.
3x3 - 7x2 + 17x – 5
BTVN:
6x2 - x - 1;
6x2 - 6x - 3;
15x2 - 2x - 1;
2x3 - x2 + 5x + 3;
2x3 - 5x2 + 5x – 3
2x3 + 3x2 + 3x + 1;
3x3 - 2x2 + 5x + 2;
27x3 - 27x2 + 18x - 4;
Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1: Phân tích : x3 – 15x – 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
 Giải
 Giả sử đa thức trên được phân tích thì 
 x3 – 15x – 18 = (x+ a)(x2 + bx + c)
 ó x3 – 15x – 18 = x3 + (a+b)x2 + (ab+ c)x + ac
 Đồng nhất 2 đa thức ở 2 vế ta được: 
 Từ (3)chọn a = 3; thì c = -6; b = -3 thoả mãn (2)
 Vậy: x3 – 15x – 18 = (x + 3) (x2 – 3x – 6)
Ví dụ 2
 Phân tích : x3 – 19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
 Giải
 Giả sử đa thức trên được phân tích thì
 x3 – 19x - 30 = (x + a) (x2 + bx + c)
 ó x3 – 19x - 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab+ c)x + ac
 Đồng nhất 2 đa thức ta có 
 Từ (3) chọn a = 2 thì c =- 15; b = -2 thoả mãn (2)
 Vậy x3 – 19x - 30 = (x +2)(x2 – 2x - 15)
Ví dụ 3
 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3. 
 Giải
 Ta thấy không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ. Để phân tích đa thức này thành thừa số thì phải có dạng: 
	(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a+c)x3 + (ac + b +d)x2 +(ad + bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta được hệ điều kiện:
	 ó ó 
	Vậy đa thức x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).
Cách 2
 x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 
 = x4 – 4x3 – 2x3 + x2 + 8x2 + 3x2– 2x - 12x + 3 
 = x2 (x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)
 = (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x + 3).
Ví dụ 4
x3 + 4x2 + 5x +2
2x4 - 3x3 -7x2 + 6x + 8
 Giải
a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức
=> x3 + 4x2 + 5x +2 (x+1);(x+2)
 => x3 + 4x2 + 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)
 .............................. b = 1
b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệm của đa thức 
 => 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8 (x+1);(x-2)
=> 2x4 – 3x3 – 7x2 + 6x + 8= (x+1)(x-2)(2x2 + a x+ b)
Đồng nhất 2 đa thức ta có a = -1; b =- 4
Phương pháp giá trị riêng
Ví dụ 1 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y).
 P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y).
 	Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì đa thức P không thay đổi.
	Do đó đa thức P có dạng: P = k(x - y)(y - z)( z - x). (k là hằng số).
=> P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)( z - x). Đúng với mọi x, y, z, nên ta cho các biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 (giá trị riêng của các biến x, y, z tuỳ chọn sao cho (x - y)(y - z)( z - x) ¹ 0). Ta được: k = -1
 	Vậy P = x2(y - z) + y2( z - x) + z2(x - y) = - (x - y)(y - z)( z - x)
 	 = (y - x)(y - z)( z - x). 
Ví dụ 2	 A = x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
 Giải
+.Nếu x = y => A = 0 => A (x - y)
+.Vì vai trò của x,y,z như nhau
=>A (y-z); (z-x)
=>A (x - y)(y-z)(z-x)
+.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3 
 => A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1
Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x)
 Ví dụ 3	H = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)
HD: làm tương tự như VD2, thay a = 2; b = 1; c = 0 tìm được k = -1
Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b). 
	G = (x – y )3 + (y – z )3 + (z – x)3 
P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2 (x-z)
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
B = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3)
K = (a+b+c)3 - a3 - b3- c3 
(gợi ý: K a= -b, .....)
H = 8(x + y + z)3 – (x+y)3 – (y + z)3 – (z +x)3
(gợi ý: Dùng kq K để làm)
M = a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) +2abc
((a+b)(b+c)(c+a))
N=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
(kq: (a-1)(b-1)(c-1))
S= bc(b+c) + ac(c-a) –ab(a+b)
(kq: (c-a)(b+c)(a+b))
5. Tổng hợp
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Chứng minh rằng:
	a) 	chia hết cho 6 với .
	b) chia hết cho 5 với .
	c) với .
	d) với .
1) cho ; tính giá trị của biểu thức: A = 
HD: A = ; vận dụng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc ; tính giá trị của biểu thức A = 
3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: 
Bài 7
CMR nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì:
V= 2a2b2+2b2c2+2c2a2- a4-b4-c4 >0
HD: V= 4a2c2-(a4+b4+c4-2a2b2+2a2c2-2b2c2)= 4a2c2- (a2-b2+c2)2=....
Bài 8: Xác định hằng số a, b sao cho:
a, x4 +ax2+b chia hết cho x2-x+1
b, ax3+bx2+ 5x-50 chia hết cho x2+3x-10
c, ax4+ bx3+1 chia hết (x-1)2
d, x4 +4 chia hết x2 +ax+b
e, x3+ ax+b chia x+1 dư 7 chia x-3 dư 5
f, tìm a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x + 2; chia cho x2 – 1 dư x+5
Bài 9 Cho x, y là số nguyên chứng minh rằng các số sau là các số chính phương
a, A= (x+1)(x+3)(x+4)(x+6)+9
b, B=(x- y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+y4
Thêm bài 66 (nâng cao phát btriển)
VẤN ĐỀ I. Chia đa thức cho đơn thức
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
VẤN ĐỀ II. Chia đa thức cho đa thức
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 
	c) d) 
Thực hiện phép tính:
	a) 
	b) 
Tìm để đa thức chia hết cho đa thức , với:
	a) , 
	b) , 
	c) , 
	d) , 
	ĐS: a) 
Thực hiện phép chia cho để tìm thương và dư:
	a) , 	
	b) , 
	c) , 
	d) , 
VẤN ĐỀ III. Tìm đa thức bằng phương pháp hệ số bất định
Cho biết đa thức chia hết cho đa thức . Tìm đa thức thương:
	a) , 	ĐS: 
	b) , 	ĐS: 
Phân tích đa thức thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
	.
	ĐS: . 
Với giá trị nào của a và b thì đa thức chia hết cho đa thức .
	ĐS: . 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
Tìm các giá trị a, b, k để đa thức chia hết cho đa thức :
	a) , .	ĐS: .
	b) , .	ĐS: .
Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức chia hết cho nhị thức .	ĐS: .
	 Cần bổ sung:
bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
bài toán tìm nghiệm nguyên 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phụ thuộc vào x:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) 	 với 	b) với 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h) 
Thực hiện phép chia các đa thức sau: (đặt phép chia vào bài)\
	a) 	b) 
	c) 	d) 
(Sử dụng phương pháp đồng nhất thức lấy đa thức chia nhân với tam thức b2 ẩn xy...)
Thực hiện phép chia các đa thức sau:
	a) 	
	b) 
	c) 	
	d) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 
Chứng minh rằng:
	a) với mọi giá trị của a và b.
	b) với mọi giá trị của x và y.
	c) với mọi giá trị của x.
Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g)